基于鏡面反射算法的機(jī)械產(chǎn)品結(jié)構(gòu)穩(wěn)健優(yōu)化設(shè)計(jì)

戚其松，徐 航，董 青，辛運(yùn)勝

（太原科技大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院，山西 太原 030024）

1 引言

隨著全球范圍內(nèi)經(jīng)濟(jì)發(fā)展水平的提高，眾多行業(yè)為提高生產(chǎn)率對機(jī)械產(chǎn)品的需求顯著增加，作為機(jī)械裝備“骨架”的金屬結(jié)構(gòu)，設(shè)計(jì)質(zhì)量的優(yōu)劣將決定產(chǎn)品能否安全可靠運(yùn)行。采用先進(jìn)的現(xiàn)代設(shè)計(jì)方法對金屬結(jié)構(gòu)進(jìn)行研究，綜合提高機(jī)械產(chǎn)品的結(jié)構(gòu)性能，是當(dāng)前機(jī)械設(shè)計(jì)領(lǐng)域的研究熱點(diǎn)也是重點(diǎn)。在對機(jī)械產(chǎn)品結(jié)構(gòu)進(jìn)行設(shè)計(jì)時(shí)，為達(dá)到某些預(yù)期目標(biāo)，往往會采用優(yōu)化設(shè)計(jì)的方法以獲得具有最優(yōu)設(shè)計(jì)參數(shù)的產(chǎn)品，然而在實(shí)際產(chǎn)品設(shè)計(jì)時(shí)，由于設(shè)計(jì)條件的限制，造成了設(shè)計(jì)參數(shù)同實(shí)際情況存在一定的區(qū)別，導(dǎo)致設(shè)計(jì)過程未能準(zhǔn)確地反映產(chǎn)品的真實(shí)性能［1］。探索新的設(shè)計(jì)方案的同時(shí)必須正視產(chǎn)品固有的不確定性，以提高產(chǎn)品的可靠性［2］。在傳統(tǒng)優(yōu)化設(shè)計(jì)的基礎(chǔ)上，對機(jī)械結(jié)構(gòu)進(jìn)行穩(wěn)健設(shè)計(jì)，結(jié)合相應(yīng)的優(yōu)化算法，獲得滿足穩(wěn)健性要求的結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)參數(shù)，實(shí)現(xiàn)機(jī)械產(chǎn)品結(jié)構(gòu)輕量化設(shè)計(jì)的同時(shí)，提高結(jié)構(gòu)可靠性。

近年來，智能啟發(fā)算法因其基于相對簡單的概念且易于實(shí)現(xiàn)，同時(shí)不需梯度信息的優(yōu)點(diǎn)，在設(shè)計(jì)應(yīng)用中受到廣泛的青睞［3］。智能優(yōu)化算法包括基于進(jìn)化的方法、基于物理學(xué)的方法、基于種群的方法和基于人類行為的方法等［4］?；谶M(jìn)化的方法（Evolution-Based）模擬自然界中生物進(jìn)化過程，受到自然進(jìn)化的啟發(fā)，其優(yōu)點(diǎn)是將最佳個(gè)體進(jìn)行組合以形成新一代的個(gè)體，典型算法包括：遺傳算法（GA）［5］、進(jìn)化策略算法（ES）［6］、基因編碼算法（GP）［7］等?；诜N群的方法從動物群體社交、捕食行為中獲得靈感，個(gè)體間按照一定的規(guī)律進(jìn)行交互，具有解決復(fù)雜任務(wù)的能力，典型算法包括粒子群優(yōu)化算法（PSO）［8-9］、布谷鳥搜索算法（CS）［10］、蝙蝠算法（BA）［11］和果蠅算法（FOA）［12］等。受到宇宙中物理現(xiàn)象的啟發(fā)所概括出的算法為基于物理學(xué)（Physics-Based）的方法，通常為一種通過模擬某種物理現(xiàn)象，如光線投射、天體運(yùn)動、重力、慣性力等在搜索空間中移動，典型算法有模擬退火算法（SA）［13］、引力搜索算法（GSA）［14］、中心力優(yōu)化（CFO）算法［15］、大爆炸算法（BBBC）［16］、黑洞算法（BH）［17］、小世界算法（SWOA）［18］和銀河算法（GbSA）［19］等。目前，還存在著一類以人類社會行為（human-based）為靈感的智能啟發(fā)算法，如教學(xué)算法［20-21］、和聲搜索算法（HS）［22］、禁忌搜索算法（TS）［23-24］、搜索組算法（GSO）［25］、帝國競爭算法（ICA）［26］、煙花算法［27］、礦山爆炸算法（MBA）［28］、和足球聯(lián)賽算法（SLC）［29］等。

