基于Seidel像差理論的離軸四反初始結(jié)構(gòu)自動化設(shè)計方法研究

朱歷偉，楊磊，陳潔，張文平，郭世亮，2，謝洪波

（1 天津大學(xué) 精密儀器與光電子工程學(xué)院，光電信息技術(shù)教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，天津 300072）

（2 天津大學(xué)-賽思倍斯空天光電系統(tǒng)工程聯(lián)合實(shí)驗(yàn)室，天津 300072）

（3 賽思倍斯（紹興）智能科技有限公司，紹興 311899）

0 引言

反射式望遠(yuǎn)系統(tǒng)相比于折射式望遠(yuǎn)系統(tǒng)具有無色差、布局靈活、口徑大等優(yōu)勢，在空間探測、遙感等領(lǐng)域有廣泛的應(yīng)用［1-4］。反射式望遠(yuǎn)系統(tǒng)又可以分為同軸反射式和離軸反射式兩種類型。同軸反射式結(jié)構(gòu)可以實(shí)現(xiàn)長焦距，但是由于遮攔的原因無法實(shí)現(xiàn)寬視場導(dǎo)致光能的利用效率降低。離軸反射式結(jié)構(gòu)可以同時兼顧長焦距、寬視場和高成像質(zhì)量的特性，適用的應(yīng)用場景更多［5］。

離軸反射式望遠(yuǎn)結(jié)構(gòu)通常以包含的鏡片數(shù)量來定義，例如離軸三反、離軸四反結(jié)構(gòu)等。當(dāng)前，最典型的應(yīng)用形式是離軸三反結(jié)構(gòu)，但其存在優(yōu)化自由度相對較少的問題，很多場合達(dá)不到應(yīng)用需求［6］。相較于離軸三反結(jié)構(gòu)，離軸四反結(jié)構(gòu)增加了設(shè)計自由度，對像差平衡和矯正能力更好，更容易實(shí)現(xiàn)小攝遠(yuǎn)比。隨著光學(xué)加工和裝調(diào)技術(shù)的不斷發(fā)展，離軸四反結(jié)構(gòu)的應(yīng)用成為未來的發(fā)展趨勢之一［7-8］。

離軸反射式結(jié)構(gòu)一般需要在光學(xué)設(shè)計軟件中建模和優(yōu)化。目前光學(xué)設(shè)計軟件的優(yōu)化往往需要一個三階像差矯正良好的光學(xué)系統(tǒng)作為初始結(jié)構(gòu)［9-12］。由于軟件的局部優(yōu)化采用的是阻尼最小二乘法，設(shè)計結(jié)果往往會陷入局部最優(yōu)解而無法跳脫出來。因此，快速獲得多個三階像差矯正良好的光學(xué)系統(tǒng)對后續(xù)優(yōu)化有著至關(guān)重要的作用。QU Zheng 等［13］提出了一種基于模擬退火的光學(xué)系統(tǒng)設(shè)計方案，此方法通過建立關(guān)于矢量像差理論的像質(zhì)評價函數(shù)以及體積約束的評價函數(shù)來實(shí)現(xiàn)，并利用模擬退火的全局優(yōu)化算法來實(shí)現(xiàn)緊湊型高分辨反射式光學(xué)系統(tǒng)的設(shè)計方案。XU Fenggang 等［14］提出使用遺傳算法求解特定布局的同軸四反初始結(jié)構(gòu)，可以為四反射光學(xué)系統(tǒng)提供像質(zhì)良好的設(shè)計起點(diǎn)。YANG Tong 等［15］提出了基于深度學(xué)習(xí)的自由曲面離軸三反光學(xué)系統(tǒng)設(shè)計方案，對于訓(xùn)練完成后的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，只需要輸入給定的系統(tǒng)參數(shù)，就可以輸出對應(yīng)的表面數(shù)據(jù)。但是目前研究中較少涉及到離軸四反初始結(jié)構(gòu)的設(shè)計方法。

