高中數(shù)學(xué)作業(yè)分層設(shè)計(jì)的實(shí)踐研究

鄧霞 程保權(quán)

摘 要：高中數(shù)學(xué)作業(yè)的布置，其目的是鞏固學(xué)科知識、深化學(xué)科內(nèi)涵，檢驗(yàn)學(xué)科綜合水平的重要手段，然而深受傳統(tǒng)應(yīng)試教育模式的影響，部分高中數(shù)學(xué)教師在作業(yè)布置時(shí)，采用的是“題海戰(zhàn)術(shù)”，這給學(xué)生的學(xué)習(xí)帶來了極大的負(fù)擔(dān)。高中文科、理科數(shù)學(xué)差異更加明顯，造成更加差異化的學(xué)生群體，因此，在高中數(shù)學(xué)教學(xué)過程中，為了避免學(xué)生之間差異化而影響學(xué)生對數(shù)學(xué)知識點(diǎn)的掌握，則可以采用作業(yè)分層設(shè)計(jì)的方式，既能夠極大地滿足不同學(xué)生的學(xué)習(xí)需求，又能減少學(xué)生的學(xué)習(xí)壓力。通過分層作業(yè)設(shè)計(jì)，可以使不同層次的學(xué)生在數(shù)學(xué)知識的學(xué)習(xí)時(shí)，實(shí)現(xiàn)對基礎(chǔ)知識的充分掌握?；诖耍谡n題的引領(lǐng)下進(jìn)行研究高中數(shù)學(xué)作業(yè)分層設(shè)計(jì)，并基于“直線與圓的位置關(guān)系”相關(guān)內(nèi)容作為案例分析，以此為高中數(shù)學(xué)教師在作業(yè)分層設(shè)計(jì)時(shí)提供必要的借鑒與啟示。

關(guān)鍵詞：高中數(shù)學(xué)；作業(yè)分層；實(shí)踐探究

高中數(shù)學(xué)作業(yè)設(shè)計(jì)采用分層設(shè)計(jì)的方式，可以對不同層次的學(xué)生展開個(gè)性化輔導(dǎo)與幫助，以此避免了傳統(tǒng)機(jī)械式的作業(yè)訓(xùn)練。本文對高中數(shù)學(xué)作業(yè)展開分層設(shè)計(jì)分析，其目的是在作業(yè)分層設(shè)計(jì)時(shí)，以更加科學(xué)合理的方式對不同層次學(xué)生設(shè)計(jì)不同類型的作業(yè)，既能使學(xué)生在有限的時(shí)間內(nèi)完成對數(shù)學(xué)知識的鞏固，又能使所有學(xué)生掌握這些數(shù)學(xué)知識點(diǎn)。

一、高中數(shù)學(xué)作業(yè)分層設(shè)計(jì)的原則

（一）一體化原則

高中數(shù)學(xué)作業(yè)分層設(shè)計(jì)中的一體化原則是指將不同難度和要求的題目有機(jī)地結(jié)合在一個(gè)作業(yè)中，確保學(xué)生能夠全面地掌握數(shù)學(xué)知識和技能。在作業(yè)分層一體化原則中，基于知識結(jié)構(gòu)的一體化，將基礎(chǔ)知識、擴(kuò)展知識和應(yīng)用知識有機(jī)地結(jié)合在一起，讓學(xué)生在解題過程中能夠鞏固基礎(chǔ)、拓展思維、應(yīng)用知識。在難度層次的一體化中，數(shù)學(xué)作業(yè)應(yīng)該設(shè)計(jì)一定數(shù)量的基礎(chǔ)題目和拓展題目，讓學(xué)生既能夠掌握基本概念和解題方法，又能夠應(yīng)對更高難度的挑戰(zhàn)，同時(shí)，還可以設(shè)計(jì)一些綜合性的題目，考查學(xué)生對多個(gè)概念和解題技巧的綜合運(yùn)用能力[1]。在技能要求的一體化中，作業(yè)中的題目應(yīng)該涵蓋不同的解題方法和策略，讓學(xué)生能夠靈活運(yùn)用各種技巧解決問題，還可以通過對不同層次的學(xué)生設(shè)計(jì)難易程度不同的拓展性問題，以此引導(dǎo)學(xué)生對數(shù)學(xué)知識的思考和探究。在知識點(diǎn)的一體化中，作業(yè)中的題目應(yīng)該涵蓋不同的知識點(diǎn)和章節(jié)，幫助學(xué)生將零散的知識點(diǎn)有機(jī)地組合起來，形成完整的數(shù)學(xué)觀念和體系。通過綜合性的題目，幫助學(xué)生理解和運(yùn)用不同知識點(diǎn)之間的聯(lián)系和相互作用。在學(xué)習(xí)過程的一體化中，作業(yè)設(shè)計(jì)要注重培養(yǎng)學(xué)生的學(xué)習(xí)習(xí)慣和解題思路，通過引導(dǎo)學(xué)生分析問題、探索解題方法，提高學(xué)生的自主學(xué)習(xí)和問題解決能力外，還可以設(shè)計(jì)一些開放性問題，鼓勵(lì)學(xué)生展示自己的思考和解決問題的過程。一體化原則的核心是通過作業(yè)設(shè)計(jì)，使學(xué)生能夠全面地掌握數(shù)學(xué)知識和技能，提高學(xué)生的思維能力和解題能力，促進(jìn)學(xué)生的個(gè)性化發(fā)展，并且一體化原則也有助于激發(fā)學(xué)生對數(shù)學(xué)的興趣和學(xué)習(xí)動(dòng)力。

