一道2022年四川預(yù)賽題的解法賞析與背景揭示

張志剛

(山東省寧陽(yáng)縣復(fù)圣中學(xué),山東 泰安 271400)

本題設(shè)計(jì)簡(jiǎn)潔清新,構(gòu)思別具匠心,考查二元方程約束條件下的二元函數(shù)取值范圍問(wèn)題,突出考查數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算等核心素養(yǎng).此類(lèi)問(wèn)題因解法靈動(dòng)多變,飽含數(shù)學(xué)思想,備受命題專(zhuān)家的青睞,成為歷年高考考查的重點(diǎn),近年也逐漸成為數(shù)學(xué)競(jìng)賽、高校強(qiáng)基計(jì)劃等命題的熱點(diǎn).與普通高考試題相比,本題涉及知識(shí)點(diǎn)較多,思維跨度更大,呈現(xiàn)出更強(qiáng)的綜合性與選拔性.

1 試題解答

首先通過(guò)去絕對(duì)值符號(hào)簡(jiǎn)化(*)式,以便于考查方程對(duì)應(yīng)的曲線(xiàn)特征.

顯然x,y不可能同時(shí)為負(fù)數(shù),

因此,(*)式表示的曲線(xiàn)如圖1所示.

圖1 的圖象

思路1轉(zhuǎn)化為二次方程有解問(wèn)題.

思路2運(yùn)用不等式放縮求解最值.

柯西不等式(a2+b2)(c2+d2)≥(ac+bd)2(當(dāng)且僅當(dāng)ad=bc時(shí)取等號(hào))也是解決最值問(wèn)題常用的理論根據(jù).其形式特點(diǎn)為:平方和的乘積大于等于乘積之和的平方.在具體使用過(guò)程中,要通過(guò)仔細(xì)觀察,利用已知條件構(gòu)造出柯西不等式的形式.

評(píng)注利用柯西不等式求最值要注意驗(yàn)證等號(hào)成立的條件.

思路3通過(guò)減元轉(zhuǎn)化為單變量函數(shù).

在高中階段,由于解決一元函數(shù)最值問(wèn)題方案較為完善,我們常常通過(guò)減元將二元函數(shù)轉(zhuǎn)化為一元函數(shù),進(jìn)而求出其最值.

點(diǎn)評(píng)為減少未知數(shù)的個(gè)數(shù)用參數(shù)方程設(shè)點(diǎn),將距離轉(zhuǎn)化為關(guān)于θ的三角函數(shù)的最值,最后利用正弦函數(shù)的有界性求出最值.

思路4 轉(zhuǎn)化為橢圓的切線(xiàn)問(wèn)題.

點(diǎn)評(píng)利用橢圓的切點(diǎn)弦方程和平行線(xiàn)間的斜率關(guān)系求出切點(diǎn)坐標(biāo),進(jìn)而結(jié)合圖形求出最值.但規(guī)避了解法4中運(yùn)算較復(fù)雜、容易出錯(cuò)的復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)運(yùn)算,可視為解法4的進(jìn)一步優(yōu)化.

2 命制背景

解出x,y,則點(diǎn)(x,y)即是函數(shù)z=f(x,y)在附加條件φ(x,y)=0下的可能極值點(diǎn)[1].若這樣的點(diǎn)只有一個(gè),可確定此點(diǎn)即為所求的點(diǎn).其幾何意義是:設(shè)給定目標(biāo)函數(shù)為f(x,y),約束條件φ(x,y)=0.如圖2示,曲線(xiàn)L為約束條件φ(x,y)=0,目標(biāo)函數(shù)為f(x,y)=C的等值線(xiàn)族.在f(x,y),φ(x,y)的偏導(dǎo)數(shù)都連續(xù)的條件下,目標(biāo)函數(shù)f(x,y)在約束條件φ(x,y)=0下的可能極值點(diǎn)M(x0,y0)必是目標(biāo)函數(shù)等值線(xiàn)族中與約束條件曲線(xiàn)的切點(diǎn).

圖2 曲線(xiàn)L(x,y)示意圖

拉格朗日乘數(shù)法的優(yōu)點(diǎn)有二:一是把目標(biāo)函數(shù)和約束條件統(tǒng)一到一個(gè)拉格朗日函數(shù)中,二是將條件極值問(wèn)題轉(zhuǎn)化為無(wú)條件極值問(wèn)題,即通過(guò)引入拉格朗日乘數(shù),將含有n個(gè)變量和k個(gè)約束條件的約束優(yōu)化問(wèn)題轉(zhuǎn)化為含有n+k個(gè)變量的無(wú)約束優(yōu)化問(wèn)題. 另外,L(x,y)=f(x,y)+λφ(x,y),其中φ(x,y)=0,求z=f(x,y)的極值點(diǎn)就是求L(x,y)的極值點(diǎn),二者的極值是等價(jià)的,且與λ無(wú)關(guān).

應(yīng)用拉格朗日乘數(shù)法本題解答如下:

由以上討論可知,我們只需研究當(dāng)“x≥0,y≥0”時(shí)的情形.

3 結(jié)束語(yǔ)

以拉格朗日乘數(shù)法為背景的二元方程條件下的二元最值問(wèn)題意蘊(yùn)豐富,解答時(shí)要認(rèn)真剖析題設(shè)條件和結(jié)論的結(jié)構(gòu)特征,從多個(gè)視角尋求解題突破口.此外,我們需要仔細(xì)體會(huì)函數(shù)與方程、轉(zhuǎn)化與化歸、數(shù)形結(jié)合、以直代曲、消元(減元)、分類(lèi)討論等數(shù)學(xué)思想方法在解題中的應(yīng)用. 在解題教學(xué)過(guò)程中,教師要引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)真剖析題設(shè)條件和結(jié)論的結(jié)構(gòu)特征,具體問(wèn)題具體分析,通過(guò)觀察、比較、聯(lián)想、實(shí)驗(yàn)、概括、推理、證明等多種思維活動(dòng),選擇合理經(jīng)濟(jì)的解題路徑,避免死記硬背、生搬硬套“結(jié)論”的盲目機(jī)械訓(xùn)練.