軌道車(chē)輛垂向輪軌力時(shí)域識(shí)別對(duì)比及其機(jī)器學(xué)習(xí)修正1)

朱 濤 吳佳欣 王小瑞 肖守訥 陽(yáng)光武 楊 冰

(西南交通大學(xué)軌道交通運(yùn)載系統(tǒng)全國(guó)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,成都 610031)

引言

軌道車(chē)輛的輪軌接觸力是評(píng)判其運(yùn)行安全性與穩(wěn)定性的重要依據(jù),然而輪軌接觸力往往難以直接獲取.目前輪軌力的獲取主要有直接測(cè)量法[1-3]和間接測(cè)量法[4-6].直接測(cè)量法主要是采用測(cè)力輪對(duì)或測(cè)力鋼軌,均需要復(fù)雜的標(biāo)定過(guò)程,且需要后續(xù)維護(hù),較難以推廣使用[7].間接測(cè)量法即使用動(dòng)載荷識(shí)別方法,利用測(cè)量的車(chē)輛響應(yīng),識(shí)別出精度可以接受的輪軌力值.在諸多載荷識(shí)別方法中,時(shí)域法憑借計(jì)算過(guò)程直觀,可識(shí)別的載荷類(lèi)型多,可識(shí)別短樣本數(shù)據(jù)(克服了頻域法的缺點(diǎn)),并且還可做到實(shí)時(shí)識(shí)別等優(yōu)點(diǎn),獲得了廣泛的關(guān)注與應(yīng)用[8-11].此外,機(jī)器學(xué)習(xí)方法由于具有非線性映射能力強(qiáng)等優(yōu)點(diǎn),被廣泛應(yīng)用于復(fù)雜機(jī)械系統(tǒng)中.

Ronasi 等[12]提出了一種輪軌力識(shí)別的優(yōu)化方法,將車(chē)輪視為二維圓盤(pán),建立其有限元模型,通過(guò)車(chē)輪的徑向應(yīng)變時(shí)間歷程來(lái)識(shí)別輪軌力,并通過(guò)加入正則化方法,提高了模型的抗噪性.Wu 等[13]采用Green 函數(shù)法建立反演模型,使用TSVD 正則化方法結(jié)合預(yù)測(cè)響應(yīng)誤差最小原理,對(duì)軌道車(chē)輛輪軌力進(jìn)行了識(shí)別.朱濤[14]基于動(dòng)態(tài)規(guī)劃方法,結(jié)合Bellman 最優(yōu)化原理建立了高速列車(chē)輪軌力識(shí)別模型,并引入正則化方法消減反問(wèn)題的不適定性,獲得了較好的識(shí)別效果.郭劍峰[15]提出了一種基于數(shù)據(jù)建模的軌道車(chē)輛輪軌力識(shí)別方法,將經(jīng)過(guò)預(yù)處理的實(shí)測(cè)車(chē)輛響應(yīng)和輪軌力進(jìn)行特征數(shù)據(jù)融合,并作為模型的輸入,采用基于多節(jié)點(diǎn)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的方法對(duì)輪軌力進(jìn)行識(shí)別,并與其他類(lèi)型的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)方法進(jìn)行了對(duì)比.Sun 等[16]基于數(shù)值修正的Newmark-β法,建立了一個(gè)逆向貨車(chē)動(dòng)力學(xué)模型來(lái)識(shí)別輪軌接觸力,通過(guò)VAMPIRE 仿真模型對(duì)兩個(gè)軌道軌頂面和橫向不平順的情況進(jìn)行了模擬,然后將模擬的貨車(chē)部件加速度輸入到逆向貨車(chē)模型中.對(duì)一系懸掛力、二系懸掛力和輪軌接觸力的預(yù)測(cè)與模擬結(jié)果進(jìn)行了比較,結(jié)果趨于一致,此后,進(jìn)一步將逆向貨車(chē)模型簡(jiǎn)化為一個(gè)3 自由度的1/4 車(chē)垂直模型,以便于在線應(yīng)用.孫善超等[17-18]結(jié)合最優(yōu)控制理論、卡爾曼濾波方法以及輪軌蠕滑理論,建立了輪軌作用力的全息辨識(shí)模型,將輪軌作用力辨識(shí)問(wèn)題轉(zhuǎn)換為最優(yōu)控制策略的設(shè)計(jì)問(wèn)題,并結(jié)合卡爾曼濾波技術(shù)及加速度測(cè)試值,對(duì)動(dòng)載荷預(yù)測(cè)值進(jìn)行正向修正,最終實(shí)現(xiàn)了輪軌左、右橫向力的識(shí)別.周亞波[19]基于線性卡爾曼濾波算法,對(duì)軌道車(chē)輛垂向輪軌力和橫向輪軸力進(jìn)行了辨識(shí),并驗(yàn)證了在軌道隨機(jī)不平順、車(chē)輪扁疤及車(chē)輪多邊形激勵(lì)下該方法的準(zhǔn)確性.Zhu 等[20]基于Duhamel 積分推導(dǎo)了一種時(shí)域動(dòng)載荷識(shí)別方法,將其應(yīng)用于車(chē)輛通過(guò)直線和曲線工況的輪軌力識(shí)別,并將識(shí)別結(jié)果與動(dòng)力學(xué)仿真結(jié)果進(jìn)行對(duì)比,結(jié)果表明該方法具有較高的識(shí)別精度.羅金屯等[21]基于卷積神經(jīng)網(wǎng)絡(luò),提出了一種數(shù)據(jù)驅(qū)動(dòng)的軌道車(chē)輛輪軌力識(shí)別方法,對(duì)軌道車(chē)輛直線和曲線工況的輪軌力進(jìn)行了識(shí)別,并與幾種傳統(tǒng)的數(shù)據(jù)驅(qū)動(dòng)方法進(jìn)行了對(duì)比.曾俊瑋等[22]針對(duì)膠輪車(chē)輛輪胎載荷的識(shí)別,提出了一種卡爾曼濾波器與神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)相結(jié)合的模型,通過(guò)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)修正卡爾曼濾波器的識(shí)別結(jié)果,提高了輪胎載荷的識(shí)別精度.

