基于指數(shù)函數(shù)的川滇地區(qū)余震序列衰減規(guī)律研究

徐世達(dá), 段俊康, 何本國, 劉佳奇, 鮑澤銘, 陳天曉

(東北大學(xué) 深部金屬礦山安全開采教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室, 遼寧 沈陽 110819)

0 引言

余震是強(qiáng)地震發(fā)生后,圍繞強(qiáng)震震源一定范圍內(nèi)發(fā)生的地震。強(qiáng)地震即為通常所說的主震,一次強(qiáng)地震發(fā)生后總是伴隨著大量余震的發(fā)生,余震序列持續(xù)時(shí)間通常為幾個(gè)月甚至數(shù)年。尤其是處于歐亞板塊和印度板塊交界處的川滇地區(qū),地震活動(dòng)頻度高、強(qiáng)度大、余震持續(xù)時(shí)間長,是中國大陸最顯著的地震活動(dòng)區(qū)域。2008年5月12日汶川地震發(fā)生后,通過固定與流動(dòng)臺站相結(jié)合的方式獲取余震記錄,截至2008年9月12日,共記錄到余震949次[1]。余震發(fā)生可能會造成建筑物的進(jìn)一步破壞,誘發(fā)二次災(zāi)害,嚴(yán)重威脅災(zāi)區(qū)居民的生命、財(cái)產(chǎn)安全。余震序列活動(dòng)規(guī)律是震后趨勢判定的重要內(nèi)容,是震后公眾關(guān)注的焦點(diǎn)問題。因此,針對地震活動(dòng)頻繁的川滇地區(qū)地震開展余震序列衰減規(guī)律研究,有助于強(qiáng)余震預(yù)測預(yù)報(bào),對于緩解震后群眾恐慌心理與災(zāi)后救援及重建工作具有重要意義。

針對余震序列衰減規(guī)律,國內(nèi)外學(xué)者開展了大量研究并取得了豐碩成果。1894年,Omori[2]研究了日本中部地震、Nobi地區(qū)地震以及日本其他地區(qū)的多個(gè)地震后,得到了余震發(fā)生率與地震后的時(shí)間成反比的結(jié)論,提出了著名的Omori余震衰減模型。隨后Utsu[3]發(fā)現(xiàn)累計(jì)余震數(shù)與lgt的曲線斜率隨時(shí)間增大而逐漸減小,因此余震的衰減速度比Omori余震衰減模型預(yù)測的更快。針對這一現(xiàn)象,Utsu[4]引入了表征余震衰減速度快慢的參數(shù)p,提出了修正Omori余震衰減模型(Modified Omori Model,MOM),有效增強(qiáng)了Omori余震衰減模型對余震衰減規(guī)律的擬合能力。Liu等[5]通過監(jiān)測礦山生產(chǎn)過程中聲發(fā)射及微震現(xiàn)象,發(fā)現(xiàn)礦山生產(chǎn)過程中產(chǎn)生的微震及聲發(fā)射事件的衰減規(guī)律同樣符合MOM模型。Kisslinger[6]提出了余震衰減拉伸指數(shù)模型。Gross等[7]提出了修正拉伸指數(shù)模型(Modified Stretched Exponential model,MSE),并根據(jù)是否考慮背景率對比分析了14個(gè)余震序列的MOM模型與MSE模型的表現(xiàn),其中5個(gè)余震序列MSE模型的表現(xiàn)最優(yōu)。Lolli等[8]基于MSE、MOM模型研究了意大利和南加州47個(gè)余震序列的衰減規(guī)律,基于赤池信息準(zhǔn)則(Akaike Information Criterion,AIC)、貝葉斯信息準(zhǔn)則(Bayesian Information Criterion,BIC)對不同模型對比分析,發(fā)現(xiàn)MSE模型表現(xiàn)不佳,無法替代MOM模型。Mignan[9]采用冪函數(shù)模型、拉伸指數(shù)模型等多種模型對南加州、北加州以及中國臺灣的多個(gè)余震序列進(jìn)行擬合,得到拉伸指數(shù)模型比冪函數(shù)模型更適合分析余震序列衰減規(guī)律的結(jié)論。Barbara等[10]對意大利拉奎拉地震序列的研究中發(fā)現(xiàn)了負(fù)指數(shù)模型的表現(xiàn)優(yōu)于MOM模型的現(xiàn)象。綜上所述,目前對余震衰減模型未形成統(tǒng)一的認(rèn)識,且部分參數(shù)的物理意義存在爭議。

