黏彈性理論中廣義Maxwell 模型的教學(xué)法及其在非晶態(tài)固體中的應(yīng)用1)

喬吉超 邢光輝 郝 奇

(西北工業(yè)大學(xué)力學(xué)與土木建筑學(xué)院，西安 710072)

課程教學(xué)對(duì)于培養(yǎng)高素質(zhì)人才至關(guān)重要，教師在教學(xué)環(huán)節(jié)應(yīng)該注重培養(yǎng)學(xué)生的思維能力、實(shí)踐能力和創(chuàng)新能力等綜合素質(zhì)，幫助學(xué)生全面發(fā)展[1-2]。黏彈性力學(xué)課程是連續(xù)介質(zhì)力學(xué)的一個(gè)重要組成部分，介于力學(xué)和材料科學(xué)之間，其以兼具彈性固體和黏性流體特征的物質(zhì)為研究對(duì)象，如高分子聚合物、瀝青、混凝土、生物體以及應(yīng)用于高溫環(huán)境的金屬等[3]。黏彈性材料的時(shí)間依賴性行為對(duì)于其應(yīng)用具有重要影響，尤其是高溫蠕變以及應(yīng)力松弛，在航空宇航工程、預(yù)應(yīng)力建筑以及極端環(huán)境下的服役中受到廣泛關(guān)注。因此，開展黏彈性力學(xué)的教學(xué)研究對(duì)于理解黏彈性材料服役具有重要意義[4]。

通常，黏彈性物質(zhì)在有限時(shí)間范圍內(nèi)存在寬廣的弛豫譜，如何理解弛豫譜物理起源與性質(zhì)成為黏彈性理論教學(xué)的難點(diǎn)。弛豫是物質(zhì)從非平衡態(tài)系統(tǒng)向平衡態(tài)轉(zhuǎn)變的過程，當(dāng)黏彈性物體受到外加激勵(lì)時(shí)，如對(duì)材料施加恒定應(yīng)變，系統(tǒng)將自發(fā)調(diào)整其內(nèi)部應(yīng)力狀態(tài)，這一變形過程為材料應(yīng)力松弛過程[5]。針對(duì)應(yīng)力松弛過程，一般采用弛豫時(shí)間來描述其變形過程的快慢。應(yīng)力松弛變形過程中，弛豫特征參數(shù)弛豫時(shí)間被定義為應(yīng)力衰減過程完成1/e所需時(shí)間。對(duì)于熱激活的弛豫過程，弛豫時(shí)間則作為原子團(tuán)簇跨越能量勢(shì)壘速度的度量，由于物質(zhì)中原子團(tuán)簇空間上的不均勻分布以及熱輸運(yùn)的作用，弛豫時(shí)間在空間以及時(shí)間上存在一個(gè)分布，這便是對(duì)于弛豫譜的一種普遍理解[6]。

在黏彈性力學(xué)中，通常采用線性以及非線性模型來描述材料的力學(xué)行為。Maxwell 模型為一個(gè)重要線性黏彈性模型，有助于學(xué)生理解物質(zhì)黏彈性以及弛豫譜物理起源，其由一個(gè)彈簧和一個(gè)阻尼黏壺串聯(lián)而成。該模型可描述材料的瞬態(tài)響應(yīng)，即短時(shí)間內(nèi)的應(yīng)變響應(yīng)，以及持續(xù)性的應(yīng)力響應(yīng)，其為最簡(jiǎn)單的應(yīng)力松弛力學(xué)模型。故筆者認(rèn)為Maxwell 模型在黏彈性理論課程教學(xué)中應(yīng)該占據(jù)較大篇幅，以方便學(xué)生加深對(duì)黏彈性力學(xué)性能的理解，具體授課思路如圖1 所示。