從已有的研究中可以看出,以往的研究大多使用單一方法進(jìn)行輪軌力的識(shí)別,缺乏方法間對(duì)比和綜合評(píng)判;此外,運(yùn)用機(jī)器學(xué)習(xí)修正物理模型,構(gòu)建二者的聯(lián)合模型,是目前各學(xué)科領(lǐng)域研究的新熱點(diǎn).具體到本文研究領(lǐng)域,學(xué)者們大多單獨(dú)運(yùn)用時(shí)域法或機(jī)器學(xué)習(xí)方法對(duì)輪軌力進(jìn)行識(shí)別,只有少數(shù)研究[22]將二者進(jìn)行結(jié)合.針對(duì)現(xiàn)有研究存在的不足,本文基于軌道車(chē)輛的典型特征,選取了2 種具有代表性的時(shí)域動(dòng)載荷識(shí)別方法,在10 自由度軌道車(chē)輛垂向動(dòng)力學(xué)模型基礎(chǔ)上,對(duì)其垂向輪軌力進(jìn)行識(shí)別;詳細(xì)對(duì)比2 種方法在計(jì)算速度、計(jì)算精度等方面的優(yōu)劣;在此基礎(chǔ)上,針對(duì)物理時(shí)域方法所存在的識(shí)別誤差,引入機(jī)器學(xué)習(xí)算法,將NARX (nonlinear autoregressive models with exogenous inputs)模型作為誤差預(yù)測(cè)模型,對(duì)時(shí)域動(dòng)載荷識(shí)別方法的識(shí)別誤差進(jìn)行修正,進(jìn)而嘗試提高動(dòng)載荷的識(shí)別精度.本文方法旨在為后續(xù)的軌道車(chē)輛輪軌力識(shí)別,乃至列車(chē)運(yùn)行安全性評(píng)估提供理論支撐.

1 時(shí)域動(dòng)載荷識(shí)別方法

1.1 Green 函數(shù)法

加速度脈沖響應(yīng)函數(shù)如下式所示[23]

通過(guò)脈沖響應(yīng)函數(shù)公式,可以得到每一時(shí)刻的脈沖響應(yīng)函數(shù)值,并由此計(jì)算得出振動(dòng)系統(tǒng)的Green函數(shù)矩陣.對(duì)于單自由度系統(tǒng),其響應(yīng)正演表達(dá)式如下所示

式中,z為系統(tǒng)的響應(yīng)向量,z={z1,z2,···,zm}T;F為系統(tǒng)所受的載荷向量,F={F1,F2,···,Fm}T;zi和Fi分別代表第i個(gè)時(shí)刻的響應(yīng)值和載荷值;m為采樣點(diǎn)的個(gè)數(shù);H為系統(tǒng)的Green 函數(shù)矩陣.式(2)可寫(xiě)為如下的形式

式中,hi(i=1,2,···,m)為脈沖響應(yīng)函數(shù)值;Δt為時(shí)間步長(zhǎng).

