說說動點的軌跡方程的兩種求法

動點的軌跡方程問題經(jīng)常出現(xiàn)在解析幾何試題中.解答這類問題，需熟悉一些平面幾何圖形，如用拋物線、雙曲線、橢圓、等腰三角形、平行四邊形、圓的特征和方程，靈活運用點到直線的距離公式、兩點間的距離公式、勾股定理、正余弦定理等建立關系式.本文將結合幾道例題，談一談求解動點軌跡方程問題的兩種方法，以供讀者參考.

一、相關點法

如果動點的軌跡和其他點的位置有關，那么這個動點存在相關點，則可以采用相關點法求動點的軌跡方程.首先建立動點與相關點的坐標之間的關系；然后列出有關相關點的坐標的關系式；再用動點的坐標表示相關點的坐標，通過代換，求得動點的軌跡方程.

例1.如圖所示，拋物線[E：y2=2x]與圓[O：x2+y2=8]相交于[A]、[B]兩點.點[P（x0，y0）]是圓上的一點，過點[P]作圓[O]的切線和[E]交于[C]、[D]兩點，過[C]、[D]兩點作拋物線的切線[l1，l2]，交于點[M]，求點[M]的軌跡方程.

將其代入[y2=2x]可得[ky2-2y+2y1-ky12=0]，

因為[l1，l2]是拋物線的兩條切線，

由題意可知點M為拋物線的切線[l1]、[l2]的交點，所以點C、D是點M點的相關點，于是采用相關點法，分別設出C、D、M的坐標，建立關于C、D的坐標的關系式，然后用x、y表示出相關點的坐標，通過代換消去參數(shù)，從而求得M的軌跡方程.

二、交軌法

交軌法適用于求兩動曲線的交點的軌跡方程.先選擇合適的參數(shù)表示兩動曲線的方程；然后通過消元的方式將參數(shù)消去，即可得到兩動曲線交點的方程.

消去t可得[x2-y2+2x-2y+8=0]，即為點[M]的軌跡方程.

當[t=-2或t=-1]時，[PA]與[QB]的交點坐標也滿足上式.

運用交軌法解題本質(zhì)上是根據(jù)動點同時滿足兩曲線的方程的前提條件，聯(lián)立兩個方程，通過消參求得交點所滿足的方程.

求動點的軌跡方程的方法很多，關鍵在于把握問題的本質(zhì)，明確動點與直線、曲線之間的位置關系，找到動點的坐標所滿足的方程，就能順利求得問題的答案.