圖1 授課思路示意圖

首先講解Maxwell 模型的應(yīng)力松弛響應(yīng)，并給出可能的微觀機(jī)制。此外，基于非晶固體應(yīng)力松弛響應(yīng)曲線來討論廣義Maxwell 的兩種形式，即有限個(gè)特征時(shí)間的有限譜模型和考慮特征時(shí)間分布的連續(xù)譜模型。最后討論連續(xù)譜模型所反映的非晶固體特征時(shí)間分布形式。

1 講授方法

1.1 Maxwell 模型

1.1.1 宏觀分析[7]

材料微觀結(jié)構(gòu)決定其宏觀力學(xué)性能，進(jìn)而決定了其對(duì)外加力場(chǎng)的響應(yīng)。應(yīng)力與應(yīng)變之間的基本關(guān)聯(lián)有兩種。

在實(shí)際工況中，所使用的工程材料通常為彈性和黏性流動(dòng)的結(jié)合，這種行為稱為黏彈性。常見黏彈性模型由離散的彈性元件(彈簧)和黏性元件(黏壺)以不同方式組合而成。其中，最重要的黏彈性模型為Maxwell 模型，該模型由單個(gè)彈簧和黏壺串聯(lián)而成，如圖2 所示。拉伸變形時(shí)，總變形由彈性應(yīng)變?chǔ)舉l和黏性變形εη組成。

圖2 Maxwell 模型

1.1.2 微觀分析

黏彈性教材中一般僅給出Maxwell 模型的宏觀表述，然而從微觀變尺度給出變形單元轉(zhuǎn)變動(dòng)力學(xué)上的可能解釋，有助于拓展對(duì)上述黏彈性行為的認(rèn)識(shí)?？紤]初始施加的變形在材料單位體積內(nèi)激活了n(0) 個(gè)變形單元，考慮到在0 時(shí)刻上述變形單元均處于彈性可逆狀態(tài)，由彈簧元件導(dǎo)致，因此n(0)與初始應(yīng)力或應(yīng)變成正比可寫作n(0) =kσ0，其中k為常數(shù)。在后續(xù)應(yīng)力松弛過程中，其隨時(shí)間推移逐漸向黏性不可逆變形轉(zhuǎn)變。為推導(dǎo)應(yīng)力松弛響應(yīng)，應(yīng)當(dāng)進(jìn)行未轉(zhuǎn)變狀態(tài)與轉(zhuǎn)變狀態(tài)變形單元數(shù)目分析。設(shè)n(t) 為t時(shí)刻未轉(zhuǎn)變的變形單元，基于一階動(dòng)力學(xué)，有

因此基于微觀尺度變形單元轉(zhuǎn)變所得應(yīng)力松弛響應(yīng)公式（9）與Maxwell 模型推導(dǎo)所得公式（6）形式完全相同。

1.2 廣義Maxwell 模型引入

由于Maxwell 模型中僅有單一特征時(shí)間，其形式簡(jiǎn)單，與真實(shí)黏彈性材料應(yīng)力松弛響應(yīng)相差甚遠(yuǎn)。圖3 所示為一種Zr 基非晶合金的應(yīng)力松弛響應(yīng)，其中實(shí)線為采用式（6）對(duì)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)進(jìn)行最小二乘擬合所得，其應(yīng)力衰減極快，完全無法描述實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)。

圖3 非晶合金應(yīng)力松弛響應(yīng)

圖4 廣義Maxwell 模型[7]

事實(shí)上，非晶合金屬于典型玻璃態(tài)材料，其微觀結(jié)構(gòu)長(zhǎng)程無序，短程有序，存在密度、焓和熵等的起伏，在外加力場(chǎng)作用下存在諸多轉(zhuǎn)變位點(diǎn)，即能量狀態(tài)相對(duì)較高的原子團(tuán)簇。各轉(zhuǎn)變位點(diǎn)的激活特征時(shí)間不盡相同。常見聚合物，各種玻璃態(tài)物質(zhì)均有此特性。因此，采用單一特征時(shí)間Maxwell 模型無法對(duì)非晶合金的應(yīng)力松弛行為進(jìn)行描述，需要考慮多個(gè)特征時(shí)間疊加。因此式（6）可改寫為