對(duì)于單自由度系統(tǒng),其Green 函數(shù)矩陣的構(gòu)建方法是,通過(guò)脈沖響應(yīng)函數(shù)公式計(jì)算出各個(gè)時(shí)刻的脈沖響應(yīng)函數(shù)值hi(i=1,2,···,m),令矩陣主對(duì)角線以上的元素的值為0,主對(duì)角線上的元素為 Δth1,從矩陣第1 列到第m列的元素,其值均從主對(duì)角線上的 Δth1開(kāi)始,第1 列為 Δth1～Δthm,第2 列為 Δth1～Δthm-1,以此類(lèi)推,直到第m列,其非零元素為主對(duì)角線元素 Δth1.

與單自由度系統(tǒng)不同,多自由度系統(tǒng)通過(guò)脈沖響應(yīng)函數(shù)公式計(jì)算出的各個(gè)時(shí)刻的脈沖響應(yīng)函數(shù)值hi(i=1,2,···,m)均為矩陣,因此多自由度系統(tǒng)的Green 函數(shù)矩陣可以看做眾多形同單自由度Green 函數(shù)矩陣的子矩陣的組合,各子矩陣中的元素分別為hi中對(duì)應(yīng)位置的值與 Δt之積.多自由度系統(tǒng)的正演模型如下所示

式中,zi為第i個(gè)位置的響應(yīng)列陣;Fi為第i個(gè)位置的載荷列陣;為載荷作用點(diǎn)i和響應(yīng)測(cè)量點(diǎn)j之間的Green 函數(shù)矩陣;M和N分別為作用在系統(tǒng)上的動(dòng)載荷個(gè)數(shù)和響應(yīng)測(cè)量點(diǎn)的個(gè)數(shù).為保證該線性方程組有解,需要滿足N≥M.

在正演模型建立完成后,通過(guò)對(duì)Green 函數(shù)矩陣求逆(或求廣義逆)來(lái)對(duì)動(dòng)載荷進(jìn)行識(shí)別,單自由度系統(tǒng)和多自由度系統(tǒng)的動(dòng)載荷識(shí)別公式分別如下所示

1.2 狀態(tài)空間法

對(duì)于一個(gè)n自由度線性定常系統(tǒng),其動(dòng)力學(xué)方程如下所示

式中,M,C和K分別為系統(tǒng)質(zhì)量、阻尼和剛度矩陣;,和x分別為系統(tǒng)加速度、速度和位移向量;f為外載荷向量.

將上式轉(zhuǎn)化為狀態(tài)空間方程的形式,為

由文獻(xiàn)[24]可知,一般的離散狀態(tài)空間方程只能通過(guò)位移和速度對(duì)動(dòng)載荷進(jìn)行識(shí)別,當(dāng)已知系統(tǒng)加速度時(shí),需引入Newmark 積分對(duì)狀態(tài)空間方程進(jìn)行離散,有如下表達(dá)式

式中,Xi為狀態(tài)變量,此時(shí)的狀態(tài)變量由位移、速度、加速度向量組成,Xi=[xi,,]T.

式中,β 和 γ 為Newmark 積分參數(shù),β 一般在0.25到0.5 之間選取,γ 在0 到1 之間選取[24].

由式(9)可得每一步的外載荷的求解表達(dá)式,如下所示

將式(10)展開(kāi),可得到下式

因此在已知加速度響應(yīng)的情況下,通過(guò)式(10)求解外載荷在本質(zhì)上就是通過(guò)式(11)～式(13)求解外載荷.

在剛度和阻尼矩陣中,并不是所有位置的響應(yīng)都與外載荷的計(jì)算相關(guān),為了提高方法的穩(wěn)定性和精度,找到對(duì)外載荷fi+1的計(jì)算有影響的測(cè)點(diǎn)位置(即影響系數(shù)法的概念),把這些測(cè)點(diǎn)位置的加速度響應(yīng)作為已知量,假設(shè)已知i時(shí)刻(初始時(shí)刻) 的位移、速度和加速度,根據(jù)式(11)和式(12)可以得到i+1 時(shí)刻的位移和速度,再根據(jù)式(13)即可求得i+1時(shí)刻的動(dòng)載荷.對(duì)于i時(shí)刻位移和速度未知的情況,由初值引起的誤差將在后文中進(jìn)行討論.該方法較適用于多自由度彈簧–阻尼–質(zhì)量模型,如軌道車(chē)輛動(dòng)力學(xué)模型.