鏡面反射算法（Specular Reflection Algorithm，SRA）是最新提出的基于物理學(xué)的演化式優(yōu)化方法［30］，是智能優(yōu)化領(lǐng)域的最新研究成果，相比傳統(tǒng)智能優(yōu)化理論，該方法在計(jì)算速度和計(jì)算精度方面具有區(qū)別于其它智能優(yōu)化算法的顯著優(yōu)勢。將SRA算法應(yīng)用于機(jī)械產(chǎn)品結(jié)構(gòu)穩(wěn)健優(yōu)化設(shè)計(jì)，既是對其求解實(shí)際工程問題能力的檢驗(yàn)，也是對現(xiàn)有穩(wěn)健優(yōu)化設(shè)計(jì)理論的補(bǔ)充。在當(dāng)前的機(jī)械工程設(shè)計(jì)問題中，由于穩(wěn)健設(shè)計(jì)能夠處理設(shè)計(jì)參數(shù)的不確定性，因此穩(wěn)健設(shè)計(jì)法是處理工程問題不確定因素的主流方法，也是提高結(jié)構(gòu)可靠性的重要分析手段，作為一種能夠提高產(chǎn)品性能的有效方法，穩(wěn)健設(shè)計(jì)已在電子信息工程、汽車制造、農(nóng)業(yè)、材料、飛機(jī)制造等領(lǐng)域得到了應(yīng)用［31-36］。在機(jī)械產(chǎn)品金屬結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)因素的影響下，結(jié)合優(yōu)化設(shè)計(jì)和穩(wěn)健設(shè)計(jì)方法，優(yōu)選出既能提高產(chǎn)品性能，又能降低制造成本的設(shè)計(jì)方案，不僅在理論方面具有很高的研究價(jià)值，而且具有相當(dāng)重要的工程意義。這里采用SRA算法，以工程起重機(jī)主梁結(jié)構(gòu)為研究對象，對其進(jìn)行結(jié)構(gòu)穩(wěn)健優(yōu)化設(shè)計(jì)，計(jì)算結(jié)果表明，SRA算法是可靠的穩(wěn)健設(shè)計(jì)方法，適合廣泛應(yīng)用于機(jī)械產(chǎn)品設(shè)計(jì)。

2 SRA算法

2.1 SRA算法物理意義

在自然界中的大多數(shù)生物均能夠通過眼睛觀察到周圍物體的存在。一般情況下，眼睛距離被觀察物體越近，圖像便越清晰，通過對這一自然現(xiàn)象的理解，這里作者提出了一種全新的全局智能優(yōu)化算法—鏡面反射算法（Specular Reflection Algorithm，SRA）。

鏡面反射算法的物理意義：生物通過眼睛能夠感受到物體的存在并可以觀察到物體的圖像，且影響被觀察物體圖像清晰度的因素主要包括如下兩個(gè)：（1）眼睛與被觀察物體的相對位置；（2）進(jìn)入眼睛的光線。4種情況能夠較形象地說明鏡面反射算法所模擬的物理現(xiàn)象，如圖1所示。生物通過眼睛觀察被測物體（圖中被測物體為足球，亦可是其它任何物體），眼睛之所以能夠看到被測物體，是由于有光線進(jìn)入眼睛，光線可以直接通過物體反射到眼睛，亦可通過鏡面（這里將所有能夠?qū)饩€進(jìn)行反射的物體稱為鏡面）的反射而被眼睛接收。假定眼睛距被觀測物體越近及被眼睛接收的光線越多，物品的清晰度越高。根據(jù)上述假定，即可判定如圖1所示4種情況被觀測圖像清晰度間的關(guān)系，即清晰度1＜清晰度2、清晰度1＜清晰度3、清晰度2＜清晰度4、清晰度3＜清晰度4，圖中箭頭方向表示光的傳播方向。鏡面反射算法即通過上述物理模型和基本假設(shè)進(jìn)行迭代優(yōu)化，以獲得具有最高清晰度的被觀測物體的像。

圖1 鏡面反射算法物理意義Fig.1 Physical Meaning of the Specular Reflection Algorithm

2.2 SRA算法優(yōu)化流程

鏡面反射算法同傳統(tǒng)意義的群體智能優(yōu)化算法有較大的區(qū)別，算法的每一次迭代尋優(yōu)均通過三個(gè)基本元素（即“眼睛”“、鏡面”和“被觀測物體”）完成，算法的每一個(gè)元素均對應(yīng)一個(gè)由目標(biāo)函數(shù)決定的適應(yīng)度值，并通過獨(dú)特的尋優(yōu)方式以獲得被觀測物體的最清晰圖像。以目標(biāo)函數(shù)最小化為例，將SRA 算法的計(jì)算過程歸納如下，并說明鏡面反射算法的特點(diǎn)：

（1）確定待優(yōu)化問題設(shè)計(jì)空間的維數(shù)n，根據(jù)維數(shù)n確定設(shè)計(jì)變量x～(x1，x2，…，xn)；