（二）以人為本的原則

高中數(shù)學(xué)作業(yè)分層設(shè)計(jì)時(shí)，根據(jù)學(xué)生的興趣和實(shí)際應(yīng)用，設(shè)計(jì)綜合性的數(shù)學(xué)問題，其中所涉及實(shí)際生活和社會(huì)背景，可以讓學(xué)生能夠?qū)?shù)學(xué)知識應(yīng)用到實(shí)際場景中。在基礎(chǔ)性原則下，幫助學(xué)生夯實(shí)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)，可以設(shè)計(jì)一些基礎(chǔ)題目，包括基本運(yùn)算、代數(shù)方程、幾何圖形等，讓學(xué)生通過做這些題目鞏固基礎(chǔ)知識。也可將數(shù)學(xué)與其他學(xué)科進(jìn)行聯(lián)系，設(shè)計(jì)一些與人文學(xué)科相關(guān)的數(shù)學(xué)題目，如與歷史、地理、藝術(shù)等學(xué)科相結(jié)合，讓學(xué)生能夠感受到數(shù)學(xué)在其他學(xué)科中的重要性和應(yīng)用價(jià)值。為了更好地引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行探究和創(chuàng)造，設(shè)計(jì)一些開放性的問題，鼓勵(lì)學(xué)生思考和解決實(shí)際問題，這種類型的作業(yè)可以激發(fā)學(xué)生的創(chuàng)造力和創(chuàng)新精神，培養(yǎng)學(xué)生解決問題的能力。此外，尊重學(xué)生的個(gè)性差異，設(shè)計(jì)一些不同難度和類型的題目，滿足不同層次的學(xué)生的需求，最終更好地提高學(xué)生對數(shù)學(xué)知識的掌握能力。在以人為本的原則下，能夠設(shè)計(jì)出更加貼近學(xué)生個(gè)體實(shí)際的高中數(shù)學(xué)水平，能夠培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)造思維、實(shí)際應(yīng)用能力和數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

（三）個(gè)性化原則

在高中數(shù)學(xué)作業(yè)的分層設(shè)計(jì)中，個(gè)性化原則是考慮學(xué)生個(gè)體差異的重要原則，根據(jù)學(xué)生的數(shù)學(xué)水平和能力，設(shè)計(jì)不同難度的題目[2]。為了適應(yīng)不同層次的學(xué)生，可以設(shè)計(jì)基礎(chǔ)、提高和拓展三個(gè)層次的題目，供學(xué)生選擇并完成。而考慮到每個(gè)學(xué)生對于不同數(shù)學(xué)題型的喜好和擅長程度有所差異，可以設(shè)計(jì)多種類型的題目，如選擇題、填空題、解答題等，讓學(xué)生能夠在自己擅長的題型上發(fā)揮優(yōu)勢。在作業(yè)設(shè)計(jì)時(shí)，數(shù)學(xué)教師將數(shù)學(xué)學(xué)科要求與學(xué)生的興趣愛好相結(jié)合，設(shè)計(jì)具有主題性的數(shù)學(xué)作業(yè)。例如，對于對音樂感興趣的學(xué)生，可以設(shè)計(jì)關(guān)于音樂的數(shù)學(xué)問題，如音樂節(jié)奏的計(jì)算、音符的比例等。為了滿足學(xué)科探究和創(chuàng)造性思維培養(yǎng)的需求，開展一些探究性的數(shù)學(xué)項(xiàng)目，這類項(xiàng)目可以讓學(xué)生選擇感興趣的數(shù)學(xué)主題，展開深入研究，并提出自己的問題和解決方法。通過以上方式，能夠幫助學(xué)生在數(shù)學(xué)作業(yè)中發(fā)揮自己的優(yōu)勢、培養(yǎng)個(gè)人興趣，并積極參與到數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中去，這將激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)動(dòng)力和學(xué)科興趣，提高數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)質(zhì)量。