文獻(xiàn)[25] 中給出了Wilson-θ反分析法在非0 初始條件下由初值引起的誤差,并引入多項(xiàng)式擬合趨勢(shì)項(xiàng)對(duì)位移和速度進(jìn)行了修正.由于本文采用的Newmark 積分離散的狀態(tài)空間法同樣需要對(duì)加速度進(jìn)行數(shù)值積分來(lái)間接計(jì)算速度和位移,可能會(huì)存在相同的問(wèn)題,因此同樣需要分析非零初始條件下的初值誤差對(duì)識(shí)別結(jié)果的影響.

為了提高方法的穩(wěn)定性和精度,同樣以對(duì)外載荷計(jì)算有影響的測(cè)點(diǎn)位置的加速度為輸入,若系統(tǒng)為非0 初始狀態(tài),由下式所示

在1 時(shí)刻這些測(cè)點(diǎn)的位移實(shí)際值x1可由0 時(shí)刻的測(cè)點(diǎn)的位移x0、速度、加速度以及1 時(shí)刻的加速度表示,1 時(shí)刻的速度實(shí)際值可由0 時(shí)刻的速度、加速度以及1 時(shí)刻的加速度表示.

由于x0和未知,若此時(shí)仍將系統(tǒng)視為零初始狀態(tài),則帶誤差的1 時(shí)刻的這些測(cè)點(diǎn)的位移和速度計(jì)算值分別為

令 δ11為第1 步的位移計(jì)算誤差,δ21為第1 步的速度計(jì)算誤差,則有

2 初值誤差分析與修正

繼續(xù)計(jì)算第2 時(shí)刻測(cè)點(diǎn)的位移、速度的實(shí)際值與計(jì)算值

令 δ12為第2 步的位移計(jì)算誤差,δ22為第2 步的速度計(jì)算誤差,則有

至此已經(jīng)可以發(fā)現(xiàn)規(guī)律,即第k步的測(cè)點(diǎn)位移計(jì)算誤差 δ1k、速度計(jì)算誤差 δ2k分別為

要確定趨勢(shì)項(xiàng),就需要求得一組pk使得I值達(dá)到最小,由多元函數(shù)求極值的必要條件可得

其中j=0,1,2,···,m,即

將其表示為矩陣形式,如下式所示

可以證明,方程組系數(shù)矩陣是一個(gè)對(duì)稱(chēng)正定矩陣,故存在唯一解.通過(guò)上式求解出pk,從而可得擬合多項(xiàng)式.

除了初值誤差引入的趨勢(shì)項(xiàng)之外,相關(guān)研究[26-27]也表明,對(duì)于由信號(hào)本身或其他因素所引起的積分信號(hào)的曲線趨勢(shì)項(xiàng),多項(xiàng)式擬合修正的方法同樣也是有效的.

3 基于NARX 模型的動(dòng)載荷識(shí)別誤差修正

采用基于純物理模型的時(shí)域法對(duì)動(dòng)載荷進(jìn)行識(shí)別時(shí),難免會(huì)因?yàn)楦鞣N因素的影響(如響應(yīng)觀測(cè)不全,觀測(cè)噪聲等)造成識(shí)別誤差.為了減小識(shí)別誤差,參考相關(guān)文獻(xiàn)[22,28]中提出的物理–機(jī)器學(xué)習(xí)相結(jié)合的模型思路,本節(jié)引入NARX 模型,利用其強(qiáng)大的非線性逼近能力,通過(guò)一段已知的輸入–輸出時(shí)間歷程對(duì)模型進(jìn)行訓(xùn)練,對(duì)基于物理模型時(shí)域法的動(dòng)載荷識(shí)別誤差進(jìn)行預(yù)測(cè),進(jìn)而嘗試對(duì)識(shí)別誤差進(jìn)行修正,從而提高動(dòng)載荷識(shí)別精度.這樣既避免了純機(jī)器學(xué)習(xí)模型缺乏物理解釋的問(wèn)題,又減小了純物理模型的識(shí)別誤差.

