一道2022年高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽題的深入探究

王東海

(安徽省肥東縣城關(guān)中學(xué),安徽 合肥 231600)

在競(jìng)賽解題教學(xué)活動(dòng)中,教師不應(yīng)局限于對(duì)題目的具體解答和低水平重復(fù)訓(xùn)練,而應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生對(duì)問題進(jìn)行深層次的探究及引申,充分挖掘題目的內(nèi)涵和外延,使學(xué)生能夠用更高的觀點(diǎn)去看待問題.

1 試題呈現(xiàn)

題目(2022年新疆賽區(qū)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽10題)如圖1,已知△ABC內(nèi)接于拋物線E:x2=y,且邊AB,AC所在的直線分別與拋物線M:y2=4x相切,F為拋物線M的焦點(diǎn).

圖1 2022年新疆賽區(qū)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽10題

求證:邊BC所在直線與拋物線M相切.

分析與圓錐曲線的切線有關(guān)的問題,是近年來數(shù)學(xué)聯(lián)賽和高考中圓錐曲線部分比較常見的一類題型,其實(shí)質(zhì)還是考查直線與圓錐曲線的位置關(guān)系,只是條件比較特殊,形式比較新穎,解法更加多樣.我們可以采取多種方法來處理相切問題.

2 解法探究

即(x1+x2)x-y-x1x2=0.

代入y2=4x并整理,得

(x1+x2)y2-4y-4x1x2=0.

因直線AB與y2=4x相切,故

△=16+16x1x2(x1+x2)=0.

①

同理由直線AC與y2=4x相切,得

②

同理直線BC方程與y2=4x聯(lián)立可得

(x2+x3)y2-4y-4x2x3=0.

所以△=16+16x2x3(x2+x3)

所以BC與拋物線M:y2=4x相切.

解析2前面解題步驟同解析1,由直線AB,AC與y2=4x相切,可得

①

②

①-②式,得

x1(x2-x3)-(x3-x2)·(x2+x3)=0.

又根據(jù)題意知B,C的橫坐標(biāo)不相同,即x2≠x3, 從而得x2+x3=-x1.

又①×x3-②×x2,得

(x3-x2)+x1x2x3(x2-x3)=0.

從而由切線的斜率構(gòu)建等式

③

④

3 推廣探究

波利亞曾說:“沒有任何一個(gè)題目是徹底完成了的,總還會(huì)有些事情可以做[2].”細(xì)品解題過程和結(jié)論,筆者發(fā)現(xiàn)解答結(jié)論耐人尋味,值得探究.于是筆者思考,對(duì)于y2=4x結(jié)論成立,那么對(duì)于一般性y2=2px是否成立?如果x2=y變?yōu)橐话阈缘膞2=2py呢?另外,背景的圓錐曲線換成橢圓、雙曲線、圓,是否仍有類似的結(jié)論呢?基于以上思考,筆者探究得到如下結(jié)論.

結(jié)論1 已知△ABC內(nèi)接于拋物線E:x2=y,且邊AB,AC所在的直線分別與拋物線M:y2=2px相切,則邊BC所在直線與拋物線M也相切.

結(jié)論2 已知△ABC內(nèi)接于拋物線E:x2=2p1y,且邊AB,AC所在的直線分別與拋物線M:y2=2p2x相切,則BC所在直線與拋物線M也相切.(結(jié)論1是結(jié)論2的特殊情況,僅證結(jié)論2)

(x1+x2)x-2p1y-x1x2=0.

聯(lián)立拋物線y2=2p2x消去x,得

(x1+x2)y2-4p1p2y-2p2x1x2=0.

因直線AB與M:y2=2p2x相切,故

⑤

同理由直線AC與y2=2p2x相切可得

⑥

又直線BC方程為(x3+x2)x-2p1y-x3x2=0,代入y2=2p2x,得

(x3+x2)y2-4p1p2y-2p2x3x2=0.

所以直線BC與拋物線M也相切.

