《線性代數(shù)》課程教學改革的探索與研究

張婭妮 李雪芳

1.太原科技大學，山西 太原 030024；2.河北工程技術學院，河北 石家莊 050011

《線性代數(shù)》是工科類大學生必修的一門基礎課程，也是碩士研究生入學統(tǒng)一考試中數(shù)學的必考課程［1］。它是一門基礎理論課，在各種代數(shù)分支中居于首要地位。在互聯(lián)網(wǎng)飛速發(fā)展的今天，它已經(jīng)通過量化和離散化等方法解決了很多問題。它作為代數(shù)數(shù)值計算的基礎，是我們解決現(xiàn)實生活中實際問題的一把利器。上課人數(shù)多是大學類數(shù)學課程的普遍現(xiàn)象，再加之它也是一門基礎課，對學生來說不管是學習別的科目還是考研等都非常重要的，并且學生對此也廣泛關注。所以，《線性代數(shù)》這門課程的功能和地位是不言自明的。

一、《線性代數(shù)》課程教學改革的必要性

我國教育的優(yōu)良傳統(tǒng)體現(xiàn)在：育人先“育德”，“注重傳道授業(yè)解惑，育人育才的有機統(tǒng)一”［2］。大學的立身之本主要在于立德樹人，隨著時代的發(fā)展，社會的更新，在我們大學的數(shù)學教學中，要想讓學生在數(shù)學問題上獲得進步，獲得解決能力、分析問題及進一步的應用，這就需要我們在《線性代數(shù)》備課及教學中去研究和探索，從而提高我們的教學質量，達到全方位育人的思想。

二、課程建設目標的改革

為了充分體現(xiàn)對人才的培養(yǎng)目標，在教學中應注重線性代數(shù)理論知識與中國文化、計算機、經(jīng)濟相關問題、建模及實際生活相結合［3］。矩陣、方程和向量等相應的線性代數(shù)知識在中國傳統(tǒng)的數(shù)學文化中就有了體現(xiàn)。矩陣來源于線性方程組并主要是用來進行對其求解［4］，它最早出現(xiàn)在我國的傳統(tǒng)著作《九章算術》中，它是我國傳統(tǒng)文化的一部分。我們知道，從數(shù)學史分析，生動的概念能更加深人們的理解，特殊的數(shù)學符號會對數(shù)學的發(fā)展產(chǎn)生巨大的推力。學生們在學習矩陣時，去探索國家發(fā)展過程中的智慧和文化，不僅可以培養(yǎng)我們的民族自豪感，而且讓學生加深對我國文化的理解。

矩陣作為《線性代數(shù)》課程教學及學習中的一條主線，我們在初次接觸矩陣概念時，可能會感覺到陌生，感覺到不好理解，那么我們可以換個角度，我們知道矩陣是有各個元素組成的，我們可以考慮是否可以將其中的元素設置成特殊元素，從而通過引入特殊的元素的方法來講解矩陣，讓學生理解矩陣的概念，提起學生的興趣，加深學生的理解，從而加深對“國家大事”的了解，通過這樣的教學方法，學生不僅理解了矩陣的概念，對矩陣不再陌生和恐懼，以及抗拒，反而對矩陣有了一種親和力，同時培養(yǎng)了學生們心中的愛國思想，同時樹立正確的世界觀、人生觀、價值觀。教師在講解矩陣的概念時，可以把矩陣用特殊的元素來構造。

學生通過學習，可以對矩陣的概念有更好的理解，同時又能對我們設置的特殊數(shù)字背后的祖國的發(fā)展過程進行加深了解，以及激發(fā)學生對國家歷史的進一步學習，當然我們也可以通過舉一反三的方法，讓學生自己舉例，極大地提升學生的興趣，讓課程在輕松愉悅中完成，這樣學生掌握得會很扎實。

線性代數(shù)大量采用初等變換，只要掌握此方法，就能在線性代數(shù)中巧妙解決運算復雜的問題，達到事半功倍的效果［5］。在變換過程中形式雖然不同，教師在總結這個知識點的過程中可以引入“形變質不變”的思想。同時引導學生在遇到難題的時候敢于動手，通過練習，將難題進行轉換，去解決問題，進而達到事半功倍的效果。

三、課程教學方法的改革

線性代數(shù)本身內(nèi)容不僅結構性強，而且具有其獨有的特性，所以也就決定了，我們在學習線性代數(shù)或者在線性代數(shù)教學中要掌握方法。在《線性代數(shù)》課程教學時，可以發(fā)現(xiàn)它本身比較抽象，并且具有很高的邏輯性。在學習矩陣的運算時，首先要知道不可以隨便改變矩陣的運算次序，尤其注意矩陣的乘法不滿足交換律，而且矩陣要相加必須是同型矩陣［6］。矩陣與行列式這兩個不同的概念時，我們會發(fā)現(xiàn)它們之間雖然有區(qū)別但是也有很大的聯(lián)系，所以在教學時一定強調讓學生完全掌握并進行區(qū)分；在討論矩陣與向量它們之間的關系時，教師可以引入“向量是特殊的矩陣，同時矩陣可以看成是向量組”，但是它們的書寫形式卻不一樣，尤其是討論向量之間的相關性時，要進行線性變換化為階梯型，這時一定要體現(xiàn)數(shù)學的嚴謹。所以在教學時，教師需要通過整理分析，讓學生先把公式及定理成立的條件牢記于心，然后通過讓學生證明相關試題，來進一步檢驗學生對《線性代數(shù)》課程中包含的主要原理、定理的理解與掌握程度［7］。在教學中我們要有好的方法，而這個方法的特點是具有新穎性，也就是循序漸進的方法，可以從以下五個方面分析：