（2）在收斂空間內(nèi)隨機(jī)搜索三組可行的設(shè)計(jì)變量組合xEye、xMirror和xObject，并計(jì)算每一組設(shè)計(jì)變量的清晰度（即目標(biāo)函數(shù)），各元素清晰度間的關(guān)系，如表1所示；

表1 鏡面反射算法各元素間的關(guān)系Tab.1 Relationship Among Elements of Specular Reflection Algorithm

（3）根據(jù)式（1）和式（2）調(diào)整眼睛的位置，并確定新位置的清晰度值f(xEye)；

式中：ξ—搜索步長擴(kuò)展系數(shù)，通常取ξ=2.148/n+0.8351［30］，在算法運(yùn)行初期，需要在全局范圍內(nèi)對收斂域進(jìn)行搜索，而在運(yùn)行末期，需要降低該參數(shù)的值，以提高計(jì)算精度，即最佳的ξ取值是隨迭代次數(shù)的增加而逐漸降低；rand—在區(qū)間[0，1]中均勻分布的隨機(jī)數(shù)。

（4）根據(jù)各元素的清晰度值，參照構(gòu)建新的鏡面反射模型，如圖2所示；

圖2 構(gòu)建新鏡面反射模型Fig.2 Building a New Specular Model

（5）判斷算法是否滿足迭代終止準(zhǔn)則，是則輸出最優(yōu)計(jì)算結(jié)果，否則返回（3）進(jìn)行迭代計(jì)算，通常情況下，智能優(yōu)化算法的迭代終止準(zhǔn)則最大迭代次數(shù)或計(jì)算精度進(jìn)行判定，這里鏡面反射算法由上述兩種準(zhǔn)則聯(lián)合判定，即采用如式（3）所示的終止準(zhǔn)則。

式中：It—算法迭代次數(shù)；Imax—算法迭帶次數(shù)的最大限定值，該值將根據(jù)具體的優(yōu)化問題而定；Jt—算法的計(jì)算精度，根據(jù)式

（4）計(jì)算；Jmin—算法精度的限定值，依具體的優(yōu)化問題而定。

式中：Vc—目標(biāo)函數(shù)的計(jì)算值；Vbest—目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)值。

采用鏡面反射算法求解最優(yōu)化問題的流程，如圖3所示。

圖3 鏡面反射算法計(jì)算流程Fig.3 Computation Process of Specular Reflection Algorithm

根據(jù)鏡面反射算法的計(jì)算流程可知，鏡面反射算法同傳統(tǒng)的智能優(yōu)化算法相比具有如下特點(diǎn)：①鏡面反射算法采用非種群的搜索策略，即在每次迭代過程中僅通過三個(gè)元素產(chǎn)生一個(gè)新解xEye，相比傳統(tǒng)的群體智能優(yōu)化算法計(jì)算量大幅度降低；②鏡面反射算法采用了獨(dú)特的新解接收策略，即在迭代過程中產(chǎn)生的新解，無論其為優(yōu)化解還是惡化解，均采用接收的策略，此策略具有在一定程度上提升算法全局收斂的能力。

2.3 SRA算法優(yōu)化能力分析

為驗(yàn)證SRA算法的計(jì)算效率，采用6種典型的優(yōu)化測試函數(shù)對其進(jìn)行分析，測試函數(shù)的數(shù)學(xué)表達(dá)及其收斂域和理論最優(yōu)值列于表中，如表2所示。為增加對比性，同時(shí)包含了其它算法（PSO和FOA）對測試函數(shù)的測試結(jié)果，設(shè)定最大迭代次數(shù)為Iter=100000，目標(biāo)函數(shù)的收斂精度為δ=10-6，如表3所示。

表2 SRA算法測試函數(shù)Tab.2 Test Function of SRA

表3 測試函數(shù)計(jì)算結(jié)果Tab.3 Calculation Results of Test Function

6個(gè)測試函數(shù)在n=2時(shí)的三維空間曲面圖，如圖4所示。根據(jù)圖3可知，測試函數(shù)1、2、3、5為單峰函數(shù)，單峰函數(shù)具有唯一的全局極值，且在測試空間中的極值點(diǎn)附近測試函數(shù)是嚴(yán)格單調(diào)的，此類測試函數(shù)主要用于測試優(yōu)化算法的計(jì)算速度和精度。

圖4 測試函數(shù)三維空間曲面Fig.4 Test Function 3D Spatial Surface

測試函數(shù)4和6是多峰函數(shù)，多峰函數(shù)在測試空間中含有多個(gè)局部極值，相比單峰函數(shù)，多峰函數(shù)更加難于獲得全局最優(yōu)解，此類測試函數(shù)主要用于驗(yàn)證算法的全局收斂能力。由測試函數(shù)的空間復(fù)雜度將隨著設(shè)計(jì)變量維數(shù)的增加而呈指數(shù)倍的速度增長，因此，為驗(yàn)證鏡面反射算法的計(jì)算能力，這里對測試函數(shù)的設(shè)計(jì)變量維數(shù)的設(shè)定，如表3所示。

