中考二輪復習微專題探究
——含參數(shù)的二次函數(shù)中對稱軸、區(qū)間、函數(shù)值之間的關系探究

劉長松 陳 超

(1.江蘇省蘇州高新區(qū)實驗初級中學錦峰路校區(qū),江蘇 蘇州 215000;2.江蘇省蘇州高新區(qū)實驗初級中學金山路校區(qū),江蘇 蘇州;215000)

二次函數(shù)問題一直是中考的熱點問題,其中函數(shù)的取值范圍及最值問題一直是困擾學生的難點,此類問題的突破也是困擾一線教師的難點.這類問題往往穿插在綜合題中,有很強的區(qū)分度和選拔功能,對學生的空間想象、數(shù)形結(jié)合能力要求比較高,如何依據(jù)條件合理分類討論是關鍵.筆者以近5年江蘇省乃至全國各地的中考試題為例,分析含參數(shù)的二次函數(shù)的區(qū)間、對稱軸、函數(shù)值的關系問題,以期拋磚引玉,供讀者參考.

1 問題背景

含參數(shù)的二次函數(shù)問題主要是指二次函數(shù)關系式中含有參數(shù)或者給定的區(qū)間中含有參數(shù).這類問題形式多樣,常見的題型有:求參數(shù)的值或范圍、討論二次函數(shù)的最值、解含參數(shù)的二次不等式、不等式的恒成立問題、一元二次方程的根的分布情況、二次函數(shù)的圖像與直線的交點個數(shù)問題等,這類問題屬于高中二次函數(shù)知識點在初中的滲透.近些年在江蘇省內(nèi)外的中考中時常出現(xiàn),如南京2021年第26題、2020年第16題、2017年第26題;南通2021年第26題、2020年第25題、2019年第26題、2018年第26題;揚州2017年第8題;泰州2021年第25題、2018年第24題;北京2021年第26題、2020年第25題、2019年第26題、2018年第26題;大連2021年第26題、2020年第25題、2019年第26題、2018年第26題;杭州2021年第22題、2020年第22題、2019年第22題、2018年第22題,等等.

2 常見題型

2.1 定軸定區(qū)間問題

例1 如圖1,已知二次函數(shù)y=x2-4x-5.

圖1 例1題圖

(1)當-1≤x≤0時,y的取值范圍是;

(2)當3≤x≤4時,y的取值范圍是;

(3)當0≤x≤3時,y的取值范圍是;

(4)當-5≤y≤0時,x的取值范圍是;

請說一說二次函數(shù)的對稱軸和區(qū)間之間的關系[1].

本題給定了二次函數(shù)的表達式,從兩個不同角度設計問題,一是已知自變量x的取值范圍求對應的函數(shù)值y的取值范圍;二是已知函數(shù)值y的取值范圍求對應的自變量x的取值范圍.共設置了4個小問題,分別是x的取值范圍都在對稱軸的同側(cè)(左側(cè)或右側(cè)),取值范圍從對稱軸左側(cè)增加到對稱軸右側(cè),包含頂點的這種情況.設計問題(1)(2)(3)的目的是為了引導學生在已知x的取值范圍時,要分兩種情況討論,即在對稱軸同側(cè)和異側(cè),對于異側(cè)的這種情況要找三個界點來確定函數(shù)值的取值范圍.初步讓學生感知對稱軸確定時如何求函數(shù)值的取值范圍.設計問題(4)的目的是感知函數(shù)值y的取值范圍一定時,x會有兩部分取值范圍,進一步感受二次函數(shù)的對稱美．

2.2 定軸動區(qū)間問題

例2 已知二次函數(shù)y=x2-4x-5.

(1)當m≤x≤m+1(m為常數(shù))時,函數(shù)的最小值為1,則m=____;

(2)若此二次函數(shù)在0≤x≤m(m為常數(shù)且m>0)的圖像的最高點與最低點的縱坐標之差為h,寫出h關于m的函數(shù)關系式[2].

