由結(jié)構(gòu)力學(xué)的平面問(wèn)題例說(shuō)最小勢(shì)能原理

納新剛

(寧夏大學(xué)土木與水利工程學(xué)院，銀川 750021)

最小勢(shì)能原理作為有限元法的基礎(chǔ)，在彈性力學(xué)和結(jié)構(gòu)力學(xué)的近似計(jì)算中均有重要應(yīng)用。由于彈性力學(xué)的研究對(duì)象為一般及復(fù)雜形狀的構(gòu)件、實(shí)體結(jié)構(gòu)、板、殼等，因此能量法和有限元法是求解彈性力學(xué)問(wèn)題的常用方法。相比之下，由于結(jié)構(gòu)力學(xué)只研究桿狀結(jié)構(gòu)，并且引用各種近似的計(jì)算假設(shè)來(lái)簡(jiǎn)化問(wèn)題，因此對(duì)于一些邊界條件簡(jiǎn)單、平衡微分方程能夠積分為有限形式的結(jié)構(gòu)力學(xué)問(wèn)題而言，可直接采用靜力（動(dòng)力）法進(jìn)行求解[1]，并不需要借助能量原理作近似求解。正因?yàn)樽钚?shì)能原理在彈性力學(xué)中的地位十分重要，因此有關(guān)彈性力學(xué)中最小勢(shì)能原理的證明過(guò)程相當(dāng)嚴(yán)密。相比之下，最小勢(shì)能原理在結(jié)構(gòu)力學(xué)中的體系并不完整[2]，甚至有的結(jié)構(gòu)力學(xué)教材并不介紹最小勢(shì)能原理[1,3]?？陀^地講，由于結(jié)構(gòu)力學(xué)所涉及的問(wèn)題具有多樣性，加之最小勢(shì)能原理求近似解的簡(jiǎn)便性，因此在結(jié)構(gòu)力學(xué)中闡述最小勢(shì)能原理很有必要。本文在教材[4]以平面問(wèn)題為例證明勢(shì)能原理的基礎(chǔ)上，將研究對(duì)象由剛架換為連續(xù)梁，補(bǔ)充說(shuō)明了位移法解的結(jié)構(gòu)對(duì)成立最小勢(shì)能原理的重要性，以及平衡問(wèn)題有初應(yīng)變時(shí)的勢(shì)能法和位移法之間的對(duì)偶關(guān)系，有助于認(rèn)識(shí)最小勢(shì)能原理在結(jié)構(gòu)力學(xué)中蘊(yùn)含的機(jī)理。

1 位移法典型方程的適用條件

1.1 物理方程

在結(jié)構(gòu)力學(xué)中，物理方程用于描述材料的應(yīng)力–應(yīng)變關(guān)系。采用位移法計(jì)算時(shí)，材料的應(yīng)力–應(yīng)變關(guān)系必須是線性的，并且結(jié)構(gòu)在卸載時(shí)的變形特性與加載時(shí)的變形特性相同。

1.2 幾何方程

幾何方程用于描述可能位移和可能應(yīng)變之間的關(guān)系。采用位移法計(jì)算時(shí)，可能位移與可能應(yīng)變之間的關(guān)系由虛力方程控制。當(dāng)只考慮結(jié)構(gòu)的彎曲變形時(shí)，虛力方程為

1.3 平衡方程

平衡方程用于描述可能外力和可能內(nèi)力之間的關(guān)系。采用位移法計(jì)算時(shí)，可能外力和可能內(nèi)力之間的關(guān)系由虛位移方程控制。當(dāng)只考慮結(jié)構(gòu)的彎曲變形時(shí)，虛位移方程為

1.4 真實(shí)狀態(tài)

聯(lián)立物理、幾何和平衡方程，就可描述結(jié)構(gòu)的真實(shí)狀態(tài)。采用位移法計(jì)算時(shí)，結(jié)構(gòu)的真實(shí)內(nèi)力和位移可利用疊加原理得到。這里需指出，疊加原理只適用于線性彈性結(jié)構(gòu)的小位移平衡問(wèn)題[5]。下面以圖1 所示的平面問(wèn)題為例，說(shuō)明利用疊加原理建立位移法典型方程的過(guò)程。已知連續(xù)梁的截面抗彎剛度沿跨度不變，而剪切及軸向剛度對(duì)變形的影響可以忽略。

圖1 載荷示意圖

基本未知量的選取如下。取節(jié)點(diǎn)角位移θB和θC作為基本未知量。雖然支座A和D有角位移，但是為了簡(jiǎn)化計(jì)算可不將它們選做基本未知量。

基本結(jié)構(gòu)在載荷作用下的計(jì)算如圖2 所示。

圖2 載荷在附加約束中產(chǎn)生的約束力

基本結(jié)構(gòu)在溫度變化下的計(jì)算如圖3 所示。

圖3 溫度變化在附加約束中產(chǎn)生的約束力

基本結(jié)構(gòu)在單位θB和θC作用下的計(jì)算如圖4和圖5 所示。

圖4 單位 θB 在附加約束中產(chǎn)生的約束力

圖5 單位 θC 在附加約束中產(chǎn)生的約束力

基本結(jié)構(gòu)在單位支座移動(dòng)下的計(jì)算如圖6所示。

圖6 單位支座移動(dòng)在附加約束中產(chǎn)生的約束力

1.5 位移法解的結(jié)構(gòu)