分別采用SRA算法、粒子群算法和果蠅算法對表2中的6個(gè)測試函數(shù)進(jìn)行分析，設(shè)定粒子群算法和果蠅算法的種群數(shù)為50，采用相同的設(shè)計(jì)軟件平臺對三種算法的計(jì)算能力進(jìn)行對比仿真驗(yàn)證。在對每一個(gè)測試函數(shù)進(jìn)行優(yōu)化時(shí)，每種算法均獨(dú)立進(jìn)行20次運(yùn)算，將20次計(jì)算的最優(yōu)、最差及平均計(jì)算結(jié)果列于表3中，表3中同時(shí)包含了對算法平均迭代時(shí)間的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)，表中加粗的字體表示最優(yōu)的計(jì)算結(jié)果，三種算法在對測試函數(shù)進(jìn)行尋優(yōu)過程中的迭代優(yōu)化曲線，如圖5所示。

圖5 測試函數(shù)優(yōu)化迭代曲線Fig.5 Iteration Curve of Test Function Optimization

通過表3的計(jì)算結(jié)果及圖5的迭代曲線可知，在對測試函數(shù)進(jìn)行求解時(shí)，鏡面反射算法展現(xiàn)了非常優(yōu)異的探索和尋優(yōu)能力。對于測試函數(shù)1、2、4、5和6，鏡面反射算法展現(xiàn)了良好的計(jì)算特性，計(jì)算結(jié)果的精度相比其他兩種算法是最高的。采用鏡面反射算法對測試函數(shù)進(jìn)行優(yōu)化，不僅能獲得精確的計(jì)算結(jié)果，而且優(yōu)化計(jì)算的效率高，從表3可知，相對其他兩種算法，鏡面反射算法的平均迭代時(shí)間最少。因此，鏡面反射算法在處理優(yōu)化問題時(shí)具有精度高且收斂速度快的優(yōu)點(diǎn)。

3 起重機(jī)結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)模型

為驗(yàn)證鏡面反射算法在求解工程起重機(jī)結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計(jì)及穩(wěn)健優(yōu)化設(shè)計(jì)問題的能力，這里以起重機(jī)主梁結(jié)構(gòu)為研究對象，如圖6所示。采用經(jīng)典力學(xué)方法對主梁結(jié)構(gòu)進(jìn)行校核，在結(jié)構(gòu)參數(shù)滿足基本靜強(qiáng)度設(shè)計(jì)要求的基礎(chǔ)上，通過鏡面反射算法分別對結(jié)構(gòu)進(jìn)行輕量化設(shè)計(jì)和穩(wěn)健優(yōu)化設(shè)計(jì)，以期在降低結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)質(zhì)量的基礎(chǔ)上，全面提升結(jié)構(gòu)承載能力對設(shè)計(jì)參數(shù)的敏感程度，提高結(jié)構(gòu)的穩(wěn)健性和可靠性。

圖6 橋式起重機(jī)結(jié)構(gòu)Fig.6 Structure of Bridge Crane

3.1 基于力學(xué)方法的主梁結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)

對于如圖6 所示的橋式起重機(jī)，主梁結(jié)構(gòu)搭接在兩根端梁上，端梁下端安裝的大車車輪可在預(yù)定軌道上行駛，而在主梁的上端或下端可安裝起升小車或電動葫蘆，以保證起重機(jī)可沿著垂直于大車軌道的方向運(yùn)行。在對主梁結(jié)構(gòu)進(jìn)行設(shè)計(jì)時(shí)，根據(jù)GB/T3811-2008起重機(jī)設(shè)計(jì)規(guī)范的要求，可將主梁結(jié)構(gòu)的設(shè)計(jì)模型簡化的簡支梁，如圖7所示。

圖7 主梁結(jié)構(gòu)簡化模型Fig.7 Simplified Model of Main Girder Structure

如圖7所示，起重機(jī)主梁結(jié)構(gòu)主要承受2種載荷的作用：一是由主梁自重載荷引起的均布載荷q；一種是由小車輪壓引起的集中載荷F=85kN的作用。圖中：S—主梁跨度，這里研究的起重機(jī)跨度S=22.5m；b=2000mm為小車輪距；均布載荷q由主梁截面參數(shù)決定，采用式（5）進(jìn)行計(jì)算。當(dāng)小車輪壓引起的集中載荷作用在如圖7所示的位置時(shí)，將對主梁跨中截面產(chǎn)生最大的正應(yīng)力的作用。這里將通過該工況對主梁結(jié)構(gòu)的靜強(qiáng)度進(jìn)行校核。

式中：1.5—考慮到主梁軌道、加勁肋、走臺等引起的主梁自重增大系數(shù)；A—主梁截面面積（mm2），根據(jù)參數(shù)進(jìn)行計(jì)算，如圖8所示。計(jì)算如式（6）所示；ρ—材料的密度，ρ=7850kg/m3；g—重力加速度，g=10N/kg。

