例析曲線的公切線問題的求解策略

張秋珍

(北京大學(xué)附屬中學(xué)莆田學(xué)校,福建 莆田 351100)

曲線的公切線問題是高考和質(zhì)檢試題的熱點(diǎn)問題,如2016年高考新課標(biāo)Ⅱ卷理16、2019年高考全國Ⅱ卷理20、2022年高考全國甲卷文20等.本文從福建省2023屆高中畢業(yè)班適應(yīng)性練習(xí)卷壓軸題談起,從多角度進(jìn)行剖析,并拓展歸納公切線問題的常見類型,探析并總結(jié)其求解策略.

1 題目呈現(xiàn)

題目(福建省2023屆高中畢業(yè)班適應(yīng)性練習(xí)第22題)已知函數(shù)f(x)=(x+a)ex,a∈R．

(1)討論f(x)在(0,+∞)的單調(diào)性;

(2)是否存在a,x0,x1,且x0≠x1,使曲線y=f(x)在x=x0和x=x1處有相同的切線?請(qǐng)證明你的結(jié)論．

2 解法賞析

2.1 第(1)問解析

解析當(dāng)a<-1時(shí),f(x)在區(qū)間(0,-a-1)單調(diào)遞減,在區(qū)間(-a-1,+∞)單調(diào)遞增;

當(dāng)a≥-1時(shí),f(x)在區(qū)間(0,+∞)單調(diào)遞增.

2.2 第(2)問解析

解法1不存在a,x0,x1,且x0≠x1,使得曲線y=f(x)在x=x0和x=x1處有相同的切線.

證明如下:假設(shè)存在滿足條件的a,x0,x1,

因?yàn)閒(x)在(x0,f(x0))處的切線方程為

y-f(x0)=f′(x0)(x-x0),

所以(x0+a+1)(x1+a+1)=1.

由(x0+a+1)ex0=(x1+a+1)ex1兩邊同乘以ea+1,得(x0+a+1)ex0+a+1=(x1+a+1)ex1+a+1.

令t0=x0+a+1,t1=x1+a+1,則

故不存在a,x0,x1且x0≠x1,使曲線y=f(x)在x=x0和x=x1處有相同的切線[1].

解法2假設(shè)存在滿足條件的a,x0,x1,因?yàn)閒(x)在(x0,f(x0))處的切線方程為

y-f(x0)=f′(x0)(x-x0),

所以(x0+a+1)(x1+a+1)=1.

由(x0+a+1)ex0=(x1+a+1)ex1兩邊同乘以ea+1,得(x0+a+1)ex0+a+1=(x1+a+1)ex1+a+1.

令t0=x0+a+1,t1=x1+a+1,

令h(t)=tet,則h(t0)=h(t1),且t0≠t1.

由(1)知,當(dāng)t>-1時(shí),h(t)單調(diào)遞增,當(dāng)t<-1時(shí),h(t)單調(diào)遞減,又當(dāng)t>0時(shí),h(t)>0,當(dāng)t<0時(shí),h(t)<0,所以若t0,t1存在,不妨設(shè)t1<-1

以下證明

所以g(x)在(1,+∞)上單調(diào)遞減.

所以當(dāng)x>1時(shí),g(x)

所以(-t0)·(-t1)<1,與t0t1=1矛盾.

故不存在a,x0,x1且x0≠x1,使得曲線y=f(x)在x=x0和x=x1處有相同的切線.

3 常見類型

3.1 求兩個(gè)函數(shù)在公共點(diǎn)處的公切線與條數(shù)(接觸型相切)

例1已知函數(shù)f(x)=ex-ax+b,g(x)=x2-x,若曲線y=f(x)和y=g(x)在公共點(diǎn)A(1,0)處的切線相同,則a,b的值分別為____.

3.2 求兩個(gè)函數(shù)(非接觸型)相切的公切線與條數(shù)

例2已知函數(shù)f(x)=lnx,g(x)=x2-x+2.證明:恰有兩條直線與函數(shù)f(x),g(x)的圖象都相切.

由g(x)=x2-x+2可得g′(x)=2x-1.

當(dāng)01時(shí),F′(x)>0,所以F(x)在區(qū)間(0,1]單調(diào)遞減,在區(qū)間(1,+∞)單調(diào)遞增,所以F(x)min=F(1)=-2<0．

所以F(x)在(0,1)上有一個(gè)零點(diǎn),則F(x)在(0,+∞)上有且只有兩個(gè)零點(diǎn),故得證．

3.3 已知公切線的條數(shù)求參數(shù)范圍

例3已和函數(shù)f(x)=lnx與g(x)=xa(x>0,a≠0),若存在直線l,使l是曲線y=f(x)的切線,也是曲線y=g(x)的切線,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是____.

設(shè)直線l為曲線g(x)=xa(x>0,a≠0)在點(diǎn)(x2,g(x2))處的切線,g′(x)=axa-1,

因?yàn)閤1>0,x2>0,

記h(x)=lnx-xa(a>0且a≠1),則

4 結(jié)束語

一般地,兩個(gè)函數(shù)和的圖象的公切線問題,常采用設(shè)各自的切點(diǎn)分別為(x1,f(x1)) ,(x2,g(x2)),再寫出各自的切線方程,比較系數(shù)建立方程組,并求解方程組的方法處理.