NARX 模型是線性ARX (autoregressive models with exogenous inputs)模型的擴(kuò)展,與靜態(tài)回歸模型相比,增加了多步時(shí)延的環(huán)節(jié),并引入了非線性映射函數(shù),因此NARX 模型具有動(dòng)態(tài)特性,可以利用輸入、輸出的歷史信息來(lái)對(duì)具有復(fù)雜映射關(guān)系的未知時(shí)間歷程進(jìn)行預(yù)測(cè).對(duì)于一個(gè)單輸入單輸出系統(tǒng),其N(xiāo)ARX 模型可以表示為

式中,f(t) 為t時(shí)刻的系統(tǒng)輸出;z(t) 為t時(shí)刻的系統(tǒng)輸入;na為輸出的階數(shù);nk為輸入相對(duì)于輸出延遲的階數(shù);nb為輸入的階數(shù);F(·)為非線性映射函數(shù),常用的有小波網(wǎng)絡(luò)、S 型網(wǎng)絡(luò)、二叉樹(shù)回歸模型、支持向量機(jī)等.由于小波網(wǎng)絡(luò)具有結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單、收斂速度快及計(jì)算精度高的優(yōu)點(diǎn),故本文的F(·)選用小波網(wǎng)絡(luò)[29].

具體到本文而言,由于要使用軌道車(chē)輛軸箱響應(yīng)來(lái)預(yù)測(cè)垂向輪軌力的識(shí)別誤差,因此本文采用的NARX 模型的輸入為軌道車(chē)輛軸箱響應(yīng),輸出為垂向輪軌力的識(shí)別誤差,定義識(shí)別誤差為物理模型時(shí)域法的識(shí)別值減去輪軌力的真實(shí)值(可以含隨機(jī)噪聲),具體的NARX 模型可以表示為框圖的形式,如圖1 所示.

圖1 NARX 模型示意圖Fig.1 Schematic diagram of NARX model

采用NRMSE適應(yīng)度來(lái)評(píng)價(jià)NARX 模型的預(yù)測(cè)精度,如下式所示

式中,f為目標(biāo)輸出;為目標(biāo)輸出的均值;為模型的預(yù)測(cè)輸出.

在使用訓(xùn)練集的輸入輸出以及測(cè)試集的輸入得到NARX 模型的識(shí)別誤差預(yù)測(cè)值之后,以測(cè)試集的響應(yīng)輸入得到物理模型時(shí)域法的識(shí)別結(jié)果,再將該識(shí)別結(jié)果減去識(shí)別誤差預(yù)測(cè)值即為修正后的動(dòng)載荷識(shí)別值,其框圖如圖2 示.

當(dāng)非線性映射函數(shù)確定之后,輸出的階數(shù)na、輸入相對(duì)于輸出延遲的階數(shù)nk以及輸入的階數(shù)nb將影響NARX 模型的預(yù)測(cè)效果,參數(shù)的選取將在下一節(jié)進(jìn)行討論.

4 軌道車(chē)輛垂向輪軌力識(shí)別

根據(jù)《車(chē)輛?軌道耦合動(dòng)力學(xué)》[30],車(chē)輛垂向動(dòng)力學(xué)模型由車(chē)體、前后轉(zhuǎn)向架和4 個(gè)輪對(duì)組成.對(duì)于車(chē)體以及前后轉(zhuǎn)向架,考慮浮沉運(yùn)動(dòng)和點(diǎn)頭運(yùn)動(dòng);對(duì)于4 個(gè)輪對(duì),考慮浮沉運(yùn)動(dòng),總計(jì)10 個(gè)自由度,如圖3 所示.在本研究中,根據(jù)該模型進(jìn)行動(dòng)力學(xué)建模,以軸箱加速度響應(yīng)為輸入,對(duì)輪軌垂向力進(jìn)行識(shí)別.通過(guò)建立車(chē)輛垂向動(dòng)力學(xué)微分方程,可以提取出該系統(tǒng)的質(zhì)量M、剛度和阻尼矩陣K,C,外載荷向量如下.