本文提出一種離軸四反光學(xué)系統(tǒng)初始結(jié)構(gòu)建立的新方法，在設(shè)計之初選擇合理的視場偏置來實(shí)現(xiàn)離軸，引入光線傳輸矩陣來簡化近軸光線的追跡過程。通過計算每一面上的近軸光線信息來求出Seidel像差，以Seidel像差絕對值最小化作為評價的目標(biāo)函數(shù)。同時，利用粒子群優(yōu)化算法實(shí)現(xiàn)初始結(jié)構(gòu)的多參數(shù)求解，并通過MATLAB 和CODE V 之間的數(shù)據(jù)交互來分析初始結(jié)構(gòu)遮攔情況，獲取理想的初始結(jié)構(gòu)。在確定初始結(jié)構(gòu)后逐步增大入瞳以及拓寬視場角，同時引入XY多項(xiàng)式自由曲面以及引入偏心和傾斜量進(jìn)一步矯正離軸像差，演示了一款長焦距、寬視場的離軸四反光學(xué)系統(tǒng)設(shè)計實(shí)例。

1 設(shè)計原理

建立同軸四反初始結(jié)構(gòu)通常有兩種基于Seidel像差理論的推導(dǎo)方法。一種是通過放大率、遮攔比以及二次曲面系數(shù)來推導(dǎo)出初級像差表達(dá)式，并求解出同軸四反初始結(jié)構(gòu)，再通過視場偏置和孔徑離軸實(shí)現(xiàn)最終的離軸四反結(jié)構(gòu)。該方法求解過程相對復(fù)雜而且需要對放大率和遮攔比等參數(shù)做出限定。第二種方法是在同軸三反的基礎(chǔ)上，通過在最后一面加入平面鏡來實(shí)現(xiàn)同軸四反初始結(jié)構(gòu)的建立。此種方法雖然計算簡單但是由于缺少自變量個數(shù)很難有效地對特定條件進(jìn)行約束。

相較于傳統(tǒng)方法，本文提出了一種通過視場偏置實(shí)現(xiàn)無遮攔離軸反射初始結(jié)構(gòu)建立的思路。通過計算每一個面上主光線和邊緣光線的光線信息來求出三階Seidel像差，利用粒子群優(yōu)化算法求解出使得三階Seidel像差絕對值之和盡可能小的解。在此基礎(chǔ)上聯(lián)合使用CODE V 和MATLAB 軟件，通過視場偏置自動挑選出符合無遮攔條件的初始結(jié)構(gòu)供后續(xù)優(yōu)化使用。

1.1 Seidel像差計算

圖1 同軸四反結(jié)構(gòu)光線追跡示意圖Fig.1 Ray tracing of the initial coaxial four-mirror structure

為了簡化計算，引入光線傳輸矩陣。由于近軸面的光線追跡屬于線性運(yùn)算，所以可以使用矩陣的方式來進(jìn)行近軸光線的表示和追跡。面與面之間存在角度和光線高度的傳遞關(guān)系，用代數(shù)公式表示為

式中，y和y′表示折射前后在鏡面上的光線高度，u和u′代表折射前后光線的角度，t′代表鏡面之間的間隔，n和n′代表折射前后的折射率，?代表鏡面的光焦度。

根據(jù)Seidel像差理論，對于旋轉(zhuǎn)對稱的光學(xué)系統(tǒng)，可以利用近軸光線的追跡結(jié)果來表示五種單色像差。球差SI、慧差SII、像散SIII、場曲SIV和畸變SV的表達(dá)式分別為

式中，c代表鏡面的曲率，A和分別代表邊緣光線和主光線的折射不變量，Δ 表示折射前后物理量之差，H代表系統(tǒng)的拉格朗日不變量。它們的計算公式分別為

1.2 結(jié)合Seidel像差理論構(gòu)建評價函數(shù)

