案例教學(xué)法在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用

丁琳琳

根據(jù)《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標準（2022年版）》，初中數(shù)學(xué)課程內(nèi)容可劃分為“數(shù)與代數(shù)”“圖形與幾何”“統(tǒng)計與概率”“綜合與實踐”四個領(lǐng)域，其中二次函數(shù)的教學(xué)目標在于引導(dǎo)學(xué)生探索和理解數(shù)與代數(shù)的概念、性質(zhì)和應(yīng)用，認識到數(shù)學(xué)在現(xiàn)實生活和社會科學(xué)中的重要作用，學(xué)習(xí)如何運用數(shù)與代數(shù)的知識解決生活中的實際問題，培養(yǎng)學(xué)生運用數(shù)學(xué)思想分析問題、解決問題的能力。

一、教材分析

北師大版九年級下冊“二次函數(shù)”單元在導(dǎo)入階段通過音樂噴泉、籃球入筐等現(xiàn)實案例引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)并分析變量間存在的函數(shù)關(guān)系，進而引出本單元研究變量關(guān)系的二次函數(shù)模型，以此來引導(dǎo)學(xué)生初步了解二次函數(shù)的概念和作用。隨后，教材借助繪制二次函數(shù)的圖象，分析圖象的形狀、開口方向、對稱軸、頂點坐標等特征，讓學(xué)生理解二次函數(shù)的性質(zhì)。此外，教材通過例題和練習(xí)，讓學(xué)生鞏固所學(xué)知識，并培養(yǎng)解決問題的能力。最后，通過二次函數(shù)的概念、性質(zhì)、應(yīng)用以及與一元二次方程關(guān)系的梳理，幫助學(xué)生形成完整的知識體系，加深對二次函數(shù)的理解和掌握。

二、教學(xué)思維導(dǎo)圖（見文末圖1）

三、教學(xué)目標

1.探索二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系，體會方程與函數(shù)之間的聯(lián)系。

2.理解二次函數(shù)與x軸交點的個數(shù)與一元二次方程的根的個數(shù)之間的關(guān)系，理解何時方程有兩個不等的實根、兩個相等的實根和沒有實根。

3.經(jīng)歷探索二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系的過程，培養(yǎng)學(xué)生的探索能力和創(chuàng)新精神，進一步培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)形結(jié)合思想。

4.通過共同觀察和討論，培養(yǎng)學(xué)生的合作交流意識。

5.經(jīng)歷探索二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系的過程，體驗數(shù)學(xué)活動充滿著探索與創(chuàng)造，感受數(shù)學(xué)的嚴謹性以及數(shù)學(xué)結(jié)論的確定性。

四、教學(xué)重難點

（一）教學(xué)重點

1.體會方程與函數(shù)之間的聯(lián)系。

2.理解何時方程有兩個不等的實根，兩個相等的實根和沒有實根。

3.理解一元二次方程的根就是二次函數(shù)與y=h（h是實數(shù)）交點的橫坐標。

（二）教學(xué)難點

1.探索方程與函數(shù)之間的聯(lián)系的過程。

2.理解二次函數(shù)與x軸交點的個數(shù)與一元二次方程的根的個數(shù)之間的關(guān)系。

（三）教具準備

籃球、PPT。

五、教學(xué)過程

任務(wù)一：創(chuàng)設(shè)問題情境，引入新課

教師播放學(xué)生打籃球的視頻。

師：在日常生活中，我們經(jīng)常能看到物體拋射的運動軌跡。例如，籃球投籃時，籃球從球員手中投出，經(jīng)過一段弧線的飛行，最后進入籃筐。同學(xué)們，你們在生活中還見到過哪些物體的運動軌跡是呈現(xiàn)拋物線的？（教師拿籃球做出拋球的動作）

生1：噴泉。

生2：丟沙包。

（設(shè)計意圖：通過播放籃球賽的視頻將學(xué)生引入實際生活情境中，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)就在我們身邊，引出新課。）