圖8 起重機(jī)主梁截面Fig.8 Cross Section of Crane Girder

式中：X6—上、下翼緣板寬度，X6=2X3+X4+60，單位為mm。

3.2 主梁結(jié)構(gòu)校核

根據(jù)GB/T 3811-2008起重機(jī)設(shè)計(jì)規(guī)范的要求，主梁結(jié)構(gòu)靜強(qiáng)度需采用式（7）進(jìn)行校核：

式中：σ—主梁結(jié)構(gòu)計(jì)算截面的最大正應(yīng)力，根據(jù)式（8）計(jì)算，單位為MPa；[σ]—結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)的許用應(yīng)力，由結(jié)構(gòu)材料決定，這里設(shè)計(jì)的起重機(jī)主梁結(jié)構(gòu)采用Q235B，因此[σ]=235/1.48=158.78MPa；

式中：M—主梁跨中截面的最大彎矩，采用式（9）計(jì)算，單位：N·mm；

式中：y—主梁截面計(jì)算點(diǎn)距垂直方向形心坐標(biāo)最大值，單位為mm；Iz—主梁截面在垂直方向的慣性矩，單位為mm4。

根據(jù)上述計(jì)算過程，可對主梁結(jié)構(gòu)進(jìn)行校核，已知如圖8所示的主梁截面設(shè)計(jì)參數(shù)數(shù)值，如表4所示。主梁的靜強(qiáng)度校核結(jié)果，如表4所示。

表4 結(jié)構(gòu)靜強(qiáng)度計(jì)算結(jié)果Tab.4 Calculation Results of Structural Static Strength

根據(jù)上述計(jì)算可知，在當(dāng)前設(shè)計(jì)參數(shù)的影響下，起重機(jī)主梁結(jié)構(gòu)的最大靜態(tài)垂直方向正應(yīng)力為82.5462MPa，同許用應(yīng)力相比主梁結(jié)構(gòu)的設(shè)計(jì)裕度為（158.78-82.5462）/158.78=48.01%。表明該結(jié)構(gòu)的設(shè)計(jì)裕度較大，結(jié)構(gòu)材料未能充分的利用，有較大的優(yōu)化空間。

4 起重機(jī)主梁結(jié)構(gòu)輕量化設(shè)計(jì)

針對這里研究的起重機(jī)主梁結(jié)構(gòu)因設(shè)計(jì)余量較大而造成的材料浪費(fèi)問題，本節(jié)將采用鏡面反射算法對起重機(jī)主梁結(jié)構(gòu)進(jìn)行輕量化設(shè)計(jì)。在進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計(jì)前，需要建立主梁結(jié)構(gòu)的輕量化設(shè)計(jì)模型，即確定設(shè)計(jì)變量、約束條件和目標(biāo)函數(shù)，以保證主梁結(jié)構(gòu)輕量化設(shè)計(jì)的順利進(jìn)行。

4.1 設(shè)計(jì)變量

在優(yōu)化模型中，設(shè)計(jì)變量的重要性不言而喻。優(yōu)化問題的實(shí)質(zhì)即是通過智能算法改變設(shè)計(jì)變量的數(shù)值，以獲得更優(yōu)的設(shè)計(jì)參數(shù)。設(shè)計(jì)變量的變化將引起約束條件和目標(biāo)函數(shù)的變化，因此，合理且準(zhǔn)確地確定優(yōu)化設(shè)計(jì)變量對優(yōu)化問題求解至關(guān)重要。針對橋式起重機(jī)主梁結(jié)構(gòu)的輕量化設(shè)計(jì)問題，由于起重機(jī)的跨度S和外部載荷F已確定，因此可將該優(yōu)化問題的設(shè)計(jì)變量確定為如式（10）所示主梁截面參數(shù)。

4.2 約束條件

在優(yōu)化問題中，約束條件是根據(jù)優(yōu)化問題的實(shí)際情況而設(shè)定的限制性條件，約束條件的準(zhǔn)確設(shè)定，對優(yōu)化問題的準(zhǔn)確求解具有至關(guān)重要的作用。在起重機(jī)主梁結(jié)構(gòu)的輕量化設(shè)計(jì)中，需要根據(jù)實(shí)際的工程情況設(shè)定相關(guān)的約束條件，具體的約束，如表5所示。

表5 主梁結(jié)構(gòu)約束條件Tab.5 Structural Constraints of Main Girder

4.3 目標(biāo)函數(shù)

起重機(jī)主梁結(jié)構(gòu)輕量化設(shè)計(jì)的目標(biāo)是保證結(jié)構(gòu)在滿足設(shè)計(jì)要求的前提下質(zhì)量最小，而決定主梁結(jié)構(gòu)質(zhì)量因素為如圖8所示的主梁截面，因此，可將主梁輕量化設(shè)計(jì)的目標(biāo)函數(shù)設(shè)定為主梁截面面積，其計(jì)算式見式（6）。根據(jù)上述分析可將起重機(jī)主梁結(jié)構(gòu)的輕量化設(shè)計(jì)模型總結(jié)，如式（11）所示。