圖3 軌道車(chē)輛垂向動(dòng)力學(xué)模型Fig.3 Vertical dynamic model of rail vehicles

式中,Mc為車(chē)體質(zhì)量;Mt為構(gòu)架質(zhì)量;Mw為輪對(duì)質(zhì)量;Icy為車(chē)體繞Y軸轉(zhuǎn)動(dòng)慣量;Ity為構(gòu)架繞Y軸轉(zhuǎn)動(dòng)慣量;Ksz為轉(zhuǎn)向架一側(cè)二系懸掛垂向剛度(N/m);Kpz為每軸箱一系懸掛垂向剛度(N/m);Csz為轉(zhuǎn)向架一側(cè)二系懸掛垂向阻尼(N·s/m);Cpz為每軸箱一系懸掛垂向阻尼(N·s/m);F為外載荷向量,F1,F2,F3和F4分別為第1 輪對(duì)、第2 輪對(duì)、第3 輪對(duì)和第4 輪對(duì)輪軌垂向動(dòng)載荷;lc為車(chē)輛定距之半;lt為車(chē)輛固定軸距之半.

采用通用動(dòng)力學(xué)仿真軟件建立具有同等懸掛參數(shù)的軌道車(chē)輛多體動(dòng)力學(xué)模型,采樣頻率為1000 Hz,得到仿真模型在一段隨機(jī)高低不平順軌道激勵(lì)下以250 km/h 速度行駛時(shí)的4 個(gè)輪對(duì)的垂向輪軌動(dòng)載荷和軸箱垂向加速度響應(yīng),在此以第1 輪對(duì)為例,截取非零初始條件下的4000 組采樣點(diǎn)作為測(cè)試集,另取10 000 組采樣點(diǎn)作為訓(xùn)練集,如圖4 所示.采用Pearson 相關(guān)系數(shù)來(lái)評(píng)價(jià)方法的識(shí)別精度,如下式所示[14]

圖4 第1 輪對(duì)垂向輪軌力及加速度時(shí)間歷程Fig.4 Time history of vertical wheel-rail force and acceleration of the first wheelset

式中,n為采樣點(diǎn)的數(shù)目;為識(shí)別載荷;為識(shí)別載荷的均值;Pi為外載荷;為外載荷的均值.

考慮到以往的相關(guān)研究均直接使用仿真正演的加速度響應(yīng)作為模型輸入,而實(shí)際上,在進(jìn)行加速度響應(yīng)的觀測(cè)時(shí)難以避免地會(huì)存在觀測(cè)噪聲,為了模擬實(shí)際,在本文算例的軸箱加速度響應(yīng)中添加5%的隨機(jī)噪聲.分別使用Green 函數(shù)法和狀態(tài)空間法對(duì)輪軌垂向力進(jìn)行識(shí)別,并對(duì)比識(shí)別精度與計(jì)算速度,如表1 所示,2 種方法對(duì)第1 輪對(duì)的識(shí)別結(jié)果對(duì)比如圖5 所示.

表1 2 種時(shí)域法對(duì)垂向輪軌力的識(shí)別結(jié)果對(duì)比Table 1 Comparison of the two time domain methods for identifying vertical wheel-rail forces

圖5 2 種方法對(duì)第1 輪對(duì)垂向輪軌力的識(shí)別結(jié)果對(duì)比Fig.5 Comparison of the two methods for identifying the vertical wheel-rail force of the first wheelset

從表1 中可以看出,在計(jì)算時(shí)間方面,狀態(tài)空間法具有較快的計(jì)算速度,對(duì)4 s 時(shí)間歷程的識(shí)別計(jì)算時(shí)間在0.5 s 左右,而Green 函數(shù)法因?yàn)樾枰⒁?guī)模較大的Green 函數(shù)矩陣并對(duì)其進(jìn)行求逆,因而計(jì)算效率較低,計(jì)算時(shí)間達(dá)到了19 s 左右;在計(jì)算精度方面,2 種方法識(shí)別值與仿真值的Pearson 相關(guān)系數(shù)均大于0.91,對(duì)應(yīng)極強(qiáng)相關(guān)性,說(shuō)明2 種方法均能較好地識(shí)別出輪軌垂向力.但從圖5 中可以看出,識(shí)別值與仿真值的波形在一些位置的對(duì)應(yīng)較差,識(shí)別效果還有一定的提升空間,因此引入NARX 模型對(duì)識(shí)別誤差進(jìn)行修正,并對(duì)2 種方法的識(shí)別誤差進(jìn)行提取.考慮到篇幅的限制,在后文中只針對(duì)第一輪對(duì)進(jìn)行修正,其余輪對(duì)的修正步驟與之相同,不再進(jìn)行展開(kāi).