二、高中數(shù)學(xué)作業(yè)分層設(shè)計(jì)的策略探究

（一）基于學(xué)生個(gè)體差異，進(jìn)行合理人員分層

在高中數(shù)學(xué)作業(yè)設(shè)計(jì)時(shí)，高中數(shù)學(xué)教師進(jìn)行分層作業(yè)設(shè)計(jì)時(shí)，需要根據(jù)不同層次學(xué)生的實(shí)際學(xué)習(xí)情況進(jìn)行針對性的作業(yè)指導(dǎo)教學(xué)，以此促使學(xué)生在作業(yè)完成中鞏固所需的數(shù)學(xué)知識。但在對學(xué)生進(jìn)行分層時(shí)，為了確保分層的合理性，則需要教師對每一名學(xué)生進(jìn)行深入了解，隨后根據(jù)學(xué)生的實(shí)際情況，將學(xué)生劃分為不同的層次[3]。以高中數(shù)學(xué)《直線與圓的位置關(guān)系》一課教學(xué)為例，當(dāng)數(shù)學(xué)教師對學(xué)生的個(gè)體差異有著一定的了解后，可以將學(xué)生劃分成A、B、C三個(gè)不同的層次，在對學(xué)生分層時(shí)，A層次學(xué)生通常具有很強(qiáng)的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣，同時(shí)A層次學(xué)生的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)高，接受新知識的能力也比較快，而B層次學(xué)生對于數(shù)學(xué)知識的學(xué)習(xí)興趣一般，相應(yīng)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)能力也一般，至于C層次學(xué)生，對數(shù)學(xué)知識的學(xué)習(xí)缺乏興趣，同時(shí)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)能力也非常薄弱。

以A、B、C三個(gè)不同的層次學(xué)生進(jìn)行人教版高中數(shù)學(xué)必修1《直線與圓的位置關(guān)系》的作業(yè)設(shè)計(jì)為例。根據(jù)已知條件，有一條直線和一個(gè)圓。由于直線的斜率為-3，表示直線是一個(gè)斜率為-3的直線，而圓'的方程不包含和的一次項(xiàng)，所以直線與圓必定相交。

對于類似于這樣的習(xí)題作業(yè)進(jìn)行分層設(shè)計(jì)時(shí)，教師可以根據(jù)A、B、C三個(gè)不同層次學(xué)生的學(xué)習(xí)情況，讓A層次的學(xué)生在完成這類題目時(shí)，除過使用普遍的解題方式外，還可以思考用其他方式進(jìn)行解題，做到對相同題目多種解答的方式。

【解法一】根據(jù)判斷直線與圓的關(guān)系，可以通過解方程組來確定是否存在實(shí)數(shù)解。在此問題中，方程組由直線的方程和圓的方程組成。如果方程組有實(shí)數(shù)解，說明直線和圓相交。為了求出交點(diǎn)坐標(biāo)，取消方程組中的變量。通過進(jìn)行變量消去，可以得到方程。解這個(gè)方程后，可以得到結(jié)果，因此方程有實(shí)數(shù)解。因此，得出結(jié)論：直線與圓相交，并且存在兩個(gè)交點(diǎn)。接下來，需要求解上述方程組以確定交點(diǎn)的坐標(biāo)。通過求解方程組，得到交點(diǎn)的坐標(biāo)分別為（1，3）和（2，0）。

【解法二】依據(jù)圓心到直線的距離和半徑長關(guān)系，判斷直線和圓的位置關(guān)系，其圓心的坐標(biāo)為（0，1），半徑長5，點(diǎn)（0，1）到直線的距離。所以，直線和圓相交，并且有兩個(gè)公共點(diǎn)。

