類比法在初中數(shù)學解題中的應用技巧

趙靜

【摘要】數(shù)學是抽象且邏輯關系嚴謹?shù)囊婚T學科，故而在初中數(shù)學課程中，學生經(jīng)常需要解答抽象復雜的問題.為幫助學生解決問題，學好、用好數(shù)學，文章提出了結構化類比、降維類比、跨學科類比等技巧.教師應在初中數(shù)學教學中設計解決問題環(huán)節(jié)，同時指導學生應用類比法，培養(yǎng)學生創(chuàng)新解題能力，促進學生鞏固學習內容，形成知識框架.

【關鍵詞】初中數(shù)學；類比法；解決問題；應用技巧

《義務教育數(shù)學課程標準（2022年版）》在描述數(shù)學課程核心素養(yǎng)在初中階段的主要表現(xiàn)時指出：運用歸納和類比發(fā)現(xiàn)數(shù)學關系與規(guī)律，提出數(shù)學命題與猜想，并加以驗證.類比作為數(shù)學研究的一種經(jīng)典方法，能夠應用于初中數(shù)學解題中，對學生解決問題起到促進作用，能培養(yǎng)學生的創(chuàng)新意識、推理能力等.類比法在初中數(shù)學解題中的應用技巧亟待研究，教師應當在初中數(shù)學教學中，借助豐富的問題為學生搭建解題平臺，同時指導學生應用類比法，使其掌握結構化類比、降維類比等技巧，活躍學生的數(shù)學解題思維.

一、類比法在初中數(shù)學解題中的應用價值

類比法是通過未知或不確定對象與已知或確定對象的歸類和比較，猜測或確認未知或不確定對象的一種古老的認知思維與推測方法.在數(shù)學領域，類比法有其獨特的應用價值.具體到初中數(shù)學解題方面，類比法既有助于學生梳理思路，建立解題思維，又有利于學生鞏固學習內容，形成知識框架.

（一）梳理思路，建立解題思維

從小學過渡到初中階段，學生需要面對愈發(fā)復雜的數(shù)學問題，這對學生解題思維提出了更高層次的要求.類比法作為一種古老的認知思維，對學生解題思維的建立至關重要.比如，基于類比法的歸類的比較步驟，學生首先將初中數(shù)學問題劃分為特定類別，其次以問題類別為依據(jù)分析解決問題的具體方法，最后根據(jù)類比得到的問題特點落實精準解題.從分析問題到解決問題，學生并非如無頭蒼蠅一般反復嘗試，而是巧妙地在歸類、比較中梳理思路，能夠更加快速地建立解題思維，提升邏輯思維水平.

（二）鞏固學習內容，形成知識框架

類比的本質是利用已知推理未知，這決定了類比法在初中數(shù)學解題中的應用本質———遷移已有經(jīng)驗探索未知答案.學生應用類比法解題，便是在不斷遷移已有經(jīng)驗探索未知答案的過程中鞏固學習內容，形成知識框架.比如在學習“直角三角形的證明”時，學生應用類比法解題，可以將“等腰三角形的證明”相關知識和經(jīng)驗加以應用.通過這樣的解題過程，學生既能學會證明直角三角形，又能鞏固“等腰三角形的證明”學習內容，明確等腰三角形與直角三角形的內在聯(lián)系.

二、類比法在初中數(shù)學解題中的應用技巧

如何在初中數(shù)學解題中正確構建歸類和比較關系，優(yōu)化邏輯推理？下面，文章將參考北師大版初中數(shù)學教材知識結構，列舉問題實例，研究類比法在初中數(shù)學具體問題中的應用技巧.

（一）結構化類比：把握問題本質，構建熟悉題型

許多學生面對初中數(shù)學題不能靈活解決問題，是因為只注重對單一問題的解題公式、定理等分析，忽略了問題之間的本質聯(lián)系，沒有依據(jù)題型規(guī)律建立解題模型.初中數(shù)學問題萬變不離其宗，許多問題看似不同，但是深挖其本質，能夠發(fā)現(xiàn)其題型結構高度相似.學生可按照此規(guī)律應用類比法解題，從把握問題本質入手，通過構建熟悉題型解決陌生問題，此為結構化類比.比如在“勾股定理的應用”知識領域，許多問題并非直接依托直角三角形呈現(xiàn)，而應用勾股定理解決問題，必須使問題滿足“直角三角形”這一前提.教師可指導學生應用類比法挖掘問題的本質，將普通三角形題型轉化為直角三角形題型，以便準確解題.

