一類具有非線性發(fā)生率的時(shí)滯戒煙模型

張子振,張偉詩(shī),宋志強(qiáng)

(1.安徽財(cái)經(jīng)大學(xué) 管理科學(xué)與工程學(xué)院,安徽 蚌埠 233030;2.呼倫貝爾學(xué)院 機(jī)電工程學(xué)院,內(nèi)蒙古 呼倫貝爾 021008)

2016年發(fā)布的《“健康中國(guó)2030”規(guī)劃綱要》提出,鼓勵(lì)政府機(jī)關(guān)、事業(yè)單位、醫(yī)生和教師等群體發(fā)揮控?zé)熞I(lǐng)作用,研究利用稅收、價(jià)格調(diào)節(jié)等綜合手段,提高控?zé)煶尚?到2030年,中國(guó)15歲以上的人群吸煙率應(yīng)低于20%[1-2]。隨著禁煙政策的實(shí)施以及國(guó)民素質(zhì)的提高,吸煙行為在公共場(chǎng)合開始減少,吸煙行為對(duì)潛在吸煙人群的吸引也隨著煙草危害的普及而逐漸減少,在社會(huì)上逐漸形成一種“吸煙流行飽和”的現(xiàn)象。

吸煙作為一種社會(huì)性行為,具有一定的社交功能,所以在傳播形式上與慢性傳染病相似,在人群中具有一定的傳播性,一個(gè)人吸煙可能會(huì)使周圍的很多人吸煙。很多生物數(shù)學(xué)領(lǐng)域的專家通過觀察吸煙行為的流行規(guī)律,構(gòu)建微分方程模型來研究吸煙行為的動(dòng)力學(xué)性質(zhì)。目前戒煙模型按照發(fā)生率主要分為雙線性發(fā)生率和非線性發(fā)生率兩種模型。在雙線性發(fā)生率模型[3-6]中,學(xué)者假設(shè)吸煙人數(shù)與吸煙者的接觸者數(shù)量成正比。然而,在實(shí)際生活中,接觸者因?yàn)榱私馕鼰煹奈：Χ鴷?huì)對(duì)吸煙行為產(chǎn)生一定程度的抑制效應(yīng)。因此,近年來具有非線性發(fā)生率的戒煙模型引起了學(xué)者關(guān)注[7-10]。本文在文獻(xiàn)[7,9]的基礎(chǔ)上,考慮戒煙者重新變?yōu)闈撛谖鼰熣叩幕謴?fù)期時(shí)滯,提出了具有非線性發(fā)生率的時(shí)滯戒煙模型

(1)

該模型將總?cè)巳悍譃闈撛谖鼰熣?、輕度吸煙者、習(xí)慣吸煙者、戒煙者4個(gè)種群,分別用P(t),L(t),S(t),Q(t)表示各個(gè)種群在t時(shí)刻的數(shù)量。Λ,β,c,κ,ε,?,η,v,τ為模型(1)的參數(shù)。其中,Λ指潛在吸煙群體的常數(shù)輸入率,βS指習(xí)慣吸煙者對(duì)于潛在吸煙者的同化能力,P+S+c反映了在社區(qū)中習(xí)慣吸煙者和潛在吸煙者人數(shù)在增加時(shí)產(chǎn)生的飽和效應(yīng)帶來的對(duì)吸煙行為產(chǎn)生的抑制作用,κ指戒煙者向潛在吸煙者轉(zhuǎn)化的率,ε指所有人群的自然死亡率,?指輕度吸煙者向習(xí)慣吸煙者的轉(zhuǎn)化率,η是習(xí)慣吸煙者的戒煙率,v是習(xí)慣吸煙者因吸煙而額外增加的死亡概率,τ是戒煙者成為潛在吸煙者的恢復(fù)期時(shí)滯。本文主要研究時(shí)滯動(dòng)力系統(tǒng)中τ對(duì)系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響。

1 基本再生數(shù)和吸煙平衡點(diǎn)