從慢到快：在第一章行列式的講解中，學生初次見行列式的定義，還比較陌生，這時我們的授課可以放慢一點，讓學生完全掌握行列式的定義，再進一步講解行列式的計算；

由少到多：《線性代數(shù)》課程中常常涉及一些大型方程組，所以需要學生先將簡單的、容易的問題弄明白，再進一步去解決對他們來說有難度的問題，例如對于矩陣的定義，首先將2 階、3 階矩陣的定義理解好，從而推廣到n 階矩陣的情形；

從簡到難：對于行列式計算里的一些運算法則，可以先試著講解簡單行列式的情形，從而進一步去應用到復雜行列式的問題，例如線性方程組解存在性判別，對角化問題等；

由低到高：運用一些技巧，無論是行列式還是矩陣的相關運算，可以先討論低階狀態(tài)時的計算方法，再進一步推廣運用到高階時情形；

深入淺出：線性代數(shù)中會涉及到一些新概念如正交、特征值和特征向量，在講解時，教師可以用淺顯易懂的話，把這些難懂的定義表達出來，讓學生首先理解好它們的定義，在理解的基礎上，去掌握知識之間的關系及作用，一步步達到運用自如的境地。同時可以將價值導向和知識傳授進行相融合，這樣會使學生參與到教學的每一個環(huán)節(jié)中。

四、課程教學設計及教學方式的改革

（一）線性代數(shù)與數(shù)學建模結合

為了培養(yǎng)和發(fā)展高層次的人才，進一步去適應科學技術的發(fā)展，國內(nèi)外大學特別重視線性代數(shù)的應用，尤其是在數(shù)學建模上的應用［8］。它的主要思維是通過建立相應的數(shù)學模型來達到解決實際問題的目的。

例：2022 年國賽C 題主要是通過分析玻璃的表面風化等得出統(tǒng)計規(guī)律，及風化前的化學成分含量，從試題中我們會發(fā)現(xiàn)，這里涉及到矩陣和線性代數(shù)的相關知識。其中我們會涉及到計算協(xié)方差矩陣，從而可以得到它的特征值和特征向量，再有可以將計算出來的特征向量，按照特征值的大小寫成矩陣的形式，分析前K 行等。

從上面的分析，我們會發(fā)現(xiàn)，建模的分析離不開線性代數(shù)。通過建模可以為線性代數(shù)和生活實際聯(lián)系起來，讓學生更真切地體會到線性代數(shù)理論知識的重要性，同時在教學中穿插數(shù)學建模的知識，會為學生提供一種更好的思維方法，讓學生在以后的學習及生活中有更大的信心，同時可以培養(yǎng)學生提出問題、思考問題、判斷問題、分析問題及解決問題的能力，還有他們之間的團隊意識也可以得到極大的提升，為他們的進一步成功奠定了堅實的基礎［9］。

（二）線性代數(shù)與電子、計算機結合

由于線性代數(shù)是研究線性網(wǎng)絡的主要工具，因此，對電路進行分析、對信號系統(tǒng)進行統(tǒng)計、對數(shù)字濾波器等進行設計都離不開線性代數(shù)。同時我們在進行IC 集成電路設計時，線性方程組也可以應用在對數(shù)百萬個集體管的仿真軟件中［10］。

向量場可以應用于對光電及射頻工程、電磁場、光波導等的分析。張量矩陣可用來分析光調制器，同樣我們生活中所用的手機，它的信號處理也是矩陣的功勞。圖形的矩陣運算可以用在3D游戲及3D 打印中，主要用來處理大量圖形數(shù)據(jù)，包括我們看的電影及電視中的后期電腦制作都離不開矩陣［11］。

可以發(fā)現(xiàn)線性代數(shù)與我們的生活息息相關。要想將線性代數(shù)學好，并能充分應用到實際中，在授課時，不僅可以采用傳統(tǒng)的黑板教學，同時可以借助多媒體等，讓學生全方位地接受及了解、學習線代知識，提高學生感官和視覺上的認知，加深對線代知識的理解。同時在教學中用計算機及相應的軟件（如Spss、Lingo、Maple、Mathematica、Matlab）對線性代數(shù)的應用進行模擬，提高學生主動學習的動力。

五、實施多樣化考核方式

在教學中，我們可以按照《線性代數(shù)》的教學大綱，根據(jù)我們的培養(yǎng)目標以及教案的設計理念，在授課和教學時，在保留原有教學計劃、學生掌握知識的情況下，可以試著調整學生平時成績中的評價體系和素質考核部分，達到考核方式的多元化和考核過程的多元化。其中考核方式的多元化可以包括：口頭、書面、網(wǎng)絡、討論、分小組、演講、論文、PPT 展示、作業(yè)，考核過程的多元化，即考核不僅僅局限于課堂及期中、期末考試，考核貫穿于整個教學的學期，包括課前、課中和課后，課前可以讓學生提前預習課本知識，找相關的背景資料，對將要學的知識有個清晰的了解，課中通過教師安排的授課形式，積極配合及認真地做好課中知識的吸收，課后及時復習加深對知識的了解，進一步多渠道獲取知識的應用，這樣可以培養(yǎng)學生的思辨能力，從而達到專業(yè)教育目標與政治教育目標的有機銜接，讓融會貫通能力得到有效體現(xiàn)［12］。

綜上所述，我們通過找出恰當?shù)慕虒W理念，去探索《線性代數(shù)》這門課程的教學改革，進一步去分析和討論怎么樣最大化地挖掘學生的學習動力，從而提高學習效率，同時培養(yǎng)學生的應用能力等，為《線性代數(shù)》課程教學改革的研究提供一些相應的教學素材［13］，推動數(shù)學課程教學與應用的交叉融合，從而達到培養(yǎng)創(chuàng)新型人才的目的。