傳統(tǒng)求解初始結(jié)構(gòu)的方法是在同軸的情況下使光學(xué)系統(tǒng)某幾項(xiàng)的Seidel像差為零作為條件來聯(lián)立方程式進(jìn)行求解，當(dāng)定義的約束條件變多時，可能不存在使得Seidel像差都為零的情況。此時可以將求解方程零點(diǎn)的問題轉(zhuǎn)化為求解目標(biāo)函數(shù)最小值的問題。目標(biāo)函數(shù)就是使得這五種初級像差系數(shù)絕對值之和最小，同時加入一些限制條件，比如后截距和焦距的要求，構(gòu)建一個含有混合約束的單目標(biāo)優(yōu)化問題。由于設(shè)計指標(biāo)中往往會對后截距以及系統(tǒng)的焦距有限制，所以將系統(tǒng)的焦距以及后截距都用半徑參數(shù)ri以及鏡面間隔參數(shù)ti表示。具體的數(shù)學(xué)模型為

式中，F(xiàn)(xi)是需要求解的目標(biāo)函數(shù)，當(dāng)三階Seidel像差值越小時，光學(xué)系統(tǒng)表現(xiàn)出來的光學(xué)性能更優(yōu)越。因此將三階Seidel像差絕對值加權(quán)之和作為構(gòu)建初始結(jié)構(gòu)的評價函數(shù)，wi(i=1，2，3，4)代表三階Seidel像差在評價函數(shù)中的權(quán)因子，若某一項(xiàng)Seidel像差對應(yīng)的權(quán)重更大，則求解的初始結(jié)構(gòu)中該Seidel 系數(shù)也相應(yīng)的越小。若希望初始求解的系統(tǒng)可以盡量消除SI～SIV，但是不考慮SV的影響，那么就可以增大w1～w4的權(quán)重，同時減小w5的權(quán)重或者將其設(shè)置為0。hj(x)代表光學(xué)系統(tǒng)布局中等式的約束條件，比如對系統(tǒng)焦距的約束，m代表等式約束的數(shù)量。gi(x)代表光學(xué)系統(tǒng)布局不等式的約束條件，比如小型化、一體化等約束，p代表不等式約束的數(shù)量。最后對設(shè)計變量xi本身約束，包括曲率半徑ri和鏡面間隔ti。其中l(wèi)i為設(shè)計變量的下界，ui為設(shè)計變量的上界，q代表設(shè)計變量約束的數(shù)量。通過構(gòu)建單目標(biāo)混合約束的優(yōu)化模型，可以將求解光學(xué)系統(tǒng)初始結(jié)構(gòu)的問題轉(zhuǎn)化為求解目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)化問題。

1.3 基于粒子群優(yōu)化算法求解初始結(jié)構(gòu)

粒子群優(yōu)化算法（Particle Swarm Optimization，PSO）是通過模擬鳥群覓食行為而發(fā)展起來的一種基于群體協(xié)作的隨機(jī)搜索算法［16］。具體的算法流程如圖2所示。

圖2 粒子群優(yōu)化算法流程Fig.2 Flow chart of particle swarm optimization algorithm

粒子群優(yōu)化算法通過設(shè)計一種無質(zhì)量的粒子來模擬鳥群中的鳥。粒子有兩個基本的屬性：速度和位置。速度代表粒子下一步迭代時移動的方向和距離，位置是求解問題的一個解。鳥被抽象為無質(zhì)量的一個粒子點(diǎn)并擴(kuò)展到N維空間中，粒子i在N維空間中的位置矢量為Xi=(x1，x2，…，xN)，飛行速度矢量為Vi=(v1，v2，…，vN)，每個粒子都有一個由目標(biāo)函數(shù)決定的適應(yīng)度，并且知道目前自身最好的位置(pbest)和現(xiàn)在的位置Xi。除此之外，每個粒子還知道目前整個種群中所有粒子發(fā)現(xiàn)的最好位置(gbest)，這個可以看成粒子同伴的經(jīng)驗(yàn)。粒子就是通過自己本身的經(jīng)驗(yàn)以及整個種群中的最好經(jīng)驗(yàn)來決定下一步的運(yùn)動。