據(jù)此,本文嘗試采用指數(shù)函數(shù)(Exponential Decay model,ED)描述余震序列衰減規(guī)律,討論指數(shù)函數(shù)中各參數(shù)物理意義及其數(shù)值分布特征。在此基礎(chǔ)上,借助調(diào)整后R2、修正赤池信息準(zhǔn)則(corrected Akaike Information Criterion,AICc)與BIC評價(jià)指標(biāo),對比分析指數(shù)模型與傳統(tǒng)余震衰減模型在描述川滇地區(qū)余震序列的表現(xiàn),進(jìn)一步驗(yàn)證采用指數(shù)模型描述余震序列衰減規(guī)律的可靠性。

1 模型介紹與數(shù)據(jù)獲取

1.1 模型介紹

絕大多數(shù)余震序列具有余震數(shù)多、持續(xù)時(shí)間較長的特點(diǎn)[11]。主震發(fā)生后,隨著時(shí)間的推移,余震事件數(shù)越來越少,余震衰減速率也越來越慢。針對這種現(xiàn)象,本文嘗試采用一種指數(shù)余震衰減模型擬合余震衰減規(guī)律,見式(1)[12]:

N(t)=Ae-t/k+r

(1)

式中:N(t)表示t時(shí)刻的余震事件數(shù);參數(shù)A、k和r取值與余震序列衰減關(guān)系緊密相關(guān),當(dāng)時(shí)間為0時(shí),N(0)等于A+r,代表初始余震數(shù)。

由式(1)可知,當(dāng)t=k時(shí),與初始余震數(shù)相比,單位時(shí)間余震數(shù)減少了A×(e-1)/e,可見t=k可以作為余震衰減過程中的特征點(diǎn)。因此,參數(shù)k可以作為整個(gè)余震衰減過程中的特征時(shí)間,反映余震衰減的快慢。

MOM模型見式(2)[4]:

N(t)=K/(t+c)p

(2)

式中:N(t)表示t時(shí)刻的余震發(fā)生數(shù);參數(shù)K取決于主震后余震總數(shù);t是主震后經(jīng)歷的時(shí)間;c是時(shí)間偏移量,用于消除地震初期余震發(fā)生率的奇異性。參數(shù)p的引入可以表征余震衰減速度的快慢。

MSE模型見式(3)[7]:

(3)

式中:N*(0)是主地震發(fā)生后的潛在余震總次數(shù),作用與MOM模型中的K類似;0

1.2 余震序列獲取

余震序列完整程度受地震臺站密度的影響。由于地震頻次較高,川滇地區(qū)觀測臺網(wǎng)建設(shè)密度大,觀測余震經(jīng)驗(yàn)更豐富,因此余震記錄也更完備?？紤]到余震序列的完整性與開放性,本文選取了川滇地區(qū)的5個(gè)余震序列。2017年8月8日,四川省阿壩州九寨溝縣發(fā)生MS7.0地震,短短五天造成25人死亡、525人受傷[13-14];2013年4月20日四川省雅安市蘆山縣發(fā)生MS7.0地震[15];2014年8月3日,云南省昭通市魯?shù)榭h發(fā)生MS6.5地震[16-17];2019年6月17日,四川省宜賓市長寧縣發(fā)生MS6.0地震[18-19];2012年9月7日,云南彝良發(fā)生MS5.7地震[20]。這5次地震主震發(fā)生后,均發(fā)生了一定數(shù)量的余震。本文余震序列數(shù)據(jù)下載于中國地震臺網(wǎng)。5個(gè)序列的主震震級在5.7～7.0之間,采用序列1～序列5依次將5個(gè)余震序列進(jìn)行編號。依據(jù)相關(guān)文獻(xiàn),較多研究中余震序列持續(xù)時(shí)間選為300～400天,這是由于余震活動(dòng)在主震發(fā)生后的1～2個(gè)月快速衰減,中后期余震事件率變化較小[6,8]。本文所采用5次余震序列在主震發(fā)生兩個(gè)月后,余震事件率比初始余震數(shù)下降了94%以上。因此,余震序列持續(xù)時(shí)間選取為一年,以該時(shí)間范圍內(nèi)最后一個(gè)余震事件時(shí)間為結(jié)束時(shí)間。余震序列通常需滿足巴斯定律[21]:

(4)

