求解多元最值問題的幾種措施

與一元最值問題相比較，多元最值問題較為復(fù)雜，無法直接運(yùn)用簡單基本初等函數(shù)的性質(zhì)、圖象求得最值.多元最值問題常與函數(shù)、不等式、三角函數(shù)、解析幾何等知識(shí)相結(jié)合.下面結(jié)合實(shí)例，探討一下求解多元最值問題的幾種措施.

一、轉(zhuǎn)化為一元函數(shù)最值問題

將多元最值問題轉(zhuǎn)化為一元最值問題，便可以直接利用簡單基本初等函數(shù)的性質(zhì)、圖象來求最值.常用的方法有消元法、整體換元法.

1. 消元

多元最值問題中通常含有兩個(gè)及兩個(gè)以上的變?cè)?我們?nèi)绻梢愿鶕?jù)已知關(guān)系式把其他變?cè)加媚骋粋€(gè)變?cè)硎境鰜?，就能通過消元，將問題轉(zhuǎn)化為只含有這一個(gè)變?cè)暮瘮?shù)最值問題，從而將復(fù)雜的問題簡單化.

我們往往要結(jié)合題目中的條件，找出某個(gè)變?cè)c其他變?cè)g的聯(lián)系，據(jù)此來進(jìn)行消元.本題的目標(biāo)式中含有3個(gè)變?cè)?，所以考慮利用基本不等式進(jìn)行放縮，又根據(jù)[x2+y2=1-z2]用z表示x、y，從而達(dá)到消元的目的，進(jìn)而通過研究關(guān)于z的函數(shù)的最值，求得問題的答案.

2. 整體換元

我們需仔細(xì)觀察已知關(guān)系式和所求目標(biāo)式，選取合適的式子，如兩（三）個(gè)變?cè)暮汀⒎e、商、差，將其視為一個(gè)整體進(jìn)行換元，這樣便可以將目標(biāo)式簡化為關(guān)于新元的式子.再構(gòu)造關(guān)于新元的函數(shù)式，通過求函數(shù)的最值求得問題的答案.

例2.若[x，y∈R]，[4x2+y2+xy=1].當(dāng)[x]、y為何值時(shí)，[x+y]取得最大值？

解：令[x+y=t]，則[y=t-x]，

則[4x2+y2+xy=4x2+（t-x）2+x（t-x）=1，]

整理得[4x2-tx+t2-1=0].

我們先將目標(biāo)式[x+y]設(shè)為參數(shù)t，并用x，t表示出y，即可通過換元，將已知關(guān)系式化為關(guān)于x的一元二次方程；再根據(jù)方程有解，得出判別式[Δ≥0]，據(jù)此建立關(guān)于t的一元二次不等式，通過解不等式求得目標(biāo)式的最值.

二、利用重要不等式

有時(shí)多元最值問題中給出的關(guān)系式較為復(fù)雜，我們需要利用一些重要不等式，如基本不等式、柯西不等式、權(quán)方和不等式等，將代數(shù)式進(jìn)行放縮，把多元最值問題轉(zhuǎn)化為不等式問題來求解.

1. 基本不等式

2. 柯西不等式

柯西不等式的一般形式為：[a12+a22+…+an2?b12+b22+…+bn2≥a1b1+a2b2+…+anbn2]，當(dāng)且僅當(dāng)[bi=0（i=1，2，…，n）]，或存在一個(gè)數(shù)k，使得[ai=kbi（i=1，2，…，n）]時(shí)等號(hào)成立.在求解多元最值問題時(shí)，我們需將目標(biāo)式配湊為幾個(gè)平方式的和，或兩積式之和的平方，才能運(yùn)用柯西不等式求得最值.最后還需檢驗(yàn)取等號(hào)的情形是否滿足題意.

例4.已知[a，b，c∈R]，[a+2b+3c=6]，求[a2+4b2+9c2]的最小值.

解：因?yàn)閇a+2b+3c=6]，

由柯西不等式得：

[36=a+2b+3c2=1×a+1×2b+1×3c2]

[≤12+12+12a2+2b2+3c2]，

化簡得[a2+4b2+9c2][≥12]，

我們將[a2+4b2+9c2]視為三個(gè)平方式的和：[a2+2b2+3c2]，而[a+2b+3c=6]，只需配湊出系數(shù)1，那么系數(shù)與各項(xiàng)之積的和為定值6，就能根據(jù)柯西不等式求得最值.

三、數(shù)形結(jié)合

有些代數(shù)式可以被視為兩點(diǎn)間的距離、直線的斜率、點(diǎn)到直線的距離、圓的方程、橢圓的方程等.此時(shí)可以根據(jù)代數(shù)式的幾何意義畫出幾何圖形，將多元最值問題轉(zhuǎn)化為幾何問題，通過研究圖形找到目標(biāo)式取得最值的情形，即可通過“以形助數(shù)”來求得最值.

例5.若實(shí)數(shù)x，y滿足[x2+y2-2x+4y=0]，求[x-2y]的最大值.

解：因?yàn)閇x2+y2-2x+4y=0]，所以[（x-1）2+（y+2）2=5]

總之，求解多元最值問題，同學(xué)們要學(xué)會(huì)將問題與函數(shù)、不等式、方程、解析幾何等知識(shí)相關(guān)聯(lián)，靈活運(yùn)用轉(zhuǎn)化思想、函數(shù)思想、方程思想、整體思想、數(shù)形結(jié)合思想，以化難為易、化繁為簡.