高考數(shù)學(xué)解題中數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用

趙世鵬

(武夷山市第二中學(xué),福建 武夷山 354300)

數(shù)形結(jié)合思想是數(shù)學(xué)語(yǔ)言和直觀圖形的有機(jī)結(jié)合,能夠在解題中通過(guò)圖形性質(zhì)來(lái)說(shuō)明數(shù)的事實(shí),或者用數(shù)的精準(zhǔn)性來(lái)闡明圖的某些特征.驅(qū)使學(xué)生把抽象思維和直觀思想整合起來(lái),從不同視角分析和思考問(wèn)題,使其形成新的解題思想,拓展他們的解題思路.高中數(shù)學(xué)教師在平常的解題訓(xùn)練中應(yīng)指導(dǎo)學(xué)生準(zhǔn)確應(yīng)用數(shù)形結(jié)合思想,把數(shù)和形巧妙結(jié)合到一起靈活運(yùn)用,使其把抽象化、復(fù)雜化的數(shù)學(xué)試題變得具體化、簡(jiǎn)單化,有效提高他們的解題效率[1].

1 由數(shù)到形的轉(zhuǎn)換途徑

在高考數(shù)學(xué)解題訓(xùn)練中,要想更好地應(yīng)用數(shù)形結(jié)合思想,教師首先需指導(dǎo)學(xué)生學(xué)會(huì)從數(shù)到形進(jìn)行轉(zhuǎn)化,能夠解決以下三個(gè)方面的數(shù)學(xué)試題.

(1)處理方程或者不等式問(wèn)題時(shí),應(yīng)用數(shù)形結(jié)合思想能夠?qū)?wèn)題轉(zhuǎn)化成兩個(gè)圖象的交點(diǎn)位置關(guān)系問(wèn)題,然后結(jié)合函數(shù)的圖象和性質(zhì)展開(kāi)解答.通過(guò)由數(shù)到形的轉(zhuǎn)化,把文字性?xún)?nèi)容變得直觀化,學(xué)生可以直接觀察函數(shù)圖象同坐標(biāo)軸的交點(diǎn)情況,或者根據(jù)方程對(duì)應(yīng)的函數(shù)圖象找出不等式、不等式組,他們?cè)俳Y(jié)合這方面的知識(shí)展開(kāi)解題,最終快速、準(zhǔn)確地求得結(jié)果[2].

A.b<0,c>0 B.b>0,c<0

C.b<0,c=0 D.b≥0,c=0

解析結(jié)合題干中提供的已知信息可以畫(huà)出函數(shù)f(x)的圖象,如圖1所示.通過(guò)對(duì)圖象的觀察和分析可知,由于關(guān)于x的方程f2(x)+bf(x)+c=0存在7個(gè)不同的實(shí)數(shù)解,所以當(dāng)f(x)=0時(shí)需要有3個(gè)解,f(x)≠0時(shí)需要有4個(gè)解,由此能夠確定當(dāng)b<0,c=0時(shí)滿(mǎn)足題設(shè)條件,故選C.

圖1 例2題圖

圖1 例1解析圖

(2)集合作為學(xué)生步入高中階段以后接觸到的第一個(gè)數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn),雖然難度一般,卻是學(xué)習(xí)函數(shù)知識(shí)的前奏與基礎(chǔ),也是高考數(shù)學(xué)中的必考知識(shí)點(diǎn)之一.在處理集合類(lèi)試題時(shí),有時(shí)無(wú)需計(jì)算,可以直接使用韋恩圖的方式,也就是對(duì)數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用,通常用圓來(lái)表示集合,利用兩個(gè)圓是否相交來(lái)判斷這兩個(gè)集合是否存在公共元素,從而省略掉繁雜的計(jì)算步驟[3].

例2 如圖2所示,I是全集,M,P,S為I的三個(gè)子集,那么陰影部分所表示的集合為_(kāi)___.