例題呈現(xiàn) 如圖1所示的是一個圓柱形飲料罐，底面半徑是5，高是12，上底面中心有一個小圓孔，則一條到達底部的直吸管在罐內部分a的長度x（罐壁厚度和小圓孔大小忽略不計）的范圍是（ ）.

A.12≤x≤13 B.12≤x≤15 C.5≤x≤12 D.5≤x≤13

初讀問題，其考查對象缺乏清晰性，聯(lián)系選項再讀問題，類比吸管、飲料罐底面半徑、飲料罐高與直角三角形短直角邊、長直角邊、斜邊的聯(lián)系，可確認本題為勾股定理基礎題型的變形，故可利用直角三角形的勾股定理特性解題.

（二）降維類比：分析已知條件，簡化問題內容

降維類比是指通過對問題復雜線索與已知簡單信息的對比，將復雜問題化繁為簡，從而由繁到簡地解題.該解題技巧在初中數(shù)學解題中的應用，要求學生細心審題，聯(lián)想分析已知條件.比如在學習“弧長及扇形的面積”這部分內容時，雖然教材已經(jīng)講解了弧長及扇形面積的計算公式，但是在某些求陰影部分面積的問題中，陰影部分并非扇形，學生極易陷入解題困境.教師可指導學生應用類比法分析陰影部分的已知條件，自主將陰影部分轉化為簡單的圖形，化簡問題，簡化解題.

初看示意圖，圖中陰影部分為不規(guī)則圖形，無法直接代入任何面積公式.結合已知信息展開類比，示意圖整體為矩形，空白處為一大一小兩個扇形，故而可將陰影部分轉化為矩形與兩個扇形的面積差.

復雜問題與簡單信息同時出現(xiàn)時，簡單信息可為復雜問題提供解題思路，學生可在解題過程中，類比簡單信息與復雜問題，將復雜問題簡單化，簡化解題過程.以本題為例，復雜問題為陰影部分面積，簡單信息為矩形面積與扇形面積.經(jīng)過降維類比，充分分析已知條件，找準化繁為簡的切入點，問題簡單化，代入公式輕松解決問題.

（三）跨學科類比：應用非數(shù)學元素，發(fā)散解題思維

根據(jù)《義務教育數(shù)學課程標準（2022年版）》，義務教育數(shù)學課程特別設計跨學科主題活動，意在培養(yǎng)學生跨學科的應用意識與實踐能力.跨學科是指將數(shù)學學科與其他非數(shù)學學科相聯(lián)系，發(fā)散學生思維，使其將數(shù)學知識廣泛運用在學習、生活中，同時遷移其他學科知識理解數(shù)學問題，跨學科類比由此成為類比法在初中數(shù)學解題中的應用技巧之一.教師在指導學生應用類比法解決初中數(shù)學問題時，應當避免局限在數(shù)學元素的歸類、對比中，應使學生大膽應用非數(shù)學元素與數(shù)學元素的類比，實現(xiàn)創(chuàng)新解題.比如在“一次函數(shù)的應用”知識領域，許多問題為路程問題，學生可聯(lián)系物理學科“平均速度的測量”等學習經(jīng)驗，類比分析路程問題，發(fā)散求解.

例題呈現(xiàn) 從地面垂直向上拋射一個物體，在落地之前，物體向上的速度v（m/s）是運動時間t（s）的一次函數(shù).經(jīng)測量，該物體的初始速度（t=0時物體的速度）為25m/s，2s后物體的速度為5m/s.（1）寫出v，t的函數(shù)表達式.（2）經(jīng)過多長時間后，物體將到達最高點？（此時物體的速度為0）.

（2）解：已知物體到達最高點時速度為0，則0=-10t+25，解得t=2.5.

答：經(jīng)過2.5s后，物體將到達最高點.