粒子群優(yōu)化算法是從隨機(jī)解出發(fā)，通過迭代尋找最優(yōu)解，相比于遺傳算法，粒子群算法具有收斂速度快、參數(shù)少、算法簡單易實(shí)現(xiàn)的優(yōu)點(diǎn)，非常適用于高維度的非線性優(yōu)化問題。因此使用粒子群優(yōu)化算法來實(shí)現(xiàn)式（8）中所表示的目標(biāo)函數(shù)。但粒子群優(yōu)化算法受到很多因素的影響，其中粒子初始值對最終結(jié)果的影響較大，因此采取大量生成隨機(jī)初始點(diǎn)的方法對結(jié)果進(jìn)行分析比較并且挑選出目標(biāo)函數(shù)較小的解的結(jié)果 。

1.4 無遮攔初始結(jié)構(gòu)建立及優(yōu)化

實(shí)現(xiàn)離軸的方式主要有三種，分別是視場偏置、孔徑偏置以及視場和孔徑偏置同時存在的情況。采用視場偏置的方式來構(gòu)建初始的離軸系統(tǒng)，具體算法如圖3所示。首先，預(yù)先給定一個初始的視場偏置，通過粒子群優(yōu)化算法對目標(biāo)函數(shù)進(jìn)行求解，求出多組可行解，將求出的曲率半徑以及鏡面間隔導(dǎo)入到CODE V中，讀取相應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)位置并且傳遞到MATLAB 中進(jìn)行數(shù)據(jù)處理。如果點(diǎn)線之間的位置關(guān)系滿足相應(yīng)的條件，說明此時的結(jié)構(gòu)滿足無遮攔的情況；如果此時并沒有找到合適的無遮攔的初始結(jié)構(gòu)，那么就改變視場偏置的大小，重新尋找最優(yōu)解以及判斷是否滿足相應(yīng)的點(diǎn)線位置關(guān)系。在此基礎(chǔ)上通過增加視場角以及增大入瞳直徑來達(dá)到期望的設(shè)計指標(biāo)要求，并引入高階偶次非面以及自由曲面來完成最終的設(shè)計。

圖3 無遮攔初始結(jié)構(gòu)挑選以及優(yōu)化流程Fig.3 Unobscured initial structure selection and optimization flow chart

2 離軸四反光學(xué)系統(tǒng)設(shè)計實(shí)例與分析

2.1 離軸四反光學(xué)系統(tǒng)基本參數(shù)

基于構(gòu)建的模型設(shè)計一款寬視場離軸四反光學(xué)系統(tǒng)，其具體的設(shè)計指標(biāo)如表1所示。

表1 離軸四反光學(xué)系統(tǒng)設(shè)計指標(biāo)參數(shù)Table 1 Parameters of off-axis four-mirror optical system

2.2 離軸四反初始結(jié)構(gòu)求解

為了建立合適的初始結(jié)構(gòu)，根據(jù)式（8）建立的數(shù)學(xué)模型，以Seidel像差絕對值的加權(quán)和最小化作為目標(biāo)函數(shù)，同時將Seidel像差的各項(xiàng)權(quán)重wi均設(shè)為1。在系統(tǒng)中加入對系統(tǒng)焦距和后截距的限制，并且考慮到系統(tǒng)整體小型化的要求，對其中的鏡子間隔也做了相應(yīng)的控制，其數(shù)學(xué)模型為

式中，dBFL和fEFL分別代表系統(tǒng)的后截距和焦距。由于系統(tǒng)最終要求的入瞳直徑較大，如果開始就以此入瞳大小作為條件去求解很難得到有效的無遮攔初始結(jié)構(gòu)。因此可以選擇以較小的入瞳直徑最為初始條件進(jìn)行帶入求解，在得到無遮攔初始結(jié)構(gòu)之后再逐步增加入瞳直徑來滿足最終的F數(shù)要求。同時，也要合理考慮視場偏置的大小，若視場偏置較小則很難實(shí)現(xiàn)離軸，若視場偏置過大則會導(dǎo)致離軸的非對稱像差增大，不利于后續(xù)的進(jìn)一步優(yōu)化。

