2023年二次函數(shù)中考題新趨勢

吳琨

中考考查二次函數(shù)知識的題型結構基本保持不變，試題特點體現(xiàn)在起點低、尾巴高，根植于教材。不過，近年來的命題增加了思維的含量，體現(xiàn)學以致用與實踐的能力?，F(xiàn)以江蘇省的部分中考題為例加以分析。

一、讓數(shù)與代數(shù)的考查更靈活

例1 （2023· 江蘇泰州）二次函數(shù)y=x2+3x+n的圖像與x軸有一個交點在y軸右側，則n的值可以是。（填一個值即可）

【解析】設二次函數(shù)y=x2+3x+n的圖像與x軸交點的橫坐標為x1、x2，則二元一次方程x2+3x+n=0的根為x1、x2。

由根與系數(shù)的關系，得

x1+x2=-3，x1?x2=n。

∵一次函數(shù)y=x2+3x+n的圖像與x軸有一個交點在y軸右側，∴x1、x2異號?！鄋＜0。

故答案為：-3（答案不唯一）。

【點評】本題考查拋物線與x軸的交點求法以及根與系數(shù)之間的關系。解題的關鍵是要理解根與系數(shù)之間的關系，這樣才能靈活應用到解題過程中。

二、存在性問題或動點問題的考查更全面

例2 （2023· 江蘇蘇州）如圖1，二次函數(shù)y=x2-6x+8的圖像與x軸分別交于點A、B（點A在點B的左側），直線l是對稱軸。點P在函數(shù)圖像上，其橫坐標大于4，連接PA、PB，過點P作PM⊥l，垂足為M，以點M為圓心，作半徑為r的圓，PT與⊙M相切，切點為T。

（1）求點A、B的坐標；

（2）若以⊙M的切線長PT為邊長的正方形的面積與△PAB的面積相等，且⊙M不經(jīng)過點（3，2），求PM長的取值范圍。

【解析】（1）令y=0，則有x2-6x+8=0。解得x=2或x=4?！郃（2，0），B（4，0）。

（2）∵拋物線過點A（2，0）、點B（4，0），

∴拋物線的對稱軸為x=3。

設P（m，m2-6m+8）。

∵PM⊥l，∴M（3，m2-6m+8）。

如圖2，連接MT，則MT⊥PT。

∴PT 2=PM 2-MT 2=（m-3）2-r2。

∴以切線PT為邊長的正方形的面積為（m-3）2-r2。

過點P作PH⊥x軸，垂足為H，則S△PAB=[12]AB?PH=m2-6m+8。

∴（m-3）2-r2=m2-6m+8，即r2=1。

∵r＞0，∴r=1。

假設⊙M過點N（3，2），則有以下兩種情況：

①如圖3，當點M在點N的上方，即M（3，3）。

∴m2-6m+8=3，解得m=5或m=1。

∵m＞4，∴m=5。

②如圖4，當點M在點N的下方，即M（3，1）。

∴m2-6m+8=1，解得m=3±[2]。

∵m＞4，∴m=3+[2]。

綜上，PM=m-3=2或[2]。

∴當⊙M不經(jīng)過點（3，2）時，PM長的取值范圍為：1＜PM＜[2]或[2]＜PM＜2或PM＞2。

【點評】本題主要考查了二次函數(shù)的性質(zhì)、切線的性質(zhì)、勾股定理等知識點，掌握分類討論思想是解題的關鍵。

根據(jù)考查趨勢，我們在學習二次函數(shù)時，一方面可以變更命題的表達形式，培養(yǎng)自己思維的深度，充分理解知識的本質(zhì)，從而提升審題能力；另一方面，可以尋求不同的解題途徑與思維方式，培養(yǎng)自己思維的廣度，從而打破思維定式，拓展思路，優(yōu)化解題方法。

（作者單位：江蘇省南京市上元中學）