表1 余震序列詳細(xì)信息

2 余震衰減規(guī)律研究

2.1 余震衰減曲線擬合

時(shí)間間隔對余震序列規(guī)律有明顯影響,考慮余震序列持續(xù)時(shí)間,余震序列采用5天時(shí)間間隔統(tǒng)計(jì)[10]。圖1是5個(gè)余震序列MOM、MSE和ED模型擬合分析結(jié)果。序列1主震發(fā)生后,余震事件數(shù)在第1個(gè)統(tǒng)計(jì)周期內(nèi)迅速增大至236個(gè);即初始余震數(shù)為236;隨著時(shí)間的推移,余震事件率快速衰減,主震發(fā)生60天時(shí),單個(gè)統(tǒng)計(jì)周期內(nèi)余震事件數(shù)降低至5個(gè)以下,并且長期穩(wěn)定在較低的水平。序列2在主震發(fā)生后的5天內(nèi)余震事件數(shù)達(dá)到了181個(gè),25天后余震事件數(shù)降低到5個(gè)以下。序列3在主震發(fā)生后的5天內(nèi)余震事件數(shù)達(dá)到103個(gè),隨后余震活動(dòng)衰減相對較慢,單個(gè)統(tǒng)計(jì)周期內(nèi)的余震事件數(shù)降低到5個(gè),耗時(shí)190天。序列4初始余震數(shù)高達(dá)325個(gè),隨后余震活動(dòng)性快速衰減;至主震發(fā)生后75天,余震活動(dòng)衰減至較低水平;但主震發(fā)生80天后,余震事件率維持在10～20個(gè)/5天,余震活動(dòng)相對較活躍。序列5的初始余震數(shù)27個(gè),之后迅速衰減,最終穩(wěn)定在較低的水平。從圖1中發(fā)現(xiàn)MOM、MSE和ED模型曲線均能較好地描述5個(gè)余震序列衰減規(guī)律。

圖1 不同模型的余震衰減曲線

2.2 模型參數(shù)特征分析

圖2是5個(gè)余震序列ED模型參數(shù)A+r的值與實(shí)際初始余震數(shù)的關(guān)系。序列1地震序列初始余震數(shù)為237個(gè),A值為233.85,r值為2.95,ED計(jì)算初始余震數(shù)為236.79,偏差0.01%。序列2地震序列初始余震數(shù)為182個(gè),A值為179.99,r值為2.00,ED計(jì)算初始余震數(shù)為181.99,與實(shí)際初始余震數(shù)偏差較小。序列3地震序列初始余震數(shù)為103個(gè),A值為97.90,r值3.35,ED計(jì)算初始余震數(shù)為101.25,偏差1.70%。序列4地震序列初始余震數(shù)為325個(gè),A值為315.04,r值為9.75,ED計(jì)算初始余震數(shù)為324.79,偏差0.06%。序列5地震序列初始余震數(shù)為27個(gè),A值為25.67,r值為1.24,ED計(jì)算初始余震數(shù)為26.90,偏差0.04%。5個(gè)余震序列A與r之和與初始余震數(shù)偏差較小,因此,5個(gè)余震序列采用ED模型擬合時(shí),參數(shù)A與r的和能夠準(zhǔn)確描述余震序列初始余震數(shù)。

圖2 實(shí)際初始余震數(shù)與ED模型計(jì)算初始余震數(shù)

圖3是5個(gè)余震序列采用ED模型擬合得到的k值。余震序列k值的特點(diǎn)類似于原子核的半衰期,可以反映余震序列衰減的快慢。九寨溝MS7.0、四川蘆山MS7.0、云南魯?shù)镸S6.5、四川長寧MS6.0、云南彝良MS5.7地震序列的k值分別為2.72、1.70、4.49、4.52、4.81。四川蘆山MS7.0地震序列k值最小,云南彝良MS5.7地震序列k值最大,說明前者衰減最快,后者衰減最慢,這與圖1所示規(guī)律一致。因此,ED模型k值可用于描述余震序列衰減的快慢。

圖3 主震震級與k值關(guān)系

模型參數(shù)A和r與主震震級無明顯的相關(guān)性,但參數(shù)k與主震震級具有明顯的負(fù)相關(guān)關(guān)系。云南彝良地震主震震級為5.70級,k值為4.81。四川九寨溝與廬山地震主震震級為7.0級,這兩個(gè)地震余震序列的k值分別為2.72和1.70。顯然,隨著主震震級的增大,參數(shù)k呈減小的趨勢。

綜上所述,通過擬合結(jié)果可以明顯發(fā)現(xiàn)MOM模型、MSE模型以及ED模型均能對余震衰減規(guī)律進(jìn)行較好的描述。ED模型的參數(shù)A與r之和可以準(zhǔn)確描述余震序列的初始余震數(shù),誤差均小于1.7%;模型參數(shù)k能夠反映余震衰減速度的快慢,其值與余震序列的主震震級呈負(fù)相關(guān)。

3 余震衰減模型分析

3.1 評價(jià)方法

通過對余震衰減模型的擬合優(yōu)度進(jìn)行計(jì)算,可以表征不同余震衰減模型對于余震序列的適用性?？紤]余震序列樣本數(shù)量與余震衰減模型參數(shù)個(gè)數(shù),本文采用調(diào)整后R2、修正的赤池信息準(zhǔn)則[22]和貝葉斯信息準(zhǔn)則[23]對模型的擬合能力進(jìn)行評價(jià)。調(diào)整后R2、AICc和BIC分別見式(5)～(7)。

(5)

(6)

BIC=n×ln(SSR/n)+(k+1)×ln(n)-n×ln(n)

