具有吸收項(xiàng)的加權(quán)反應(yīng)擴(kuò)散方程解的性質(zhì)

楊來君,楊 梓

(蘭州交通大學(xué) 數(shù)理學(xué)院,甘肅 蘭州 730070)

0 引言

近年來,許多文獻(xiàn)研究了拋物方程和拋物系統(tǒng)解的全局存在性,解的爆破時(shí)間的上下界、爆破集、爆破速率和解的漸近行為等解的其他性態(tài)[1-5],其中,反應(yīng)擴(kuò)散方程的解全局存在性和爆破以及何時(shí)發(fā)生爆破是重要的研究方向。目前研究爆破時(shí)間上界的方法較多[6]而研究爆破時(shí)間下界的方法較少,Payne等在研究爆破時(shí)間下界方面做了開創(chuàng)性工作[7-10]。有關(guān)拋物方程和拋物系統(tǒng)的上下界在物理學(xué)、天文學(xué)、生物學(xué)、化學(xué)等領(lǐng)域有著廣泛的應(yīng)用[11-12]。文獻(xiàn)[13]研究具有加權(quán)非局部源和Robin邊界條件下半線性拋物方程

(1)

的解的爆破情況,利用微分不等式技巧,得到了在高維空間中解的爆破時(shí)間的下界。文獻(xiàn)[14]研究了具有加權(quán)梯度非線性反應(yīng)擴(kuò)散方程

(2)

爆破時(shí)間的界。利用上下解方法和微分不等式技巧,得到了在適當(dāng)?shù)臏y(cè)度意義下解在有限時(shí)間爆破的充分條件,同時(shí)得到在高維空間中爆破時(shí)間的上下界并給出一些應(yīng)用實(shí)例。文獻(xiàn)[15]研究具有加權(quán)非局部梯度吸收項(xiàng)的反應(yīng)擴(kuò)散方程

(3)

通過構(gòu)造輔助函數(shù),運(yùn)用微分不等式技巧,得到了解的全局存在性和爆破時(shí)間的上下界。

受以上文獻(xiàn)的啟發(fā),考慮到邊界也會(huì)受到非局部的影響,本文研究具有加權(quán)非局部梯度吸收項(xiàng)的反應(yīng)擴(kuò)散方程

(4)

1 解的全局存在性

定理1設(shè)Ω?RN(N≥1)是一個(gè)具有光滑邊界?Ω的有界域,權(quán)函數(shù)a(x)滿足(A1)或(A2)且函數(shù)f和g滿足條件

(5)

(6)

則當(dāng)t>0時(shí)問題(4)的非負(fù)古典解u(x,t)存在,其中

a1≥0,a2≥0,q>0,l>1,m>max{σ+2,2σ-1,p,l},

(7)

ε在證明中給出。

(8)

(9)

其中

將式(9)代入式(8),可得

(10)

通過H?lder不等式和Young不等式,可得

(11)

(12)

在式(7)的條件下,由H?lder不等式,可得

(13)

(14)

(15)

(16)

將式(13)～(16)代入式(12)并使用Poincare不等式,可得

(17)

其中,

(18)

由式(18)得:當(dāng)φ(t)>(P1+P2+P3)q-GP4G-q≥1時(shí),φ′(t)≤0;當(dāng)0<φ(t)<1時(shí),取Q=min{σ+2,2σ-1,p},可得

(19)

由式(19)得,當(dāng)0<(P1+P2+P3)q-QP4Q-q<φ(t)<1時(shí),φ′(t)≤0。

取適當(dāng)?shù)腶1,a2,ε,使其滿足式(18)(19)兩個(gè)條件。由此可得,函數(shù)φ(t)是單調(diào)遞減的;因?yàn)棣?t)>0,所以對(duì)于所有的t>0,解u(x,t)存在。接下來,給出爆破的定義,并分別得到爆破時(shí)間的上界和下界。

則稱u(x,t)在有限時(shí)間內(nèi)爆破。

2 爆破時(shí)間的上界

定理2設(shè)Ω?RN(N≥1)是一個(gè)具有光滑邊界?Ω的有界域,u(x,t)是問題(4)的非負(fù)古典解;權(quán)函數(shù)a(x)滿足(A1)或(A2),θ(0)≥0且函數(shù)f和g滿足如下條件:

(20)

(21)

則解u(x,t)在有限時(shí)間t*

(22)

如果β=0,則有T=∞。

證明由式(4)、格林公式、式(20)～(22),可得

(23)

由式(4)(22)和格林公式,可得

由于θ(0)≥0,所以對(duì)?t∈(0,t*),有θ(t)≥0。由式(23)及Schwarz不等式,可得

(24)

對(duì)式(24)從0到t進(jìn)行積分,可得θ(t)(Ψ(t))-(1+β)≥θ(0)(Ψ(0))-(1+β),記M=θ(0)(Ψ(0))-(1+β),可得

θ(t)≥M(Ψ(t))1+β。

(25)

將式(25)代入式(23)并從0到t進(jìn)行積分,可得

(26)

3 爆破時(shí)間的下界

定理3設(shè)Ω?RN(N≥3)是一個(gè)具有光滑邊界?Ω的有界域,u(x,t)是問題(4)的非負(fù)古典解,權(quán)函數(shù)a(x)滿足(A1)或(A2)且函數(shù)f滿足式(5),g滿足條件

(27)

則u(x,t)在有限時(shí)間t*發(fā)生爆破,且有

其中

(28)

(29)

由式(9)可得

(30)

通過H?lder不等式和Young不等式,可得

(31)

(32)

(33)

其中C2=C2(N,Ω)是和空間維數(shù)N和區(qū)域Ω有關(guān)的常數(shù)。

在式(28)的條件下,由H?lder不等式和Young不等式,可得

(34)

在(28)的條件下,由H?lder不等式和式(33),可得

(35)

通過基本不等式

(36)

將式(36)代入式(35),可得

(37)

在式(28)的條件下,由Young不等式,可得

(38)

將式(38)代入式(37),可得

(39)

將式(34)(39)代入式(32)并取

得

(40)

其中

在式(28)的條件下,通過H?lder不等式,可得

(41)

將式(41)代入式(40),可得

(42)

其中

由式(42)可得

(43)

對(duì)式(43)兩邊從0到t積分,可得