若進(jìn)一步將M:y2=2p2x變?yōu)楦话愕膟2=2p2(x+x0),另外,再將本題中的兩條拋物線推廣到兩個(gè)橢圓、兩條雙曲線、兩個(gè)圓,那么本題結(jié)論是否仍然成立呢?考慮到運(yùn)算量的關(guān)系,這里不再一一推導(dǎo),感興趣的讀者可用GGB軟件進(jìn)行探討.綜合考慮運(yùn)算量以及高考和數(shù)學(xué)聯(lián)賽中出現(xiàn)的頻繁程度,我們選取一個(gè)圓錐曲線和一個(gè)圓進(jìn)行探究,即能否找到內(nèi)接于圓錐曲線且外切于圓的三角形?

如果,這里圓錐曲線選擇拋物線y2=2px(p>0),那么拋物線內(nèi)的所有圓是否都具有該性質(zhì)?顯然當(dāng)拋物線上的三個(gè)點(diǎn)固定時(shí),則它的內(nèi)切圓是唯一的,只要改變圓的圓心和半徑,以上性質(zhì)將不復(fù)存在.也就是說,滿足預(yù)想結(jié)論的圓的圓心與半徑是有一定的制約關(guān)系的.為了便與計(jì)算,我們考慮動(dòng)圓圓心在x軸上的情形,經(jīng)過探究與證明得到以下結(jié)論:

整理,得r2+2pr-2pm=0,

下證一般性:

2px-(y1+t)y+ty1=0.

再由直線PA與圓M相切,得

化簡,得(t2-r2)x1+(4mpt-2r2t)y1+4m2t2-4p2r2-t2r2=0.

⑦

同理,直線PB與⊙M相切得

(t2-r2)x1+(4mpt-2r2t)y2+4m2t2-4p2r2-t2r2=0.

⑧

從而點(diǎn)A,B在直線(t2-r2)x+(4mpt-2r2t)y+4m2t2-4p2r2-t2r2=0上.

即為AB的方程.此時(shí)點(diǎn)M到直線AB的距離

故AB與⊙M相切.

證明先證特殊情況,如圖3,當(dāng)點(diǎn)P與橢圓左頂點(diǎn)重合時(shí),根據(jù)對(duì)稱性知AB⊥x軸,垂足為點(diǎn)T,設(shè)PA與圓M相切的切點(diǎn)為N,從而MN⊥PA.

圖3 結(jié)論4解析圖

兩邊平方并去分母可解得

對(duì)于一般性的證明,其方法與結(jié)論3拋物線相同,但計(jì)算過程極其冗長,這里略去.

圖4 結(jié)論5圖

4 結(jié)束語

這道聯(lián)賽題中,△ABC外接于拋物線x2=y,又內(nèi)切于y2=4x,我們把這樣的圖形結(jié)構(gòu)稱為彭賽列閉合.彭賽列閉合定理是1822年法國數(shù)學(xué)家彭賽列在其出版的著作中給出的,并且給出了嚴(yán)謹(jǐn)?shù)淖C明.他認(rèn)為,平面上給定兩條圓錐曲線,若存在一封閉多邊形外切于其中一條圓錐曲線且內(nèi)接于另一條圓錐曲線,則此封閉多邊形內(nèi)接的圓錐曲線上每一個(gè)點(diǎn)都是滿足這樣(切、內(nèi)外接)性質(zhì)的封閉多邊形的頂點(diǎn),且所有滿足此性質(zhì)的封閉多邊形的邊數(shù)相同.彭賽列閉合定理展示了基于圓錐曲線關(guān)系上的一種“群結(jié)構(gòu)”關(guān)系——“彭賽列結(jié)構(gòu)”,表示為:有一個(gè)滿足一種結(jié)構(gòu)的關(guān)系存在,則所有滿足這種結(jié)構(gòu)的關(guān)系都存在.如果從形象化的角度來理解,彭賽列閉合相當(dāng)于一只跳蚤從外圓錐曲線某點(diǎn)出發(fā),每次沿著向內(nèi)圓錐曲線作出的一條切線跳到外圓錐曲線上的一個(gè)新起點(diǎn),經(jīng)過N次跳躍后回到了起點(diǎn),形成了路徑閉合,且跳蚤的路徑是否閉合和它的起始位置無關(guān).

另外,本道聯(lián)賽題考查的內(nèi)接于拋物線且外切于另一條拋物線的三角形問題,以及拓展中探討的圓錐曲線的內(nèi)接三角形的內(nèi)切圓問題,都是屬于“彭賽列閉合定理”的特殊情況.考試中如果提前了解了彭賽列閉合定理,則能為解題指明方向.