2 Hopf分岔的存在性

模型(1)在吸煙平衡點(diǎn)E*=(P*,L*,S*,Q*)處的雅可比矩陣為

其中,

求其特征方程可得

λ4+γ3λ3+γ2λ2+γ1λ+γ0+(Ψ3λ3+Ψ2λ2+Ψ1λ+Ψ0)e-λτ=0,

(2)

其中,

γ0=h11h22h33h44+h13h21h32h44-h11h23h32h44,

γ1=-h11h22(h33+h44)-(h11+h22)h33h44-h13h21h32+h23h32(h11+h44),

γ2=h11h22+(h11+h22)h33+(h11+h22+h33)h44-h23h32,γ3=-(h11+h22+h33+h44),

Ψ0=λ44(h11h22h33+h13h21h32-h11h23h32)-λ14h21h32h43,

Ψ1=-λ44(h11h22+h11h33+h22h33-h23h32),Ψ2=λ44(h11+h22+h33),Ψ3=-λ44。

在τ=0的情況下,特征方程(2)變?yōu)?/p>

λ4+(γ3+Ψ3)λ3+(γ2+Ψ2)λ2+(γ1+Ψ1)λ+γ0+Ψ0=0。

(3)

根據(jù)Hurwitz判據(jù)可知,如果式γ0+Ψ0>0,(γ2+Ψ2)(γ3+Ψ3)>(γ1+Ψ1),(γ1+Ψ1)(γ2+Ψ2)(γ3+Ψ3)>(γ0+Ψ0)(γ3+Ψ3)2+(γ1+Ψ1)2成立,在τ=0的情況下,模型(1)將會(huì)局部漸近穩(wěn)定。

在τ>0的情況下,假設(shè)方程(2)的解為λ=i?(?>0),分離實(shí)部和虛部,可以得到

(4)

對(duì)方程組(4)進(jìn)行處理可得

?8+Ω3?6+Ω2?4+Ω1?2+Ω0=0,

(5)

其中

令?2=ζ,方程(5)變?yōu)?/p>

ζ4+Ω3ζ3+Ω2ζ2+Ω1ζ+Ω0=0。,

(6)

對(duì)特征方程(2)中的λ求關(guān)于τ的導(dǎo)數(shù),可得

利用文獻(xiàn)[11]中關(guān)于Hopf分岔存在性的相關(guān)理論,得到下列結(jié)果。

定理1當(dāng)模型(1)的基本再生數(shù)R0>1時(shí),若τ∈[0,τ0)則模型(1)局部漸近穩(wěn)定,若τ>τ0則模型(1)產(chǎn)生Hopf分岔,并在正平衡點(diǎn)E*=(P*,L*,S*,Q*)處產(chǎn)生分岔周期解。

3 分岔周期解的方向和穩(wěn)定性

令τ=τ0+χ,t→(t/τ),其中χ∈R。同時(shí)令u1(t)=P(t)-P*,u2(t)=L(t)-L*,u3(t)=S(t)-S*,u4(t)=Q(t)-Q*。則模型(1)變?yōu)?/p>

(7)

其中,

ut=(u1(t),u2(t),u3(t),u4(t))T∈C([-1,0],R4),Tχ(φ)=(τ0+χ)(J1φ(0)+J2φ(-1)),

其中,

129 CT signs and diagnostic significance in patients with benign or malignant pulmonary ground-glass nodules

根據(jù)Riesz表示定理可知,存在有界變差函數(shù)ρ(θ,χ),其中當(dāng)θ∈[-1,0]時(shí)有

對(duì)φ∈C,可以選取ρ(θ,χ)=(τ0+χ)(J1δ(θ)+J2δ(θ+1)),其中δ(θ)為狄克拉函數(shù)。之后,對(duì)φ∈C([-1,0],R4),定義

且

以及雙線性內(nèi)積

(8)

其中ρ(θ)=ρ(θ,0)。

其中,

其中,

最后,計(jì)算得到下列系數(shù):