師：同學(xué)們的回答非常好，這些物體的運動軌跡都可以看作一個拋物線。那么拋物線的形狀是什么樣子呢？大家可以打開課本看一下。

生：開口向下，中間有最高點。

師：什么因素會影響拋物線的開口大小和頂點位置呢？

生：投籃球時，投籃的力度、角度不同，所形成的拋物線就不同。

師：大家想不想知道怎么樣可以投球更準呢？

生：想……

師：接下來要認真聽講了……

（設(shè)計意圖：通過投籃，引出通過二次函數(shù)模型可以預(yù)測籃球的運動軌跡，從而提高投籃的準確度，以此引發(fā)學(xué)生的好奇心和求知欲。）

教師PPT展示問題：

在一場NBA比賽中，一名球員在關(guān)鍵時刻投出一球，球出手時離地面高■米，和籃圈中心的程度間隔為7米，當球出手后程度間隔為4米時到達最大高度4米，籃球運行的軌跡為拋物線，籃圈中心間隔地面3.19米。

（1）此球能否投中？

（2）在球出手角度和力度都不變的情況下，如何才能使球正中籃圈中心？

師：大家在籃球比賽中有沒有想過怎樣才能讓自己投籃更準呢？

生1：多訓(xùn)練，提高自己的技術(shù)。

師：很好，但是如果盲目地訓(xùn)練，技術(shù)提高的速度是不是有點慢？

生2：通過圖片，可以列方程求解。

師：好辦法。那怎么求解呢？

生3：求當x=7時，y的值和3.19比較。

生4：求當y=3.19時，x的值和7比較。

師：大家分析得非常好，也就是判斷坐標為（7，3.19）的點是否在函數(shù)圖象上。

師：但是我們在打籃球時不可能總是處在一個位置投球，請大家看第二小問：在球出手角度和力度都不變的情況下，如何才能使球正中籃圈中心？這里的出手角度和力度都不變，在函數(shù)中指什么不變？

生：函數(shù)解析式的a不變。

師：這位同學(xué)的回答非常好。大家仔細看PPT。

（設(shè)計意圖：讓數(shù)學(xué)問題回歸實際問題，教師通過幾何畫板動態(tài)展示二次函數(shù)的圖象變化情況，引導(dǎo)學(xué)生觀察開口方向、對稱軸、頂點坐標等性質(zhì)，帶領(lǐng)學(xué)生共同總結(jié)函數(shù)性質(zhì)的特點和作用。）

教師點撥：

在引入實際問題情境時，教師可以給予適當?shù)奶崾竞鸵龑?dǎo)，幫助學(xué)生發(fā)現(xiàn)變量之間的關(guān)系，并提出二次函數(shù)的概念。如提出引導(dǎo)性問題：“這些現(xiàn)象中的變量關(guān)系可以用之前學(xué)過的哪種函數(shù)來表示？”引導(dǎo)學(xué)生思考并提出二次函數(shù)的概念。同時，教師也可以引導(dǎo)學(xué)生觀察和分析具體的二次函數(shù)實例，如y=x2，y=2x2+1等，讓學(xué)生自主總結(jié)出二次函數(shù)的性質(zhì)和一般形式。在學(xué)生探究如何運用二次函數(shù)解決實際問題時，教師可以引導(dǎo)學(xué)生運用二次函數(shù)性質(zhì)去解決問題。

任務(wù)二：解決實際問題，探究新知

師：通過籃球賽的投籃問題，我們知道了運用二次函數(shù)知識點可以解決現(xiàn)實生活中的數(shù)學(xué)問題。那生活中還有很多問題會用到二次函數(shù)。

教師PPT展示問題：

例如，某時尚衛(wèi)衣固定成本為20元/件，市場售價普遍在30～70元間。根據(jù)歷史數(shù)據(jù)，需求量與售價之間的關(guān)系為y=100-2x，其中y表示需求量，x表示售價。請問售價是多少時，獲利最大？

教師引導(dǎo)：假設(shè)市場需求與售價呈線性關(guān)系，即售價越高，需求量越低，根據(jù)題意，商店的目的是什么呢？

生：獲利最大。

師：有沒有同學(xué)可以解釋一下獲利最大是什么意思呢？

生：售價減去成本，獲得的利潤最大。

師：大家同意這位同學(xué)的理解嗎？

生1：同意。利潤等于售價減去成本。

生2：不同意。利潤和銷售量也有關(guān)系，應(yīng)該是總的銷售額減去總的成本。

師：對。售價減去成本是一件商品的利潤。題中給大家指出需求量與售價之間的關(guān)系為y=100-2x，就是在提醒大家，商店的目標就是要找到最佳售價，以便在扣除固定成本后獲得最大利潤，即利潤=售價×需求量－固定成本×需求量。這里就可以用我們學(xué)過的二次函數(shù)構(gòu)建函數(shù)模型。怎么構(gòu)建函數(shù)模型呢？大家分小組討論一下吧。