解析通過(guò)對(duì)圖象的觀察、分析和研究能夠發(fā)現(xiàn),M∩P的子集與IS的子集均是陰影部分,所以陰影部分集合為(M∩P)∩IS.

(3)解析幾何作為高中課程體系中難度相對(duì)較大的一類(lèi)知識(shí),涉及的題目難度也較大,在高考數(shù)學(xué)試卷中還通常同其他知識(shí)聯(lián)系到一起成為綜合題,對(duì)學(xué)生的解題能力有著較高要求,他們極易陷入困境之中.

例3 已知點(diǎn)P為直線l:3x+4y+8=0上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),PA與PB為圓C:x2+y2-2x-2y+1=0的兩條切線,A,B兩點(diǎn)是切點(diǎn),C為圓心,那么四邊形PACB的面積最小值是多少?

圖3 例3解析圖

2 由形到數(shù)的轉(zhuǎn)換途徑

在高考數(shù)學(xué)解題教學(xué)中,針對(duì)數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用,除從數(shù)到形這種情形以外,還有一種由形到數(shù)的轉(zhuǎn)換,能夠解決以下兩類(lèi)試題.

(1)解析法.在高考數(shù)學(xué)解題教學(xué)中,部分題目給出的圖形較為簡(jiǎn)單,通過(guò)直接觀察很難看出規(guī)律所在.這時(shí),教師可以指引學(xué)生應(yīng)用數(shù)形結(jié)合思想,適當(dāng)?shù)亟o圖形賦值,像角度和邊長(zhǎng)等,或者根據(jù)題意構(gòu)建直角坐標(biāo)系,使其利用坐標(biāo)之間的代數(shù)關(guān)系把幾何圖形表示出來(lái),有助于他們形成明朗、清晰的解題思路.

(2)向量法.由形到數(shù)的另外一種表現(xiàn)形式即為向量,利用向量來(lái)表示幾何圖形,結(jié)合向量知識(shí)解答幾何圖形中有關(guān)夾角與距離等問(wèn)題,可以達(dá)到把抽象幾何圖形轉(zhuǎn)換成代數(shù)計(jì)算的效果.

例5 已知平面向量α,β(α≠0,β≠0)滿(mǎn)足|β|=1,且α與α-β的夾角是120°,那么|α|的取值范圍是什么?

3 數(shù)形之間的相互轉(zhuǎn)換

對(duì)于高考數(shù)學(xué)解題教學(xué)而言,要想更好地應(yīng)用數(shù)形結(jié)合思想,不僅可以采用上述兩種途徑,實(shí)現(xiàn)單向轉(zhuǎn)換,還能夠進(jìn)行數(shù)與形之間的雙向轉(zhuǎn)換.即在同一道題目中對(duì)數(shù)形結(jié)合思想進(jìn)行多次使用,將學(xué)生的思路變得更為開(kāi)闊,讓他們找到簡(jiǎn)便的解題思路與方法,使其體會(huì)到數(shù)形結(jié)合思想的妙用.

由裂項(xiàng)相消求和得到S100<3,故選A.

4 結(jié)束語(yǔ)

總的來(lái)說(shuō),在高考數(shù)學(xué)解題教學(xué)活動(dòng)中,數(shù)形結(jié)合思想有著極為廣闊的應(yīng)用空間.但教師需意識(shí)到數(shù)學(xué)思想的培養(yǎng)并非一蹴而就,要練習(xí)大量的試題,指引學(xué)生從以形助數(shù)、以數(shù)解形、數(shù)形互換三個(gè)方面切入,驅(qū)使他們靈活轉(zhuǎn)變解題思路,快速找到解題的切入點(diǎn),能夠自覺(jué)、準(zhǔn)確地應(yīng)用數(shù)形結(jié)合思想,使其找到解答數(shù)學(xué)試題的竅門(mén),為高考做好準(zhǔn)備.