一道直線(xiàn)的斜率之積為定值問(wèn)題的解法探究

直線(xiàn)的斜率之積為定值問(wèn)題常出現(xiàn)在圓錐曲線(xiàn)試題中.這類(lèi)問(wèn)題的難度較大，解題的過(guò)程較為繁瑣，通常會(huì)重點(diǎn)考查直線(xiàn)的斜率公式、直線(xiàn)與圓錐曲線(xiàn)的位置關(guān)系.下面以一道高考題為例，談一談解答直線(xiàn)的斜率之積為定值問(wèn)題的方法.

解法1：直接法

直接法是根據(jù)題意，直接利用相關(guān)的公式、定理、定義等求解的方法.運(yùn)用直接法求解直線(xiàn)的斜率之積為定值問(wèn)題，需先根據(jù)題意設(shè)出相應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)、圓錐曲線(xiàn)的方程、直線(xiàn)的方程；然后直接根據(jù)直線(xiàn)的斜率公式求得兩直線(xiàn)的斜率；再通過(guò)恒等變換消去參數(shù)，即可證明兩直線(xiàn)的斜率之積為定值.

解：設(shè)點(diǎn)[Px1，y1]，則[Q-x1，y1]，[x1≠±a]，

因?yàn)閇A-a，0]，

我們先根據(jù)題意設(shè)出A、P、Q的坐標(biāo)；然后直接根據(jù)直線(xiàn)的斜率公式求得直線(xiàn)AP、AQ的斜率；再根據(jù)P、Q所滿(mǎn)足的關(guān)系式進(jìn)行消元，即可得到a、b的關(guān)系式.

解法2：利用橢圓第三定義

解：如圖所示，設(shè)橢圓[C]的右頂點(diǎn)為[B]，連接PB.

由于點(diǎn)[P]、[Q]均在橢圓[C]上，且關(guān)于[y]軸對(duì)稱(chēng)，

所以直線(xiàn)[BP]、[AQ]也關(guān)于[y]軸對(duì)稱(chēng)，

由于A、B為橢圓的頂點(diǎn)，所以可以根據(jù)橢圓的第三定義建立關(guān)于直線(xiàn)PA、PB的斜率的關(guān)系式[kAP?kBP=e2-1].再根據(jù)P、Q兩點(diǎn)的對(duì)稱(chēng)性建立關(guān)于e的方程，即可解題.

解法3：利用參數(shù)方程

直線(xiàn)以及圓錐曲線(xiàn)都有與其對(duì)應(yīng)的參數(shù)方程.在解答直線(xiàn)的斜率之積為定值問(wèn)題時(shí)，可以根據(jù)直線(xiàn)或橢圓的參數(shù)方程設(shè)出直線(xiàn)、橢圓上的點(diǎn)，并將其代入題設(shè)條件中建立關(guān)系式，便可用三角函數(shù)表示出兩直線(xiàn)的斜率，進(jìn)而通過(guò)三角恒等變換消元，求得定值.

解：設(shè)[Pacosθ，bsinθ]，則[Q-acosθ，bsinθ]，

相比較而言，直接法比較常用，橢圓的第三定義和參數(shù)方程的適用范圍較窄，但在解題過(guò)程中的運(yùn)算量較小，且較為便捷.同學(xué)們?cè)诮忸}時(shí)要學(xué)會(huì)將橢圓的頂點(diǎn)與橢圓的第三定義，橢圓上的動(dòng)點(diǎn)與參數(shù)方程關(guān)聯(lián)起來(lái)，這樣才能快速找到更為便捷的解題方法.