在綜合考慮入瞳直徑和視場偏置對構(gòu)建無遮攔離軸四反初始結(jié)構(gòu)的影響之后，選取焦距為1 200 mm、入瞳直徑為70 mm、存在7°視場偏置的光學(xué)系統(tǒng)求解初始Seidel像差最小時的解。在圖4 中給出了4 次不同初始值迭代后的最終效果，迭代均收斂到一個比較好的效果，說明采用粒子群優(yōu)化算法來實(shí)現(xiàn)此類問題的求解是有效的。

圖4 不同初始值誤差函數(shù)迭代曲線Fig.4 Error function iteration curves with different initial values

表2 和表3 中給出4 次不同初始值情況下的解以及對應(yīng)的Seidel像差的值，計算得到的Seidel像差的值與光學(xué)設(shè)計軟件中所給出的值也是完全吻合的。

表2 離軸四反光學(xué)系統(tǒng)初始解Table 2 Initial solutions of off-axis four-mirror optical system

表3 初始解對應(yīng)的Seidel像差Table 3 Seidel aberration corresponding to the initial solution

將數(shù)據(jù)進(jìn)一步導(dǎo)入到CODE V 軟件中，通過MATLAB 調(diào)用底層的API 接口獲取光線在鏡面上坐標(biāo)點(diǎn)位置，并根據(jù)點(diǎn)線之間的位置進(jìn)一步判斷此時是否存在遮攔的情況。圖5 是某一視場偏置條件下得到的離軸四反的初始結(jié)構(gòu)，為了清楚說明結(jié)構(gòu)約束的邊界條件，只給出了上、下邊緣光線的光束。當(dāng)系統(tǒng)完全無遮攔時，應(yīng)當(dāng)滿足式（10）6 個約束條件。需要強(qiáng)調(diào)的是這6 個約束條件只針對圖5 的結(jié)構(gòu)布局才成立，針對其他構(gòu)型的離軸四反結(jié)構(gòu)形式則需要滿足其他類型的結(jié)構(gòu)約束條件，不再一一列舉。

圖5 離軸四反初始結(jié)構(gòu)示意圖Fig.5 Off-axis four-mirror initial configuration layout

如果得到的點(diǎn)線之間的距離滿足式（10）的約束條件，說明此時系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)滿足無遮攔的條件，就將當(dāng)前的解保存下來；如果不滿足其中一個約束條件，則將當(dāng)前的解舍棄。通過此方法，可以挑選出多種光焦度分配以及不同結(jié)構(gòu)類型的無遮攔離軸四反初始結(jié)構(gòu)方案。圖6 給出了4 種不同結(jié)構(gòu)類型的離軸四反示意圖，可以看出不同解所得到的離軸四反初始結(jié)構(gòu)的體積也完全不同，可以從中挑選出合適的尺寸進(jìn)行下一步優(yōu)化。

圖6 不同解對應(yīng)的離軸四反初始結(jié)構(gòu)Fig.6 Off-axis four-mirror initial structures corresponding to different solutions

2.3 利用光學(xué)設(shè)計軟件進(jìn)行優(yōu)化

在獲得離軸四反初始結(jié)構(gòu)的基礎(chǔ)上，利用光學(xué)設(shè)計軟件進(jìn)一步優(yōu)化。為了增加優(yōu)化的自由度，在優(yōu)化過程中往往會加入偏心和傾斜作為優(yōu)化變量矯正像差。但是在優(yōu)化過程中如果不限制讓其自動優(yōu)化，優(yōu)化的趨勢往往趨于共軸，使得光線發(fā)生遮擋。如圖7所示，次鏡的下邊緣有可能在優(yōu)化過程中與三鏡和四鏡之間的光線發(fā)生遮擋。因此，為了避免光線遮擋，需要在優(yōu)化過程中仍然滿足式（10）中提到的約束條件。利用CODE V 自帶的宏函數(shù)實(shí)現(xiàn)自動求解點(diǎn)線之間的距離，并以此作為約束條件加入到優(yōu)化宏之中，這樣在優(yōu)化過程中可以避免遮攔的情況。