采用鏡面反射算法求解如式（11）所示的起重機(jī)主梁結(jié)構(gòu)的輕量化設(shè)計(jì)問題，通過相關(guān)軟件編寫專用的優(yōu)化程序，優(yōu)化結(jié)果，如表6所示。根據(jù)表6可知，經(jīng)過鏡面反射算法的優(yōu)化，起重機(jī)主梁結(jié)構(gòu)的質(zhì)量得到有效的降低，降低幅度為47.78%，且在結(jié)構(gòu)質(zhì)量大幅度降低的情況下，結(jié)構(gòu)靜強(qiáng)度仍然滿足設(shè)計(jì)要求，證明了優(yōu)化后的設(shè)計(jì)參數(shù)合理，結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)合格。主梁結(jié)構(gòu)輕量化中目標(biāo)函數(shù)的迭代曲線，如圖9所示。對于求解此類離散變量的優(yōu)化設(shè)計(jì)問題，鏡面反射算法呈現(xiàn)了優(yōu)異的優(yōu)化性能，僅通過有限的31次迭代便獲得了最優(yōu)解，算法的計(jì)算能力進(jìn)一步得到了驗(yàn)證。

表6 主梁結(jié)構(gòu)輕量化設(shè)計(jì)參數(shù)Tab.6 Lightweight Design Parameters of Main Girder Structure

圖9 主梁結(jié)構(gòu)輕量化設(shè)計(jì)目標(biāo)函數(shù)迭代曲線Fig.9 Iterative Curve of Objective Function for Lightweight Design of Main Girder Structure

圖10 主梁結(jié)構(gòu)穩(wěn)健設(shè)計(jì)目標(biāo)函數(shù)迭代曲線Fig.10 Iterative Curve of Objective Function for Robust Design of Main Girder Structure

5 起重機(jī)主梁結(jié)構(gòu)穩(wěn)健優(yōu)化設(shè)計(jì)

傳統(tǒng)的確定性結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計(jì)并未將某些設(shè)計(jì)參數(shù)所具有的不確定性或隨機(jī)性考慮在內(nèi)，然而在實(shí)際工程問題中，這些具有不確定性屬性的設(shè)計(jì)參數(shù)往往是無法避免的。以質(zhì)量最輕為目標(biāo)的傳統(tǒng)結(jié)構(gòu)輕量化設(shè)計(jì)雖然能夠獲得最輕的設(shè)計(jì)質(zhì)量及其對應(yīng)的設(shè)計(jì)參數(shù)，但這些參數(shù)可能會導(dǎo)致設(shè)計(jì)的可靠性無法滿足要求，即結(jié)構(gòu)是不可靠的。因此，在機(jī)械產(chǎn)品結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計(jì)中充分考慮某些設(shè)計(jì)參數(shù)的隨機(jī)不確定性具有重要意義。

5.1 基于靈敏度的穩(wěn)健設(shè)計(jì)

穩(wěn)健設(shè)計(jì)（Robust Design）是保證高質(zhì)量產(chǎn)品的一種有效的工程設(shè)計(jì)方法。由于環(huán)境的影響及制造條件的限制，對某些不確定性設(shè)計(jì)參數(shù)的影響無法消除，在這種條件下，控制目標(biāo)函數(shù)的波動，降低在設(shè)計(jì)點(diǎn)處的敏感性成為了穩(wěn)健設(shè)計(jì)需要完成的任務(wù)。目前，針對工程問題進(jìn)行穩(wěn)健設(shè)計(jì)的方法很多，主要有靈敏度設(shè)計(jì)法、隨機(jī)模型法等。其中，靈敏度設(shè)計(jì)法是一種通用且有效的穩(wěn)健設(shè)計(jì)方法，這里采用靈敏度設(shè)計(jì)法對箱型截面的起重機(jī)主梁結(jié)構(gòu)進(jìn)行穩(wěn)健設(shè)計(jì)，通過式（12）求解目標(biāo)函數(shù)對設(shè)計(jì)參數(shù)的靈敏度信息，并將穩(wěn)健設(shè)計(jì)問題轉(zhuǎn)化為如式（13）所示穩(wěn)健優(yōu)化設(shè)計(jì)問題，通過尋找最佳的設(shè)計(jì)參數(shù)組合，獲得具有對設(shè)計(jì)參數(shù)變化不敏感、即穩(wěn)健的結(jié)構(gòu)。