為了使結(jié)果更具一般性,同時(shí)考察模型對(duì)噪聲的抵抗能力,在訓(xùn)練集和測(cè)試集的軸箱加速度與識(shí)別誤差中也引入5%的隨機(jī)噪聲以模擬實(shí)際觀測(cè)噪聲.對(duì)于Green 函數(shù)法,由于載荷識(shí)別結(jié)果僅與加速度有關(guān),因此使用軸箱加速度作為誤差預(yù)測(cè)模型的輸入即可;而對(duì)于狀態(tài)空間法,經(jīng)試算發(fā)現(xiàn)直接使用軸箱加速度來(lái)預(yù)測(cè)載荷誤差較為困難,預(yù)測(cè)效果差,分析其原因可知,這種方法的載荷識(shí)別結(jié)果與加速度、速度和位移均有關(guān),所用到的速度、位移是由加速度間接計(jì)算得到的,由于軸箱加速度本來(lái)就是非平穩(wěn)信號(hào),其中還含有噪聲,因此間接計(jì)算得到的位移即使在使用更高次的多項(xiàng)式擬合趨勢(shì)項(xiàng)修正后仍然存在一定的誤差,而經(jīng)間接計(jì)算得到的速度誤差較小,因此位移所含的誤差對(duì)載荷識(shí)別結(jié)果的影響相對(duì)更大,故選取計(jì)算并修正后得到的軸箱位移作為該方法誤差預(yù)測(cè)模型的輸入.在進(jìn)行修正之前,還需要尋找NARX 模型的誤差預(yù)測(cè)效果和輸入階數(shù)nb、輸出階數(shù)na以及輸入相對(duì)于輸出延遲的階數(shù)nk的關(guān)系.需要進(jìn)行說(shuō)明的是,一般的機(jī)器學(xué)習(xí)研究對(duì)于模型超參數(shù)的選取常在驗(yàn)證集進(jìn)行,而本文研究的重點(diǎn)主要是提供算法思路并驗(yàn)證其可行性,而不是超參數(shù)的選取,故沒(méi)有再設(shè)置驗(yàn)證集,而是在測(cè)試集進(jìn)行參數(shù)選取.事實(shí)上,本文測(cè)試集起到的是驗(yàn)證集的作用,后續(xù)如需進(jìn)一步驗(yàn)證模型的泛化能力,再另外選取新的測(cè)試集進(jìn)行測(cè)試即可.

在本例中,暫不考慮nk的影響,只通過(guò)改變輸入階數(shù)nb、輸出階數(shù)na來(lái)達(dá)到一個(gè)較好的誤差預(yù)測(cè)效果.同樣以第一輪對(duì)為例,設(shè)置na,nb的值以5 為步長(zhǎng)遞增,為了防止輸入輸出階數(shù)過(guò)大而導(dǎo)致的訓(xùn)練發(fā)散,將其最大值設(shè)置為150,觀察測(cè)試集的NRMSE適應(yīng)度隨著na和nb值增加的變化情況,如圖6 所示.

圖6 測(cè)試集預(yù)測(cè)誤差NRMSE 適應(yīng)度隨na 和nb 值的變化關(guān)系Fig.6 The relationships between the NRMSE of predicted error and the values of na and nb in the test set

從圖6 中可以看出,2 種方法預(yù)測(cè)誤差的NRMSE適應(yīng)度隨著na和nb值的增大,整體呈現(xiàn)出增大的趨勢(shì),當(dāng)na和nb值達(dá)到60 左右時(shí),NRMSE值增長(zhǎng)趨勢(shì)變緩,且均大于50%.根據(jù)圖中呈現(xiàn)的關(guān)系,選取2 種方法的na和nb均為150,2 種方法在測(cè)試集的誤差原始值(含5% 隨機(jī)噪聲) 和預(yù)測(cè)值如圖7 所示,對(duì)應(yīng)的NRMSE適應(yīng)度如表2 所示.