圖7 邊緣光線位置控制示意圖Fig.7 Layout of edge ray position control

由于在構(gòu)建初始結(jié)構(gòu)時設(shè)置的入瞳直徑和視場較小，因此在優(yōu)化階段需要逐步擴(kuò)展入瞳直徑以及視場角大小來滿足設(shè)計指標(biāo)要求。一般來說，若初始的入瞳直徑和視場與最終的設(shè)計指標(biāo)之間存在較大差異，采取手動改變?nèi)胪睆胶驮黾右晥鲈僦鸩絻?yōu)化的方法會耗費(fèi)大量的時間；如果選擇每次增加較大的入瞳直徑和視場則會容易導(dǎo)致陷入局部最優(yōu)解或者光線追跡出現(xiàn)錯誤。

為了解決手動增加入瞳直徑和視場過于繁瑣的問題，聯(lián)合使用MATLAB 與CODE V 軟件，避免大量重復(fù)性的優(yōu)化過程。通過MATLAB 調(diào)用CODE V 底層API 實(shí)現(xiàn)兩個軟件之間的數(shù)據(jù)交互，可以修改系統(tǒng)參數(shù)（入瞳直徑、視場角等）。同時，將優(yōu)化離軸四反的程序以宏文件的形式進(jìn)行保存，方便在MATLAB 中通過宏文件來實(shí)現(xiàn)離軸四反的優(yōu)化。通過此方法，可以更快速更高效地實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)從小入瞳、小視場到大入瞳、大視場的擴(kuò)展。

優(yōu)化過程如圖8所示，同時利用優(yōu)化宏著重控制光線和鏡面之間不發(fā)生遮攔；在此基礎(chǔ)上，利用非球面和自由曲面來達(dá)到所需要的性能指標(biāo)要求。

圖8 逐步擴(kuò)展入瞳直徑和視場角的優(yōu)化過程Fig.8 The optimization process of gradually expanding entrance pupil diameter and field angle

將優(yōu)化的面型由球面優(yōu)化為非球面，再從非球面優(yōu)化為XY多項(xiàng)式自由曲面，通過不斷的迭代優(yōu)化，最終得到焦距為1 200 mm、F數(shù)為6、子午方向?yàn)椤?.6°和弧矢方向?yàn)椤?0°的離軸四反光學(xué)系統(tǒng)，如圖9所示。由圖可知，系統(tǒng)結(jié)構(gòu)布局緊湊，成像質(zhì)量良好，各視場的調(diào)制傳遞函數(shù)（Modulation Transfer Function，MTF）在60 lp/mm 處均大于0.5。

圖9 優(yōu)化后的離軸四反結(jié)構(gòu)Fig.9 Optimized off-axis four-mirror structure

3 結(jié)論

本文基于Seidel像差理論，利用近軸光線追跡方法，推導(dǎo)出同軸四反結(jié)構(gòu)的Seidel像差公式。將求解同軸四反初始結(jié)構(gòu)問題轉(zhuǎn)化為求解非線性單目標(biāo)函數(shù)的優(yōu)化問題，利用粒子群優(yōu)化算法對目標(biāo)函數(shù)求解，獲得多組不同光焦度分配的初始結(jié)構(gòu)。在此基礎(chǔ)上聯(lián)合使用CODE V 和MATLAB 軟件，通過視場偏置挑選出無遮攔的離軸四反結(jié)構(gòu)，并在此基礎(chǔ)上逐步增大入瞳以及拓寬視場角，同時引入XY多項(xiàng)式完成最終的優(yōu)化設(shè)計，成像系統(tǒng)MTF 接近衍射極限。該方法可以快速獲得不同光焦度分配以及體積大小的離軸反射式初始結(jié)構(gòu)，可為后續(xù)的優(yōu)化提供良好的設(shè)計起點(diǎn)。