本題已給定二次函數(shù)的表達式,由二次函數(shù)的性質(zhì)易知其對稱軸為直線x=2,問題(1)中給定的x的取值范圍是一個隨著m的變化而變化的動區(qū)間,在這個動區(qū)間里,函數(shù)值最小值為1,如何引導學生思考怎樣確定參數(shù)m的取值是關鍵．問題(2)中x的取值范圍為0≤x≤m,而對稱軸為直線x=2,所以函數(shù)圖象經(jīng)過一組對稱點(0,-5),(4,-5).參數(shù)m的取值需要分三種情況進行討論,即0≤m≤2,24.

2.3 動軸定區(qū)間問題

例3利用二次函數(shù)的性質(zhì)解答下列問題:

(1)已知二次函數(shù)y=x2-2mx-3(m為常數(shù)),當x<1時,y隨x的增大而減小,m的范圍是.

(2)二次函數(shù)y=x2-2mx+2m2(m為常數(shù)),當2≤x≤5時,y的最小值為1,m=.

本題涉及的取值范圍屬于一個定區(qū)間,但是二次函數(shù)關系式中含有參數(shù)m,從而二次函數(shù)圖象的對稱軸是隨著參數(shù)m的變化而變化的動軸.在問題(1)中,當x<1時,y隨x的增大而減小,由二次函數(shù)的性質(zhì)易求得它的對稱軸是直線x=m,而此拋物線開口向上,可以確定對稱軸在直線x=1的右側(cè),進而可得參數(shù)m的取值范圍;在問題(2)中,二次函數(shù)圖象的對稱軸是直線x=m,它是一條動直線,而給定的區(qū)間是2≤x≤5,它是一個定區(qū)間,因此可以分為三種情況進行分類討論:①當m≤2,x=2時,y取得最小值1;②當2

2.4 動軸動區(qū)間問題

圖2 例4題圖

(1)拋物線的頂點坐標為.(用含m的代數(shù)式表示);

(2)△ABC的面積為.(用含a的代數(shù)式表示);

(3)若△ABC的面積為2,當2m-5≤x≤2m-2時,y的最大值為2,則m=.

本題是二次函數(shù)綜合題,主要考查二次函數(shù)圖象上點的坐標特征、等腰直角三角形的性質(zhì)、一元二次方程的解法及二次函數(shù)最值的求法,解決本題的關鍵是:①利用配方法將二次函數(shù)解析式變形為頂點式;②利用參數(shù)求出點C的坐標;③分別按m<2,2≤m≤5及m>5三種情況進行分類討論．

2.5 二次函數(shù)圖象與直線的交點個數(shù)問題

在含參數(shù)的二次函數(shù)問題中,二次函數(shù)圖象與直線的交點個數(shù)問題也是近年中考的熱點問題.

例5 已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象經(jīng)過(-2,1),(2,-3)兩點．

(1)求b的值;

(2)設點(m,0)是該函數(shù)的圖象與x軸的一個公共點．當-1

本題主要考查二次函數(shù)的圖象與性質(zhì),解決本題的關鍵在于理解二次項系數(shù)a對函數(shù)圖象的影響,包括開口方向和開口大小,都要熟記于心,否則問題(2)很難正確解答;在問題(2)中,將(m,0)代入y=ax2+bx+c中,寫出判別式的值,根據(jù)圖象經(jīng)過(-2,1),(2,-3)兩點,分-1

例6 已知二次函數(shù)y=x2-4x+3a+2(a為常數(shù))．在同一平面直角坐標系中,若該二次函數(shù)的圖象在x≤4的部分與一次函數(shù)y=2x-1的圖象有兩個交點,求a的取值范圍．

3 結(jié)束語

中考二輪復習是一個非常關鍵的總結(jié)提升階段.二輪復習不是單純地做練習、講練習,教師要深度把握中考的方向,研究中考命題規(guī)律,從學生的實際情況出發(fā),提高復習的效率,總結(jié)出一些適合學生的學習方法.微專題就是一種很好的形式,精煉實用.這樣的研究任重道遠,需要一線教師系統(tǒng)地研究規(guī)律、總結(jié)方法,要善于對題型進行歸類,善于引導學生進行分析、探索、歸納和總結(jié),培養(yǎng)學生的思維能力,從而使學生逐步掌握自主的學習方法.