(9)

通過文獻(xiàn)[11]中對(duì)分岔周期解相關(guān)性質(zhì)的描述,可以推出下列定理。

定理2當(dāng)μ2>0時(shí),模型(1)在τ0處產(chǎn)生的Hopf分岔將是超臨界的,反之則為次臨界;當(dāng)β2>0時(shí),分岔周期解是不穩(wěn)定的,反之則為穩(wěn)定;當(dāng)T2>0時(shí),分岔周期解為遞增,反之則為遞減。

4 仿真示例

選取Λ=1,β=0.76,c=10,κ=0.26,ε=0.01,?=0.14,η=0.041,v=0.0019,則可以得到模型(1)的示例模型

(10)

因此,可得R0=12.19>0,用Matlab軟件計(jì)算得示例模型(10)存在唯一吸煙平衡點(diǎn)E*(5.2385,20.8211,55.1032,8.3675),進(jìn)而計(jì)算得τ0=5.8976。在τ0兩邊分別隨機(jī)選取一個(gè)數(shù)值進(jìn)行驗(yàn)證。當(dāng)選取τ=5.3379∈(0,τ0)時(shí),示例模型(10)的狀態(tài)軌跡與相圖分別如圖1、2所示,可以看到此時(shí)的模型中各種群數(shù)量局部漸近穩(wěn)定。當(dāng)選取τ=5.9014>τ0時(shí),示例模型(10)將失去穩(wěn)定性,并在吸煙平衡點(diǎn)E*(5.2385,20.8211,55.1032,8.3675)處產(chǎn)生Hopf分岔, 狀態(tài)軌跡和相圖如圖3、4所示。

圖1 當(dāng)τ=5.3379時(shí),示例模型(10)的狀態(tài)軌跡

圖2 當(dāng)τ=5.3379時(shí),示例模型(10)的相圖

圖3 當(dāng)τ=5.9014時(shí),示例模型(10)的狀態(tài)軌跡

圖4 當(dāng)τ=5.9014時(shí),示例模型(10)的相圖

此外,經(jīng)過計(jì)算得到公式(9)的各項(xiàng)系數(shù)的數(shù)值,其中C1(0)=-2.1031+i0.8912,λ′(τ0)=0.5581-i0.7572,μ2=3.7683>0,β2=-4.2062<0,T2=4.0953。由此可知示例模型(10)在τ0=5.8976處產(chǎn)生的Hopf分岔是超臨界的,并且是穩(wěn)定遞增的。

5 小結(jié)

本文擴(kuò)展了文獻(xiàn)[7,9]的研究,提出了一類具有非線性發(fā)生率的戒煙模型,并引入了戒煙者重新變?yōu)闈撛谖鼰熣叩臐摲跁r(shí)滯,研究了一類具有非線性發(fā)生率的時(shí)滯戒煙模型。在對(duì)模型的基本性質(zhì)進(jìn)行了推導(dǎo)后,選擇時(shí)滯作為分岔參數(shù),利用特征值法計(jì)算得到模型局部漸近穩(wěn)定和Hopf分岔存在的充分條件,之后利用中心流行定理推導(dǎo)判斷產(chǎn)生的Hopf分岔方向和周期大小等性質(zhì)。通過仿真模擬可以看到,時(shí)滯的不同取值會(huì)對(duì)模型的穩(wěn)定性進(jìn)行影響,當(dāng)時(shí)滯取值低于臨界值時(shí),此時(shí)模型中各種群中個(gè)體數(shù)量會(huì)在平衡點(diǎn)附近保持穩(wěn)定,此時(shí)吸煙行為的流行易于控制。而當(dāng)時(shí)滯的取值超過臨界值時(shí),模型中的潛在吸煙者、輕度吸煙者、習(xí)慣吸煙者和戒煙者群體的個(gè)體數(shù)量會(huì)變得周期震蕩并產(chǎn)生Hopf分岔,吸煙行為的流行難以控制。