巧用同構(gòu)法，妙解代數(shù)題

有些代數(shù)問(wèn)題較為復(fù)雜，若采用常規(guī)方法求解，其過(guò)程較為繁瑣，而運(yùn)用同構(gòu)法能大大減少計(jì)算量，從而提高解題的效率.同構(gòu)式是指兩個(gè)式子的結(jié)構(gòu)相同、形式相似.運(yùn)用同構(gòu)法解題的關(guān)鍵在于構(gòu)造出合適的同構(gòu)式，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單的方程、函數(shù)、不等式問(wèn)題，從而化繁為簡(jiǎn)、化難為易.

一、解答不等式問(wèn)題

運(yùn)用同構(gòu)法解答復(fù)雜不等式問(wèn)題，要先將不等式兩邊的式子進(jìn)行適當(dāng)?shù)淖冃?，使其兩邊式子的結(jié)構(gòu)相同；然后構(gòu)造出同構(gòu)函數(shù)，便可將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為解不等式[fx1gt;fx2]或[fx1lt;fx2]；再根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性來(lái)解不等式.

例1.已知[x-lnygt;y-lnx]，則（" " "）.

解：將不等式[x-lnygt;y-lnx]變形得[x+lnxgt;y+lny]，

所以[fx]在[0，+∞]上單調(diào)遞增，

由[fxgt;fy]可得[xgt;ygt;0].

當(dāng)[xgt;ygt;0]時(shí)，若[x-ylt;1]，則[lnx-ylt;0]，

故C項(xiàng)錯(cuò)誤；

因?yàn)楹瘮?shù)[y=x3]在[0，+∞]上單調(diào)遞增，

所以當(dāng)[xgt;ygt;0]時(shí)，[x3gt;y3]，故D項(xiàng)錯(cuò)誤.

故本題的正確答案為B項(xiàng).

我們先將不等式中含有相同變量的式子放在同一側(cè)，可得[x+lnxgt;y+lny]，即可構(gòu)造出同構(gòu)式；然后構(gòu)造函數(shù)[fx=x+lnx， xgt;0]，根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)判斷出函數(shù)的單調(diào)性；再比較出自變量的大小，即可根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性判斷出各選項(xiàng)的正誤.

例2.若[2x-2ylt;3-x-3-y]，則（" " "）.

A. [lny-x+1gt;0] B. [lny-x+1lt;0]

C. [lnx-ygt;0] D. [lnx-ylt;0]

解：將不等式[2x-2ylt;3-x-3-y]變形得[2x-3-xlt;2y-3-y]，

設(shè)[ft=2t-3-t]，

而[y=2x]是R上的增函數(shù)，[y=3-x]是R上的減函數(shù)，

所以[ft]是R上的增函數(shù)，所以[xlt;y].

因?yàn)閇y-xgt;0]，所以[y-x+1gt;1]，

故[lny-x+1gt;0]，則A項(xiàng)正確，B項(xiàng)錯(cuò)誤；

因?yàn)閇x-y]與1的大小關(guān)系無(wú)法確定，

故無(wú)法確定C、D兩項(xiàng)的正確性.

故本題的正確答案為A項(xiàng).

先將不等式中變量相同的式子放在同一側(cè)，得[2x-3-xlt;2y-3-y]；然后構(gòu)造同構(gòu)函數(shù)，即可利用函數(shù)的單調(diào)性判斷出[x、y]的大小關(guān)系.

二、解答方程問(wèn)題

有些方程經(jīng)過(guò)適當(dāng)?shù)淖冃慰梢赞D(zhuǎn)化為結(jié)構(gòu)相同的方程，此時(shí)便可以采用同構(gòu)法來(lái)解題.根據(jù)同構(gòu)方程構(gòu)造出方程和函數(shù)，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求方程的根和函數(shù)零點(diǎn)的問(wèn)題.這樣不僅能簡(jiǎn)化解題的步驟，還能提高解題的效率.

例3.解方程：[log53x+4x=log45x-3x].

解：令[log53x+4x=log45x-3x=t]，

則[3x+4x=5t， 5x-3x=4t]，

將兩式相加得[4x+5x=4t+5t]，設(shè)[fx=4x+5x]，

由指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)知[fx]在R上單調(diào)遞增，

當(dāng)[gx=0]時(shí)[x]的值即為方程[3x+4x=5x]的解，

由指數(shù)函數(shù)性質(zhì)知[gx]在R上單調(diào)遞減，

所以[gx=0]有且僅有1個(gè)解，

而[32+42=52]，故[g2=0]，所以原方程的解為2.

例4.若[2a+log2a=4b+2log4b]，則（" " ）.

A. [agt;2b]" nbsp; " " " B. [alt;2b]" " " "C. [agt;b2]" " " " " "D. [alt;b2]

解：因?yàn)閇2a+log2a=22b+log2blt;22b+log2b+1=22b+log22b]，

故[2a+log2alt;22b+log22b]，

令函數(shù)[fx=2x+log2x]，[xgt;0]，則[falt;f2b]，

因?yàn)閇y=2x]和[y=log2x]在[（0，+∞）]上單調(diào)遞增，

所以[fx]在[（0，+∞）]上單調(diào)遞增，

而[falt;f2b]，故[alt;2b]，則B正確.

先將方程的兩邊式子變形、放縮，得[2a+log2a=22b+log2blt;22b+log2b+1=22b+log22b]，即可得到同構(gòu)式[2a+log2alt;22b+log22b]；再構(gòu)造函數(shù)，就可以利用函數(shù)的單調(diào)性求得問(wèn)題的答案.

三、解答數(shù)列問(wèn)題

有些數(shù)列的遞推式較為復(fù)雜，此時(shí)我們需將其進(jìn)行變形，使其左右兩邊的式子為同構(gòu)式，即可將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列、等比數(shù)列、常數(shù)列問(wèn)題，利用等差數(shù)列和等比數(shù)列的通項(xiàng)公式、前n項(xiàng)和公式、性質(zhì)來(lái)解題.

例5.已知數(shù)列[an]的前[n]項(xiàng)和為[Sn]，[a1=1]，[2nSn+1-2n+1Sn=nn+1]，求數(shù)列[an]的通項(xiàng)公式．

因?yàn)閇a1=1]，則[2S1=2a1=2]，

例6.已知數(shù)列[an]滿足[a1=1]，[nan+1=2n+1an].求[an]的通項(xiàng)公式.

解：因?yàn)閇nan+1=2n+1an]，

可見(jiàn)，同構(gòu)法在解答高中數(shù)學(xué)問(wèn)題中的應(yīng)用廣泛.同學(xué)們?cè)诮忸}時(shí)，要根據(jù)代數(shù)式的結(jié)構(gòu)特征進(jìn)行合理的變形、放縮，使其為同構(gòu)式，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單的函數(shù)、不等式、方程、常規(guī)數(shù)列問(wèn)題來(lái)求解.這就要求同學(xué)們具備較強(qiáng)的想象力、抽象能力和創(chuàng)新思維能力，通過(guò)類比、轉(zhuǎn)化找到同構(gòu)關(guān)系，將問(wèn)題中的式子轉(zhuǎn)化為結(jié)構(gòu)相同的式子，將問(wèn)題與其它板塊的知識(shí)關(guān)聯(lián)起來(lái)，從而簡(jiǎn)化解題的過(guò)程，從新的角度尋找到更加簡(jiǎn)單的解題方案.