對(duì)于等剛度連續(xù)梁而言，式（4）中的剛度系數(shù)可改寫(xiě)為

設(shè)δ為式（4）中的系數(shù)矩陣，再令則δ的各階順序主子式為

式中，?:0 ≤s1≤l;0 ≤s2≤l;...;0 ≤sn≤l。

由于?關(guān)于si(i=1,2,...,n)具有輪換對(duì)稱性，故對(duì)于全排列中的任意一項(xiàng)“κj1,κj2,...,κjn”，都有

又因?yàn)椤唉?,κ2,...,κn”的全排列共有n! 項(xiàng)，所以

在式（8）中，由于κi(s)(i=1,2,...,n) 是相互獨(dú)立的，因此至少存在一點(diǎn)s0，使得式（8）中的被積函數(shù)不為零。又因?yàn)榈木€性組合在 [0，l] 上是幾何可能的，因此還存在s0的某一去心鄰域U(s0,δ) ，使得式（8）中的被積函數(shù)不為零。又因?yàn)槭剑?）中的被積函數(shù)非負(fù)，所以

綜上所述，位移法典型方程的系數(shù)矩陣正定，且位移法有唯一解。

2 位移法和勢(shì)能法的對(duì)偶關(guān)系

在結(jié)構(gòu)力學(xué)中，聯(lián)立物理、幾何和平衡方程然后解之的過(guò)程也被稱為靜力法，而位移法是靜力法求解某些平衡問(wèn)題的一個(gè)特例。采用位移法計(jì)算時(shí)，由于結(jié)構(gòu)的可能狀態(tài)用虛功方程來(lái)概括，因此其上的載荷和支座反力構(gòu)成平面平衡力系，并且位移是微小的。又因?yàn)榻Y(jié)構(gòu)在載荷作用下的內(nèi)力和位移可利用疊加原理得到，因此其物理方程還必須是線性彈性的。下面通過(guò)對(duì)勢(shì)能泛函的變分分析導(dǎo)出等剛度連續(xù)梁只考慮彎曲變形時(shí)的位移法典型方程，并證明在所有的幾何可能位移中，真實(shí)位移使結(jié)構(gòu)的總勢(shì)能取極小值。

2.1 勢(shì)能駐值原理

假定物理方程是線性彈性的，并且結(jié)構(gòu)的位移是微小的，那么等剛度連續(xù)梁由載荷產(chǎn)生的彎曲應(yīng)變能表達(dá)式為

而外載荷所對(duì)應(yīng)的彈性勢(shì)能為

式（19）即為位移法典型方程，但與式（4）有所不同，Ck處的支座反力并不能直接由式（19）得到。

通過(guò)以上討論可知：在所有幾何可能位移中，真實(shí)位移使結(jié)構(gòu)的總勢(shì)能取駐值。

2.2 最小勢(shì)能原理

由式（16）可知，勢(shì)能泛函在真實(shí)位移處的二階變分為

通過(guò)以上討論可知：在所有幾何可能位移中，真實(shí)位移不僅使總勢(shì)能取駐值，而且使總勢(shì)能取極小值。此外由式（19）可以看出：雖然結(jié)構(gòu)由于支座移動(dòng)和溫度變化可能會(huì)產(chǎn)生內(nèi)力，但這種情況下的內(nèi)力由多余約束引起，因此結(jié)構(gòu)的內(nèi)力狀態(tài)始終由載荷與支座反力決定。綜上所述，等剛度連續(xù)梁在平面載荷與支座反力構(gòu)成的平衡力系作用下，可能的小位移狀態(tài)由虛力方程控制，如果真實(shí)位移還能利用疊加原理進(jìn)行求解，那么可能位移狀態(tài)下的總勢(shì)能在真實(shí)位移處取極小值。

3 總結(jié)

為便于理解最小勢(shì)能原理在結(jié)構(gòu)力學(xué)中蘊(yùn)含的機(jī)理，本文以等剛度連續(xù)梁為研究對(duì)象，在只考慮彎曲變形的情況下，討論了位移法典型方程的適用條件。在此基礎(chǔ)上，分析了勢(shì)能法與位移法之間的對(duì)偶關(guān)系。主要結(jié)論如下。

（1）位移法典型方程只適用于線性彈性結(jié)構(gòu)的小位移平衡問(wèn)題有唯一解的情況，并且要求結(jié)構(gòu)受平面載荷與支座反力構(gòu)成的平衡力系作用。

（2）等剛度連續(xù)梁在平面載荷與支座反力構(gòu)成的平衡力系作用下，可能的小位移狀態(tài)由虛力方程控制，如果真實(shí)位移還能利用疊加原理進(jìn)行求解，那么可能位移狀態(tài)下的總勢(shì)能在真實(shí)位移處取極小值。

（3）通過(guò)分析等剛度連續(xù)梁的彎曲變形，雖然從局部的視角解釋和驗(yàn)證了最小勢(shì)能原理，但同一般情況下的最小勢(shì)能原理具有相同的實(shí)質(zhì)，有助于對(duì)最小勢(shì)能原理的深刻認(rèn)識(shí)。