對于B層學(xué)生則只需要寫出計(jì)算步驟即可，而C類學(xué)生則可以尋找父母或者教師尋求幫助，并根據(jù)教師給出的解題提示完成答題，掌握相應(yīng)的知識點(diǎn)。從A、B、C三個(gè)不同層次學(xué)生對《直線與圓的位置關(guān)系》一課作業(yè)的解答，可以看出，A層次學(xué)生能夠在完成相應(yīng)知識點(diǎn)的掌握基礎(chǔ)上，不斷深入挖掘重點(diǎn)和難點(diǎn)知識，B層次學(xué)生則可以在完成作業(yè)時(shí)，實(shí)現(xiàn)對所學(xué)知識點(diǎn)的鞏固，而C層次學(xué)生則可以在學(xué)習(xí)中通過教師給的解題提示的幫助下，逐漸從最簡單的知識點(diǎn)學(xué)習(xí)，并一點(diǎn)點(diǎn)地從簡單知識學(xué)習(xí)到復(fù)雜知識點(diǎn)，最終，不同層次的學(xué)生都能夠?qū)崿F(xiàn)對這些數(shù)學(xué)知識點(diǎn)的充分掌握，以此達(dá)到提高教育教學(xué)質(zhì)量的最終目的。

（二）針對不同層次作業(yè)目標(biāo)，合理設(shè)計(jì)作業(yè)內(nèi)容

在分層教學(xué)理念下，高中數(shù)學(xué)教師應(yīng)該做到對作業(yè)目標(biāo)的分層設(shè)計(jì)，同時(shí)針對已經(jīng)分層好的學(xué)生，在作業(yè)布置時(shí)，給予不同難易程度的作業(yè)，以此引導(dǎo)不同層次學(xué)生完成對數(shù)學(xué)知識點(diǎn)的學(xué)習(xí)，有助于不同層次學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能力的提升[4]。高中數(shù)學(xué)教師按照基礎(chǔ)目標(biāo)、中層目標(biāo)、高層目標(biāo)的層次，明確作業(yè)教學(xué)的目標(biāo)和內(nèi)容，在設(shè)計(jì)數(shù)學(xué)作業(yè)時(shí)，對于基礎(chǔ)目標(biāo)則是讓學(xué)生理解和進(jìn)行簡單的運(yùn)用即可，這類數(shù)學(xué)習(xí)題以基礎(chǔ)性數(shù)學(xué)訓(xùn)練為主；中層目標(biāo)則是讓大部分學(xué)生掌握、分析和運(yùn)用較為復(fù)雜的數(shù)學(xué)知識，對應(yīng)的作業(yè)內(nèi)容也應(yīng)該稍微難一點(diǎn)；而高層目標(biāo)則以學(xué)習(xí)能力強(qiáng)的學(xué)生學(xué)習(xí)為主，通過已掌握的知識引導(dǎo)A層次學(xué)生學(xué)習(xí)下一階段的數(shù)學(xué)知識點(diǎn)，滿足A層次學(xué)生對數(shù)學(xué)知識的求知欲和探索欲。

例如習(xí)題，求過點(diǎn)與圓相切的直線方程中。

C層次作業(yè)：求過點(diǎn)（）和圓相切的直線方程。

B層次作業(yè)：求過點(diǎn)（）的直線交圓于和兩點(diǎn)時(shí)，當(dāng)最小時(shí)，求直線方程以及此時(shí)的值。

A層次作業(yè)：求過點(diǎn)（）的直線交圓于和兩點(diǎn)時(shí)，是圓上不同于和的任意一點(diǎn)時(shí)，當(dāng)最小時(shí)，求直線方程以及此時(shí)的值。

在《直線與圓的位置關(guān)系》一課的作業(yè)分層設(shè)計(jì)時(shí)，基于基礎(chǔ)目標(biāo)、中層目標(biāo)、高層目標(biāo)的層次中，基礎(chǔ)目標(biāo)是為了讓學(xué)生認(rèn)識到直線和圓之間的關(guān)系為相交、相切以及相離，通過課堂教學(xué)，幾乎所有的學(xué)生都能快速掌握。而中層目標(biāo)則是設(shè)計(jì)上述例題時(shí)，讓學(xué)生通過計(jì)算，求得對應(yīng)的直線方程式以及的值。高層目標(biāo)則是在原有的作業(yè)基礎(chǔ)上，增加“A層次作業(yè)”提高題目的難度，這類習(xí)題一般可以安排給A層次學(xué)生在閑暇之余進(jìn)行思考和求解，對于B層次和C層次的學(xué)生，主要以解答出“B層次作業(yè)”和“C層次作業(yè)”為主。