采用式（10）描述非晶態(tài)材料應(yīng)力松弛等黏彈性響應(yīng)，通常人為給定2～5 個(gè)可能的特征時(shí)間并進(jìn)行擬合，以獲得對(duì)應(yīng)特征時(shí)間的松弛強(qiáng)度，或直接擬合實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)以獲得有限個(gè)特征時(shí)間及其強(qiáng)度[8]。如圖5(a)和圖5(b)分別為n=2 和n=4 情況下根據(jù)式（10）對(duì)應(yīng)力松弛實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的最小二乘擬合曲線，擬合參數(shù)見附錄部分附表1 和附表2?？芍?dāng)n=4 時(shí)有限譜法可以相當(dāng)好地吻合實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)。

圖5 有限譜法對(duì)應(yīng)力松弛響應(yīng)的最小二乘擬合，其中(a)和(b)中實(shí)線分別對(duì)應(yīng)于n=2 和n=4

圖6 應(yīng)力松弛曲線計(jì)算結(jié)果：（a）采用Gauss 正態(tài)分布；（b）采用Gumbel 分布

然而，對(duì)于有限譜法的使用應(yīng)當(dāng)謹(jǐn)慎。因?yàn)橐皇怯邢拮V法所需參量隨特征時(shí)間個(gè)數(shù)成倍增加，例如n=4 時(shí)，式（2）包含7 個(gè)未知參量，此時(shí)最小二乘擬合發(fā)散，會(huì)導(dǎo)致解的不唯一性。二是對(duì)于常見的非晶態(tài)物質(zhì)，由于其結(jié)構(gòu)無序本質(zhì)，在宏觀尺度考慮幾個(gè)甚至數(shù)十個(gè)有限離散特征時(shí)間的黏彈性過程意義不大。

1.3 連續(xù)譜方法及特征時(shí)間分布形式

對(duì)于式（10）所給出的廣義Maxwell 模型表達(dá)式，若繼續(xù)增加并聯(lián)的Maxwell 單元數(shù)目，當(dāng)n趨向于無窮時(shí)，應(yīng)力松弛響應(yīng)可通過積分形式給出

式中,g(τ) 代表特征時(shí)間分布。該公式是廣義Maxwell 模型描述應(yīng)力松弛響應(yīng)的連續(xù)形式，欲采用式（11）描述實(shí)驗(yàn)曲線，重點(diǎn)在于分析特征時(shí)間的分布形式g(τ) 。

考慮到非晶態(tài)材料微觀結(jié)構(gòu)空間分布不均勻性，前已述及，這種微觀結(jié)構(gòu)非均勻性對(duì)應(yīng)其微區(qū)域的能量（焓和熵等）參數(shù)的起伏和波動(dòng)[9]。已有研究表明，非晶合金活化能量譜和彈性常數(shù)實(shí)驗(yàn)測(cè)量近似于正態(tài)分布[10]，而根據(jù)Arrhenius 公式，τ=τ0exp[Ea/(kT)] ，式 中τ為 激活特征 時(shí) 間，τ0為指前因子，Ea為原子團(tuán)簇激活運(yùn)動(dòng)所需的激活能，k= 1.38 ×10–23J/K 為玻爾茲曼常數(shù)，T為溫度。由Arrhenius 公式可知激活能分布可近似為特征時(shí)間的對(duì)數(shù)分布。因此，我們首先考慮特征時(shí)間在對(duì)數(shù)時(shí)間尺度上的Gauss 正態(tài)分布稱Gumbel 分布與實(shí)驗(yàn)結(jié)果更為吻合；而采用對(duì)稱的正態(tài)分布，計(jì)算結(jié)果在松弛末尾階段無法吻合實(shí)驗(yàn)結(jié)果。表明非晶態(tài)材料變形單元特征時(shí)間分布在對(duì)數(shù)尺度上可能并非對(duì)稱正態(tài)分布，而是某種與Gumbel 分布近似的非對(duì)稱形式，其分布向低能量區(qū)域有延展。