式中：Si—靈敏度，Si的大小表征參數(shù)變化對設(shè)計(jì)指標(biāo)（即靜強(qiáng)度）變化的影響程度。

式中：g(X)—穩(wěn)健設(shè)計(jì)目標(biāo)函數(shù)，g(X)越小證明結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)指標(biāo)對設(shè)計(jì)變量的敏感程度越低，即設(shè)計(jì)指標(biāo)對目標(biāo)函數(shù)的變化不敏感；hj(X)、qk(X)—等式和不等式約束條件，具體的約束要求請參見式（11）。

采用如式（13）所示的起重機(jī)主梁結(jié)構(gòu)穩(wěn)健優(yōu)化設(shè)計(jì)模型，對該模型進(jìn)行基于鏡面反射算法的穩(wěn)健優(yōu)化設(shè)計(jì)，結(jié)構(gòu)的計(jì)算結(jié)果，如表7所示。通過表7可知，采用穩(wěn)健優(yōu)化設(shè)計(jì)模型對起重機(jī)主梁結(jié)構(gòu)進(jìn)行穩(wěn)健優(yōu)化，優(yōu)化后的計(jì)算結(jié)果顯示結(jié)構(gòu)的穩(wěn)健性（目標(biāo)函數(shù)）獲得了最大程度的降低，比原設(shè)計(jì)參數(shù)降低了85.42%。但是在結(jié)構(gòu)穩(wěn)健性提升的同時(shí)，結(jié)構(gòu)的尺寸參數(shù)均達(dá)到了極限，截面質(zhì)量比原參數(shù)提升了278.64%，增加了近3倍，證明了結(jié)構(gòu)穩(wěn)健性的增加是以增加結(jié)構(gòu)質(zhì)量為代價(jià)的。顯然，采用穩(wěn)健方法獲得的起重機(jī)主梁結(jié)構(gòu)參數(shù)并不滿足對產(chǎn)品綠色設(shè)計(jì)的要求，無法合理利用材料的承載能力。因此，需要將穩(wěn)健設(shè)計(jì)同智能優(yōu)化算法結(jié)合，研究一種具有基于計(jì)算智能的起重機(jī)結(jié)構(gòu)穩(wěn)健優(yōu)化設(shè)計(jì)模型。

表7 主梁結(jié)構(gòu)穩(wěn)健設(shè)計(jì)參數(shù)Tab.7 Robust Design Parameters of Main Girder Structure

5.2 起重機(jī)結(jié)構(gòu)的穩(wěn)健優(yōu)化設(shè)計(jì)

為獲得既滿足結(jié)構(gòu)穩(wěn)健性要求，同時(shí)又具有綠色輕量化指標(biāo)的起重機(jī)結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)參數(shù)，這里將采用鏡面反射算法，在結(jié)構(gòu)輕量化設(shè)計(jì)的基礎(chǔ)上，通過增加結(jié)構(gòu)穩(wěn)健性指標(biāo)約束，以獲得結(jié)構(gòu)的穩(wěn)健優(yōu)化設(shè)計(jì)參數(shù)。以結(jié)構(gòu)承載能力和穩(wěn)健設(shè)計(jì)指標(biāo)為約束，以結(jié)構(gòu)質(zhì)量最小為目標(biāo)，對起重機(jī)結(jié)構(gòu)進(jìn)行更為合理的設(shè)計(jì)，穩(wěn)健優(yōu)化設(shè)計(jì)簡化模型，如式（14）所示，式（14）中僅列出了約束條件5，優(yōu)化設(shè)計(jì)的設(shè)計(jì)變量、目標(biāo)函數(shù)和其它的約束條件參見，如式（11）所示。

式中：gm—經(jīng)穩(wěn)健設(shè)計(jì)后的結(jié)構(gòu)最小靈敏度值，通過表7可知gm=0.5264；δ—靈敏度指標(biāo)增大系數(shù)，因在優(yōu)化前無法確定最合理的靈敏度指標(biāo)，這里將通過調(diào)整該系數(shù)值以確定最合理的靈敏度約束條件，調(diào)整方式，如表8所示。

表8 起重機(jī)主梁結(jié)構(gòu)穩(wěn)健優(yōu)化設(shè)計(jì)Tab.8 Robust Optimization Design of Crane Girder Structure

放大系數(shù)的取值為δ=[1，2，…，20]，采用鏡面反射算法對所有放大系數(shù)δ影響下的文件優(yōu)化模型進(jìn)行分析，通過計(jì)算結(jié)果可知，隨著放大系數(shù)δ逐漸增加，即優(yōu)化問題的約束條件對結(jié)構(gòu)靈敏度的要求逐漸增加，引起主梁結(jié)構(gòu)質(zhì)量逐漸增加的同時(shí)將引起最大正應(yīng)力σ的降低，如表8所示。

曲線為在不同放大系數(shù)δ影響下主梁結(jié)構(gòu)穩(wěn)健優(yōu)化設(shè)計(jì)模型的目標(biāo)函數(shù)迭代曲線，如圖11所示。