（三）借助分層理念對作業(yè)完成情況，進(jìn)行監(jiān)督和管理

對數(shù)學(xué)作業(yè)進(jìn)行分層設(shè)計(jì)的主要目的是檢驗(yàn)學(xué)生對數(shù)學(xué)知識的掌握情況，通過這樣的方式，能夠及時(shí)發(fā)現(xiàn)學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中存在的問題[5]。但是在作業(yè)分層設(shè)計(jì)時(shí)，需要數(shù)學(xué)教師重視對每一名學(xué)生作業(yè)完成情況的評價(jià)，避免只對優(yōu)秀學(xué)生或者學(xué)習(xí)較差的學(xué)生進(jìn)行評價(jià)，只有給予所有學(xué)生適當(dāng)?shù)脑u價(jià)，才能使學(xué)生在數(shù)學(xué)知識的學(xué)習(xí)中了解自身存在的問題。

例如，某艘輪船在返回港口的過程中，接到氣象臺的臺風(fēng)報(bào)警信息，已知臺風(fēng)位于輪船的正東方70km處，而這次臺風(fēng)的影響范圍為30km，而港口位于臺風(fēng)的正北方向40km處，當(dāng)該輪船在不改變航線的情況下，是否會(huì)受到臺風(fēng)的影響？

在對這樣的數(shù)學(xué)習(xí)題解題時(shí)，由于不同層次的學(xué)生對題目的理解和分析能力不同，所以解題速度、方法也有著一定的差異性。對于A層次學(xué)生，由于這類學(xué)生的學(xué)習(xí)能力強(qiáng)，自身的頭腦思路靈活，在看到這樣的題目，腦海中很容易根據(jù)所需的知識實(shí)現(xiàn)對該題的解答。但是對于B層次的學(xué)生，則需要使用筆和紙進(jìn)行計(jì)算。對于C層次的學(xué)生，這類學(xué)生除過需要筆和紙計(jì)算外，還需要畫出類似的圖像，C層次學(xué)生只有借助直觀的圖形方式，才能更好地對數(shù)學(xué)問題進(jìn)行解答。為此，當(dāng)數(shù)學(xué)教師借助分層理念對不同層次學(xué)生的作業(yè)進(jìn)行督查時(shí)，應(yīng)該根據(jù)不同層次學(xué)生的實(shí)際情況給予評價(jià)，尤其是對C層次的學(xué)生，不能因?yàn)閿?shù)學(xué)題目太簡單，而C層次學(xué)生解答速度和方法而批評學(xué)生，反而應(yīng)該給予C層次學(xué)生更多的鼓勵(lì)。比如，使用筆和紙畫圖的方式，雖然比較耗費(fèi)時(shí)間，但這樣的計(jì)算出錯(cuò)率低，而且用圖形的方式可以更加直觀地判斷出問題所在，以及如何求解答案。鼓勵(lì)學(xué)生，能夠避免學(xué)生出現(xiàn)自卑感，隨后再給予學(xué)生更好的解題方案，以幫助學(xué)生克服數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)困難，以此提高學(xué)生的數(shù)學(xué)成績。不同層次學(xué)生能完成其所處認(rèn)知層次作業(yè)目標(biāo)，既達(dá)到了激起其學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的熱情，又提升其學(xué)科素養(yǎng)的目的。

結(jié)束語

高中階段的數(shù)學(xué)知識學(xué)習(xí)具有難度大、重點(diǎn)、難點(diǎn)知識繁雜的特點(diǎn)，再加上其他學(xué)科的學(xué)習(xí)任務(wù)也比較重，因此很容易導(dǎo)致學(xué)生的學(xué)習(xí)壓力過大，在這種情況下，必然會(huì)使學(xué)生產(chǎn)生一定的厭學(xué)情緒。為此，高中數(shù)學(xué)教師需要順應(yīng)教育改革的要求，并將教育減負(fù)和教學(xué)實(shí)情結(jié)合在一起，并根據(jù)學(xué)生對數(shù)學(xué)知識的學(xué)習(xí)情況，設(shè)計(jì)出難易程度不同的作業(yè)量，以此提高高中數(shù)學(xué)教育教學(xué)質(zhì)量。

參考文獻(xiàn)

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本文系福州市教育科學(xué)研究“十四五”規(guī)劃2022年度課題“‘雙減背景下的學(xué)科作業(yè)精準(zhǔn)分層設(shè)計(jì)與管理的實(shí)踐與研究”（立項(xiàng)編號：FZ2022ZX055）。