1.4 Maxwell 模型的應(yīng)用拓展[13]

對(duì)于Maxwell 單元或其并聯(lián)結(jié)構(gòu)而言，應(yīng)力松弛過程中應(yīng)力均隨時(shí)間逐漸向零應(yīng)力遷移，該情況與非晶合金這種原子玻璃或者低分子量玻璃材料的松弛過程吻合。這些玻璃態(tài)材料弛豫單元相對(duì)簡(jiǎn)單，弛豫單元主要為原子或小分子團(tuán)簇。然而對(duì)于具有長(zhǎng)鏈體系的非晶態(tài)聚合物而言，其鏈段交聯(lián)導(dǎo)致應(yīng)力松弛并非松弛至零應(yīng)力，而是到某一非零殘余應(yīng)力σ∞，且交聯(lián)程度越大，該非零殘余應(yīng)力越大，如圖7(a)所示。

圖7 (a)不同交聯(lián)度的非晶聚合物應(yīng)力松弛響應(yīng)；(b)廣義Maxwell 固體模型

采用圖4 中考慮多個(gè)Maxwell 單元的并聯(lián)模型難以描述該類型材料應(yīng)力松弛響應(yīng)過程，需并聯(lián)一個(gè)彈簧元件以模擬該殘余應(yīng)力，如圖7(b)所示，其應(yīng)力松弛響應(yīng)可描述為

2 結(jié)語

本文首先引入彈簧和黏壺，給出Maxwell 模型的宏觀分析，并給出其應(yīng)力松弛響應(yīng)表達(dá)式。不同于現(xiàn)在廣泛采用的教材，本文亦結(jié)合非晶合金黏彈性變形領(lǐng)域的相關(guān)研究，從激活的變形單元轉(zhuǎn)變動(dòng)力學(xué)角度，分析了應(yīng)力松弛響應(yīng)可能的微觀機(jī)制。通過采用Maxwell 模型推導(dǎo)所得單一特征時(shí)間的指數(shù)松弛公式無法描述真實(shí)非晶態(tài)固體的應(yīng)力松弛曲線，進(jìn)而引出廣義Maxwell 模型。在廣義Maxwell 模型中，通過對(duì)有限個(gè)Maxwell 單元并聯(lián)的有限譜法分析，進(jìn)而考慮了廣義Maxwell模型的積分形式，并分析了由此產(chǎn)生的特征時(shí)間分布。最后，通過對(duì)高分子聚合物介紹，進(jìn)一步拓展了廣義Maxwell 模型的應(yīng)用范圍。授課過程由表及里，層層遞進(jìn)，讓學(xué)生知其然，亦知其所以然。主要結(jié)論如下。

(1) Maxwell 模型是理解黏彈性理論的基礎(chǔ)，其應(yīng)力松弛過程為指數(shù)響應(yīng)。借助微觀層面可能涉及變形單元的一階動(dòng)力學(xué)轉(zhuǎn)變進(jìn)行分析，解決了學(xué)生在理解Maxwell 模型本質(zhì)方面的困惑。

(2) 真實(shí)非晶態(tài)固體（如非晶合金）的應(yīng)力松弛響應(yīng)無法采用Maxwell 模型的指數(shù)響應(yīng)描述，需要考慮多個(gè)Maxwell 單元的并聯(lián)。

(3) 對(duì)于廣義Maxwell 模型的積分形式，需考慮特征時(shí)間的分布形式，通常為對(duì)數(shù)尺度上對(duì)稱或非對(duì)稱分布。對(duì)于非晶態(tài)固體而言，非對(duì)稱分布更符合其松弛響應(yīng)。