圖11 目標(biāo)函數(shù)迭代曲線Fig.11 Iterative Curve of Objective Function

迭代曲線呈現(xiàn)了如表8相同的趨勢和結(jié)論。放大系數(shù)δ的變化同主梁截面面積A的對應(yīng)關(guān)系，如圖12所示。

圖12 截面面積隨放大系數(shù)δ的變化Fig.12 Variation of Cross Section Area With Magnification Factor δ

δ同最大正應(yīng)力的對應(yīng)關(guān)系、如圖13所示。δ同結(jié)構(gòu)靈敏度的對應(yīng)關(guān)系，如圖14所示。

圖14 靈敏度隨放大系數(shù)δ的變化Fig.14 Variation of Sensitivity with Magnification Factor δ

如圖12～圖14所示，隨著放大系數(shù)δ的逐漸增加，主梁截面優(yōu)化后獲得的最優(yōu)面積呈非線性下降趨勢，而截面的最大正應(yīng)力σ和靈敏度g(X)逐漸增加。

表8中的下偏差最大正應(yīng)力σmax為在原有設(shè)計(jì)參數(shù)的基礎(chǔ)上，因考慮到實(shí)際加工過程中設(shè)計(jì)變量的正常偏差，采用下偏差計(jì)算的最大正應(yīng)力。

即以設(shè)計(jì)變量Xi-ξi(i=1，2，…，5)，進(jìn)行結(jié)構(gòu)承載能力計(jì)算。在這里的計(jì)算中，考慮到實(shí)際鋼板厚度規(guī)格及加工精度控制情況，設(shè)定設(shè)計(jì)變量的下偏差分別為：ξ1=0.6，ξ2=0.6，ξ3=0.6，ξ4=0.6，ξ5=1.0。

根據(jù)表8的計(jì)算結(jié)果可知，當(dāng)全部設(shè)計(jì)變量全部取下偏差值時(shí)，結(jié)構(gòu)的承載能力將發(fā)生質(zhì)的變化，即當(dāng)放大系數(shù)δ≥10時(shí)，因考慮到設(shè)計(jì)參數(shù)在實(shí)際情況下可能存在的最大偏差，經(jīng)穩(wěn)健優(yōu)化后的結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)參數(shù)已無法滿足設(shè)計(jì)要求。因此，為保證結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)指標(biāo)合格的同時(shí)使結(jié)構(gòu)穩(wěn)健性最好，需要嚴(yán)格控制如式（14）所示的約束放大系數(shù)δ(δ≤9)。

6 結(jié)論

這里對鏡面反射算法的計(jì)算過程及特點(diǎn)進(jìn)行了全面的闡述，采用經(jīng)典的優(yōu)化測試函數(shù)對算法的性能進(jìn)行了分析，分析結(jié)果證明了鏡面反射算法具有計(jì)算效率高、魯棒性強(qiáng)等優(yōu)點(diǎn)。將鏡面反射算法的應(yīng)用領(lǐng)域進(jìn)行擴(kuò)展，以通用橋式起重機(jī)主梁結(jié)構(gòu)為研究對象，采用鏡面反射算法分別對該結(jié)構(gòu)進(jìn)行輕量化設(shè)計(jì)和穩(wěn)健優(yōu)化設(shè)計(jì)，考慮實(shí)際生產(chǎn)中不可控因素對結(jié)構(gòu)穩(wěn)健性的影響，建立了橋式起重機(jī)主梁結(jié)構(gòu)的穩(wěn)健優(yōu)化模型，將穩(wěn)健性指標(biāo)作為結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計(jì)的約束條件進(jìn)行處理，研究并獲得了較為合理的約束條件放大系數(shù)，為此類產(chǎn)品的穩(wěn)健優(yōu)化設(shè)計(jì)的相關(guān)研究提供了借鑒和依據(jù)。

經(jīng)過這里的研究表明，鏡面反射算法那是一種通用的結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)方法，可以在輕量化、穩(wěn)健性方面對結(jié)構(gòu)進(jìn)行綜合分析，并獲得較好的結(jié)構(gòu)穩(wěn)健優(yōu)化結(jié)果。穩(wěn)健優(yōu)化設(shè)計(jì)綜合了結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計(jì)和穩(wěn)健性設(shè)計(jì)的優(yōu)點(diǎn)，所得的結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)結(jié)果不僅具有抵抗不確定參數(shù)波動變化的能力，而且結(jié)構(gòu)自重較輕，在實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)不充分的情況下，進(jìn)行結(jié)構(gòu)的穩(wěn)健性優(yōu)化設(shè)計(jì)具有較好的工程應(yīng)用價(jià)值。因此，鏡面反射算法可以在機(jī)械結(jié)構(gòu)穩(wěn)健優(yōu)化設(shè)計(jì)領(lǐng)域進(jìn)行推廣，不斷提升產(chǎn)品的設(shè)計(jì)水平，增強(qiáng)企業(yè)市場競爭力。