學(xué)生通過分組討論后，小組派代表上講臺進行講解分析。

小組代表：根據(jù)題意，設(shè)最終利潤額為P，通過利潤公式將y=100-2x代入得P（x）=x（100-2x）-20（100-2x），簡化與整理后可知P（x）=-2x2+140x-2000。a小于0，函數(shù)圖象開口向下，有最大值。最大值出現(xiàn)在對稱軸上，即x=-b/2a=-140/（-2*2）=35，由此可知商品售價設(shè)定為35元時能夠獲得最大利潤。

（設(shè)計意圖：二次函數(shù)模型可以描述物體的運動規(guī)律，通過設(shè)定拋物線的一般式或頂點式，在方程中代入已知點坐標的方式，可以求解未知系數(shù)，以此得到拋物線的解析式。學(xué)生可以通過設(shè)定變量，如銷售量與售價來建立二次函數(shù)模型，并通過分析和計算得到商品利潤的變化軌跡。）

教師點撥：針對最值問題，引導(dǎo)學(xué)生注意定義域和取值范圍；針對拋物線解析式問題，強調(diào)待定系數(shù)法的使用步驟和注意事項；針對實際問題，引導(dǎo)學(xué)生選擇合適的變量建立模型，并注意實際問題與數(shù)學(xué)模型的相互驗證。

六、作業(yè)設(shè)計

根據(jù)新課程標準的要求和學(xué)生實際情況，設(shè)計具有層次性和針對性的作業(yè)，同時結(jié)合一題多變、變式訓(xùn)練的方式，為學(xué)生設(shè)計不同形式的作業(yè)，包括基礎(chǔ)鞏固題型、拓展提高題型以及進階題型等。

基礎(chǔ)題：已知二次函數(shù)y=x2-4x+m的圖象與x軸有兩個不同的交點，求m的取值范圍。

提高題：已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象頂點坐標為（2，-3），且過點（0，1），求二次函數(shù)解析式。

拓展題：已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象過點A（0，1）和B（2，3），且頂點在直線y=-x+4上，求二次函數(shù)解析式。

七、教學(xué)反思

初中階段是培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)思維能力、科學(xué)探究精神的關(guān)鍵時期，而二次函數(shù)知識作為初中階段數(shù)學(xué)課程教學(xué)中的重難點部分，教師要通過深入探究和分析教材文本內(nèi)容，掌握學(xué)生的基本學(xué)情，為學(xué)生設(shè)計清晰明確的單元教學(xué)目標，在教學(xué)目標的引導(dǎo)下為學(xué)生創(chuàng)設(shè)任務(wù)鏈、問題鏈，引導(dǎo)學(xué)生對二次函數(shù)的定義、性質(zhì)及其圖象形成清晰的認識，能夠運用所學(xué)知識解決簡單的實際問題。在實踐教學(xué)過程中，教師可通過課堂互動、小組討論、層次化作業(yè)等方式，了解并掌握學(xué)生的實際學(xué)情，及時發(fā)現(xiàn)學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中的問題并給予適當幫助和指導(dǎo)。同時，鼓勵學(xué)生進行自主學(xué)習(xí)和合作學(xué)習(xí)，通過互相討論和交流提升學(xué)習(xí)效果。在新課程標準的引導(dǎo)下，初中數(shù)學(xué)教師要更加注重學(xué)生的實際情況和教學(xué)反饋，及時調(diào)整教學(xué)策略；重視多種教學(xué)方式的綜合性應(yīng)用，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識的積極性和探究欲望；注重學(xué)生的參與度和反饋情況，鼓勵學(xué)生進行自主學(xué)習(xí)和合作學(xué)習(xí)；注重培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)和解決問題的能力，以提高學(xué)生的綜合素質(zhì)和能力。

編輯：趙飛飛