類比數(shù)學元素與非數(shù)學元素，本題與物理中“平均速度的測量”相關.假設物體做平拋運動，其速度與時間仍存在函數(shù)關系，即v=kt+b.從地面垂直向上拋射的物體符合平拋運動特征，物體在下落的過程中不斷減速，可直接設v-t關系式為v=kt+b.緊接著，運用“兩點式”求解函數(shù)關系式，將（0，25）（2，5）分別代入v=kt+b，可得到k與b的具體數(shù)值，解得v=-10t+25.最后根據(jù)題意，將v=0代入v=-10t+25，得到物體到達最高點的時間.

本問題體現(xiàn)了初中數(shù)學跨學科應用與實踐理念，滿足跨學科類比解題技巧在初中數(shù)學解題中的應用條件.細心審題會發(fā)現(xiàn)問題隱含的非數(shù)學元素，大膽聯(lián)想，在物理知識與數(shù)學解題中建立通道，在物理層面還原“平拋運動”v-t圖像，是類比解題的重要保障.學生可使圖像躍然紙上，也可根據(jù)頭腦中的圖像記憶提煉函數(shù)關系式.此后，代入數(shù)學元素于函數(shù)關系式，學生可融合類比法與一次函數(shù)核心知識，高效解題.

（四）“數(shù)”“形”類比：運用數(shù)形結合思想，化抽象為直觀

數(shù)形結合是初中數(shù)學解題的“法寶”.古今中外，無數(shù)數(shù)學家提出數(shù)形結合思想.數(shù)學問題的解決過程中，數(shù)是重要依據(jù)，形是關鍵工具.初中數(shù)學函數(shù)、方程、不等式、立體幾何等問題中，學生均可運用數(shù)形結合思想解決問題，此為“數(shù)”“形”類比.學生可根據(jù)問題已知條件化“數(shù)”為“形”或以“數(shù)”化“形”，從而化抽象問題為直觀信息，提高解題效率.比如在學習“應用一元一次方程———追趕小明”知識時，學生若無法憑借問題文字信息理清解題思路，便可應用“數(shù)”“形”類比技巧，將問題文字轉化為圖形語言，以具象化的方程關系幫助解題.

例題呈現(xiàn) 小彬和小強每天早晨堅持跑步，小彬每秒跑4m，小強每秒跑6m.（1）如果他們站在百米跑道的兩端同時相向起跑，那么幾秒后兩人相遇？（2）如果小強站在百米跑道的起點處，小彬站在他前面10m處，兩人同時同向起跑，幾秒后小強能追上小彬？

答：小彬站在小強前面10m處，兩人同時同向起跑，5秒后小強能追上小彬.

類比問題第（1）小問與圖3，小彬和小強同時相向起跑，兩人相遇，即共同跑完100米，可根據(jù)“路程和=速度和×時間和”等量關系，列出方程“（4+6）x=100”解題.類比問題第（2）小問與圖4，小彬和小強一前一后同時同向起跑，小強追上小彬時，小彬跑步的距離與兩人跑步起點距離之和，等于小強跑步的距離，等量關系隱含在示意圖中，可列出方程“4y+10=6y”并解題.

本題為典型的相遇追及問題，共分為兩個小問，學生若僅憑文字信息分析問題，極易落入解題陷阱，混淆一元一次方程的應用思維.學生若應用類比法，將文字信息類比為圖形語言，即圖3與圖4，有助于將小彬和小強的相遇、追及關系具象化，把握等量關系，列出方程并解題.學生可結合題意應用類比法，通過圖形表現(xiàn)歸類和比較結果，從而快速判斷等量關系，保證列方程、解方程的準確性.

結 語

基于類比法在初中數(shù)學解題中的應用價值，類比法在初中數(shù)學解題中的應用技巧已經(jīng)成為教師關注的焦點.類比法在初中數(shù)學解題中的具體應用，可以是把握問題本質，構建熟悉題型，也可以是分析已知條件，簡化問題內容，還可以是應用非數(shù)學元素，發(fā)散解題思維，更可以是運用數(shù)形結合思想，化抽象為直觀.教師應當在初中數(shù)學課程中，積極指導學生應用類比法解決問題，使學生建立良好的解題思維，達成高效學習、學以致用.

【參考文獻】

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