具有年齡結(jié)構(gòu)的三種群捕食與被捕食系統(tǒng)的最優(yōu)生育率控制

周子娟

(蘭州交通大學(xué) 數(shù)理學(xué)院,甘肅 蘭州 730070)

有關(guān)生物種群系統(tǒng)的問題自提出以來,便一直被廣泛討論,對于具有年齡結(jié)構(gòu)的最優(yōu)控制問題前人已做了大量研究[1-5]。種群中新生個體的出生率對整個種群的延續(xù)有著至關(guān)重要的影響,研究種群生育率能使系統(tǒng)種群密度盡可能接近理想分布,近年來已有許多學(xué)者對該問題做了研究[6-9]。文獻(xiàn)[10]研究了基于時滯的單種群模型的最優(yōu)生育率控制;文獻(xiàn)[11]討論了周期問題下單種群模型的最優(yōu)生育率控制問題;文獻(xiàn)[12]對具有競爭關(guān)系的兩種群系統(tǒng)的最優(yōu)生育率控制問題做了研究。上述研究并未深入考慮多種群間的相互作用關(guān)系(例如食物鏈關(guān)系等),而大型生態(tài)系統(tǒng)中的一個重要組成部分是三種群捕食與被捕食系統(tǒng)。因此,本文在上述研究基礎(chǔ)上,考察一類具有年齡結(jié)構(gòu)的多種群模型的最優(yōu)生育率控制問題,該系統(tǒng)由三個相互作用的食物鏈種群構(gòu)成,研究其生育率控制問題更具現(xiàn)實(shí)意義。

1 模型建立

考慮模型

(1)

設(shè)所期望系統(tǒng)(1)的理想狀態(tài)為zid(a,t)∈L2(Q),因此,通過選取適當(dāng)?shù)目刂屏喀耰(a,t),使得種群的密度pi(a,t;βi)盡可能地逼近zid(a,t),同時βi(a,t)也盡可能小,來達(dá)到目的?？紤]最優(yōu)控制問題

(2)

其中,pi(βi)是系統(tǒng)(1)相應(yīng)于βi=βi(a,t)的解。允許控制集為

Ui={βi∈L∞(Q):0<βi(a,t)<1,?a∈(0,A)},i=1,2,3;U=U1×U2×U3。

基本假設(shè)如下:

(H2)λi∈L∞(Q),0≤λi≤C2,這里C2是正常數(shù)。

(H4)0≤β0≤βi(t)≤β0,對?t>0,β0和β0都是正常數(shù)。

2 最優(yōu)生育率控制的存在性

構(gòu)造極值化序列并利用Mazur定理給出最優(yōu)控制問題(1)的存在性結(jié)論。

證明設(shè)

(3)

(4)

(5)

在L∞(Q)上成立。由文獻(xiàn)[14]中引理5.1.1有

(6)

(7)

因Ui(i=1,2,3)有界,則U1×U2×U3中存在子序列,仍記為{(β1n,β2n,β3n)},當(dāng)n→+∞時

(8)

(9)

(10)

令式(10)中n→+∞,再由式(3)得到

(11)

故顯然有

(12)

(13)

(14)

(15)

(16)

(17)

(18)

(19)

3 必要性條件

(20)

wiε→0。

(21)

故引理1得證。

(22)

其中qi=(q1,q2,q3)是下述共軛系統(tǒng)的解:

(23)

整理可得

(24)

由引理1,對式(24)取ε→0+時的極限,得到

(25)

對式(23)第1式兩邊同乘以z1(a,t)并在Q上積分,得到

(26)

又有

(27)

在式(27)的推導(dǎo)過程中,利用了q1(A,t)=q1(a,T)=0。將式(27)代入式(26),那么

再由式(20)第1、2、3式整理得到

(28)

(29)

(30)

結(jié)合式(28)～(30),有

4 結(jié)論

考慮到生育率對生物種群繁衍的影響,本文在假設(shè)條件下,建立一類具有年齡結(jié)構(gòu)的三維食物鏈系統(tǒng),分析了模型的最優(yōu)生育率控制問題。利用極值化序列和Mazur定理證明了該模型最優(yōu)控制的存在性,說明研究該系統(tǒng)的最優(yōu)控制是有意義的,隨后借助法錐概念得到了最優(yōu)生育率控制的必要條件。種群的發(fā)展一般還會受到種群規(guī)模制約,因此建立更加完善的食物鏈模型更具現(xiàn)實(shí)意義。在之后的研究中,可以考慮非線性系統(tǒng)的最優(yōu)生育率控制問題。