表2 預(yù)測(cè)誤差的NRMSE 適應(yīng)度Table 2 NRMSE of the predicted error

圖7 測(cè)試集的誤差原始值(含5%隨機(jī)噪聲)和預(yù)測(cè)值Fig.7 The original error (including 5% random noise) and the predicted error in the test set

從圖7 中可以看出,NARX 模型能較好地預(yù)測(cè)2 種方法的誤差趨勢(shì),在訓(xùn)練集識(shí)別誤差帶5%隨機(jī)噪聲的情況下,仍然能較準(zhǔn)確地預(yù)測(cè)出2 種方法的識(shí)別誤差,具有一定的抗噪能力,NRMSE適應(yīng)度均大于73%.將圖7 中的誤差預(yù)測(cè)值記為err,用于修正圖5 中的垂向輪軌力識(shí)別值(記為F*),則有輪軌力最終識(shí)別值F為

經(jīng)修正后的輪軌力最終識(shí)別值F如圖8 所示.

圖8 最終識(shí)別值對(duì)比Fig.8 Comparison of the final identification values

從圖8 中可以看到,經(jīng)NARX 誤差預(yù)測(cè)模型修正后的2 種方法對(duì)第一輪對(duì)的最終識(shí)別結(jié)果均能很好地逼近原始載荷,識(shí)別誤差得到了很好的消除,其Pearson 相關(guān)系數(shù)分別為0.998 和0.997,對(duì)應(yīng)極強(qiáng)相關(guān)性,相對(duì)于未修正的結(jié)果而言,Pearson 相關(guān)系數(shù)分別提升了0.050 和0.039.可見(jiàn),本文所采用的時(shí)域法結(jié)合NARX 誤差修正的動(dòng)載荷識(shí)別模型能很好地識(shí)別軌道車(chē)輛垂向輪軌力,并具有一定的抗噪能力.

5 結(jié)論

本文采用基于NARX 模型的機(jī)器學(xué)習(xí)方法對(duì)兩種常用的動(dòng)載荷時(shí)域識(shí)別方法進(jìn)行修正,在對(duì)兩方法計(jì)算速度、計(jì)算精度對(duì)比的基礎(chǔ)上,完成了軌道車(chē)輛垂向輪軌力的識(shí)別,主要得到以下結(jié)論.

(1) 提出了經(jīng)典時(shí)域法結(jié)合機(jī)器學(xué)習(xí)修正的動(dòng)載荷識(shí)別方法,基于兩種方法對(duì)軌道車(chē)輛垂向輪軌力進(jìn)行識(shí)別,通過(guò)機(jī)器學(xué)習(xí)方法修正后的載荷識(shí)別誤差明顯減小,顯著提高了輪軌力的識(shí)別精度.

(2) 基于Green 函數(shù)法和狀態(tài)空間法的軌道車(chē)輛垂向輪軌力識(shí)別值與正演值的Pearson 相關(guān)系數(shù)大于0.91,但兩方法的識(shí)別精度均還有提升空間;在計(jì)算效率方面,狀態(tài)空間法對(duì)4 s 樣本的識(shí)別計(jì)算時(shí)間在0.5 s 左右,具有較快的計(jì)算速度,而Green 函數(shù)法由于需要建立較大規(guī)模的Green 函數(shù)矩陣并對(duì)其進(jìn)行求逆,因而計(jì)算效率較低,計(jì)算時(shí)間達(dá)到了19 s 左右.

(3) 針對(duì)兩種方法的誤差產(chǎn)生原因,引入基于NARX 模型的機(jī)器學(xué)習(xí)方法,通過(guò)對(duì)兩方法識(shí)別誤差的訓(xùn)練和預(yù)測(cè),修正原始識(shí)別結(jié)果.研究結(jié)果表明: 采用NARX 模型修正時(shí)域法識(shí)別誤差的這一模式具有一定的可行性,可以較好地消除由響應(yīng)觀測(cè)不全、隨機(jī)噪聲等因素引起的輪軌力識(shí)別誤差.經(jīng)修正后,2 種方法對(duì)第1 輪對(duì)的最終識(shí)別值與仿真值的Pearson 相關(guān)系數(shù)均大于0.99,識(shí)別精度得到了較大的提高,說(shuō)明本文方法為時(shí)域法識(shí)別精度的進(jìn)一步提高提供了一種思路,具有一定的工程應(yīng)用價(jià)值.

在后續(xù)的研究中,還可以考慮對(duì)軌道車(chē)輛橫向輪軌力以及帶有部分懸掛參數(shù)非線性的軌道車(chē)輛模型的輪軌力進(jìn)行識(shí)別,進(jìn)一步研究本文方法在更復(fù)雜的模型中的載荷識(shí)別能力.