(7)

式中:R表示相關(guān)性系數(shù);k表示模型參數(shù)的數(shù)量;n表示樣本數(shù)量;SSR表示殘差平方和。通過AICc和BIC評價(jià)模型表現(xiàn)時(shí),AICc和BIC值越小說明模型擬合數(shù)據(jù)能力越高。

3.2 余震衰減模型分析

圖4分別是5個(gè)余震序列采用不同余震衰減模型擬合分析獲得的AICc與BIC值。序列1～序列3 MOM模型的AICc和BIC最小,序列4與序列5的ED模型的AICc和BIC最小。這說明,九寨溝MS7.0、四川蘆山MS7.0和云南魯?shù)镸S6.5地震序列MOM模型表現(xiàn)好,四川長寧MS6.0、云南彝良MS5.7地震序列ED模型表現(xiàn)好。MSE模型表現(xiàn)與MOM模型較為接近,但均弱于MOM模型。值得注意的是,ED模型在5個(gè)余震序列衰減規(guī)律擬合中表現(xiàn)較穩(wěn)定,MOM模型與MSE模型波動(dòng)相對較大。

圖4 不同模型的BIC以及AICc值

圖5是5個(gè)余震序列通過不同模型擬合得到的調(diào)整后R2。序列1、序列2三種模型調(diào)整后R2的數(shù)值較接近,序列3 MOM模型和MSE模型的調(diào)整后R2高于ED模型,序列4～序列5 ED模型調(diào)整后R2高于MOM模型以及MSE模型。這說明采用調(diào)整后R2評價(jià)時(shí),三種模型在九寨溝MS7.0地震序列、四川蘆山MS7.0地震序列的擬合分析中差距并不明顯,云南魯?shù)镸S6.5地震序列擬合分析中MOM模型以及MSE模型表現(xiàn)較好,而ED模型在四川長寧MS6.0地震、云南彝良MS5.7地震序列擬合分析中表現(xiàn)明顯高于另外兩種模型。

圖5 不同模型在各序列中調(diào)整后R2

AICc、BIC和調(diào)整后R2評價(jià)三種模型在5個(gè)余震序列衰減規(guī)律擬合分析中表現(xiàn)結(jié)果基本一致。MOM模型和MSE模型在地震序列1、序列2中表現(xiàn)相對較好,序列2的MOM模型以及MSE模型對比于ED模型優(yōu)勢較大,ED模型在序列4、序列5表現(xiàn)最優(yōu)。在描述九寨溝MS7.0地震、四川蘆山MS7.0地震、云南魯?shù)镸S6.5地震、四川長寧MS6.0地震、云南彝良MS5.7地震余震衰減規(guī)律時(shí),ED模型表現(xiàn)可與傳統(tǒng)的余震衰減模型相媲美。因此,ED模型能夠較準(zhǔn)確地描述強(qiáng)震后余震衰減規(guī)律。由圖4可知,ED模型在描述不同余震序列衰減規(guī)律時(shí)相對更穩(wěn)健,AICc和BIC波動(dòng)相對較小。MSE模型采用分段函數(shù),在研究余震序列時(shí),若選取較長的時(shí)間窗口,MSE模型的優(yōu)勢較MOM、ED模型更明顯。MOM和MSE模型描述不同余震序列時(shí)表現(xiàn)相對不穩(wěn)定,更適合分析中后期相對不發(fā)育的余震序列,尤其是MSE模型,描述后期規(guī)律差異較大的余震序列更具優(yōu)勢。

4 結(jié)論

本文采用ED、MOM與MSE模型對九寨溝MS7.0地震、四川蘆山MS7.0地震、云南魯?shù)镸S6.5地震、四川長寧MS6.0地震、云南彝良MS5.7地震余震序列衰減規(guī)律進(jìn)行了擬合分析,并通過AICc、BIC和調(diào)整后R2對模型表現(xiàn)進(jìn)行了評價(jià)。

(1) ED模型能較準(zhǔn)確地描述五個(gè)余震序列衰減規(guī)律,其表現(xiàn)比傳統(tǒng)的MOM、MSE余震衰減模型穩(wěn)定,更適用于中后期余震相對發(fā)育的序列。在長寧MS6.0地震和彝良MS5.7地震余震序列衰減規(guī)律擬合分析中相比于傳統(tǒng)模型表現(xiàn)更優(yōu)。

(2) 參數(shù)A與r的和代表強(qiáng)震后初始余震數(shù)。5個(gè)余震序列中,A與r的和能夠較準(zhǔn)確描述實(shí)際初始余震數(shù),偏差均小于1.70%。

(3) 參數(shù)k可作為余震衰減特征時(shí)間,能夠反映余震序列衰減的快慢。在本文5個(gè)余震序列中,其值與主震震級呈反比。