NL-Fuzzy拓撲空間的連通性

高佳欣，王小霞，李喬喬

（延安大學 數(shù)學與計算機科學學院，陜西 延安 716000）

連通性是一般拓撲學中的重要概念，許多學者將它推廣到了LF-拓撲空間中并得到了一些有價值的結(jié)論。1996 年RATNA 等在文獻［1］中，根據(jù)分子網(wǎng)的收斂，定義了IX上的N-開集，由N-開集定義了N-Fuzzy 拓撲空間。2022 年王延軍在文獻［2］中將N-開集的概念推廣到LF-拓撲空間，并利用其定義了NL-Fuzzy 拓撲空間，討論了NL-Fuzzy 拓撲空間和LF-拓撲空間之間的關(guān)系。文獻［3-14］對不同的拓撲空間的不同連通性進行深入研究，得出關(guān)于連通性的一些重要性質(zhì)。

本文利用N-開集的定義在NL-Fuzzy 拓撲空間上給出N-閉包、N-內(nèi)部、N-隔離等概念，借助N-隔離給出N-連通性的定義以及其若干等價刻畫，且討論了它的一些基本性質(zhì)，證明了N-連通性具有可和性和拓撲不變性，通過反例證明了N-連通性不是L-好的推廣。從而進一步豐富和完善了NL-Fuzzy拓撲空間理論體系。

1 預備知識

在本文中，L為Fuzzy 格，X表示非空集，LX表示X上的全體LF集，M?(LX)表示LX中所有分子所成的集合。1X和0X分別表示L中的最大元和最小元。其他未說明的符號、概念見參考文獻［3］。

定義1.1［1］設(shè)(LX，δ)是LF-拓撲空間，S是LX中的分子網(wǎng)，xα∈M*(LX)，若對于每個P∈Nη(xα)，S最終不在P中，我們稱S為N收斂于xα。

定義1.2［2］設(shè)(LX，δ)是LF-拓撲空間，A∈LX，如果A中每個α分子網(wǎng)S都N收斂于高度為α的某個點，則稱A為N-開集。若A為N-開集，則A′為N-閉集。

定義1.3［2］LX中的所有N開集構(gòu)成的拓撲稱為NL-Fuzzy 拓 撲，記 為Nδ，稱(LX，Nδ)為NL-Fuzzy拓撲空間，簡記為NL-fts。

定義1.4［3］設(shè)(X，δ)是分明拓撲空間，(LX，Nδ)是由(X，δ)拓撲生成的NL-fts，E是X的子集，則E∈δ當且僅當χE∈Nδ。χE表示X的子集E的特征函數(shù)。

2 連通性及其等價刻畫

定義2.1設(shè)(LX，Nδ)為NL-fts，A∈LX，包含A的一切N-閉集的交稱為A的N-閉包，記作

定義2.2設(shè)(LX，Nδ)為NL-fts，A∈LX，包含于A的一切N開集的并稱為A的N-內(nèi)部，記作AN。。

定義2.3設(shè)(LX，Nδ)為NL-fts，A、B是NL-fts中的兩個子集，如果AN-∧B=A∧BN-=0，則稱子集A、B是N-隔離的。

定義2.4設(shè)(LX，Nδ)為NL-fts，A∈LX，如果不存在異于零的N-隔離集B和C，使A=B∨C，則稱A為N-連通集。當最大LF集1X為N-連通集時，稱(LX，Nδ)為N-連通空間。

定理2.1設(shè)(LX，Nδ)是一個NL-fts，則以下條件等價：

1）(LX，Nδ)不是N-連通空間；

2）存在兩個非零N-閉集A、B使A∨B=1X，A∧B=0X成立；

3）存在兩個非零N-開集A、B使A∨B=1X，A∧B=0X成立。

證明1) ?2) 設(shè)(LX，Nδ)不是N-連通的，則存在非零的N-隔離集A、B使AN-∧B=A∧BN-=0X，且A∨B=1X。則有

所以可得A、B為N-閉集。

2) ?3) 設(shè)2）成立，那么有非零N-閉集C、D使C∨D=1X，C∧D=0X。這 時C′∨D′=1X，C′∧D′=0X，且C′、D′是非零N-開集。令A=C′，B=D′，有A∨B=1X，A∧B=0X，所以2) ?3)。

3) ?1) 設(shè)3)成立，則有非零N-開集D、E使得D∨E=1X，D∧E=0X，則D′∨E′=1X，D′∧E′=0X且D′、E′是非零N-閉集。顯然D′和E′是非零N-隔離的。即1)成立。

定 理2.2設(shè)(LX，Nδ) 是一個NL-fts，A是(LX，Nδ)中的N-連通集，若有A≤B≤AN-，則B是N-連通集。

證明設(shè)B=C∨D，CN-∧D=C∧DN-=0X，令C1=A∧C，D1=A∧D。由于A≤B，則

A=A∧B=A∧(C∨D)=(A∧C) ∨(A∧D)=C1∨D1，

因為A是N-連通的，所以C1=0X或D1=0X。

不妨設(shè)C1=0X，這時A=D1=A∧D，由此可得A≤D，即AN-≤DN-。所以C=C∧AN-≤C∧DN-=0X，從而C=0X。即證明了B是N-連通集。

推論2.1 設(shè)(LX，Nδ)是一個NL-fts，若A是(LX，Nδ)中的N-連通集，則AN-也是(LX，Nδ)中的N-連通集.

定 理2.3設(shè)(LX，Nδ) 是一個NL-fts，A是(LX，Nδ)中的N-連通集，若B、C是(LX，Nδ)中的N-隔離集，使得A≤B∨C，則有A≤B或A≤C。

證明由于B、C是N-隔離的，則A∧B和A∧C也是N-隔離的。

而(A∧B) ∨(A∧C)=A∧(B∨C)=A，又由于A是N-連通的，從而A∧B和A∧C中必有一個為0X。不妨設(shè)A∧B=0X，則A∧C=A，即A≤C；同理，設(shè)A∧C=0X，則A∧B=A，即A≤B。

因此可得At與是N-隔離的，與假設(shè)矛盾。所以對于任意的t∈T-{t0}，At≤C。由此可得，A≤C，從而B=B∧A≤B∧C=0X。這就證明了是N-連通集。

證明設(shè)f(A)不是(，Nδ2)中的N-連通集，則存在非零的N-開集B、C，使得

B∨C=1X，B∧C=0X。

由于f是N-連續(xù)序同態(tài)，所以有f-1(B)，f-1(C)均為(LX1，Nδ1)中非零的N-開集，且有

f-1(B) ∨f-1(C)=f-1(B∨C)=f-1(f(A)) ≥A，

f-1(B) ∧f-1(C)=f-1(B∧C)=f-1(0)=0X。

這與A是N-連通集相矛盾。故f(A) 是(，Nδ2)中的N-連通集。

推論2.3NL-fts的N-連通性是N-拓撲不變性。

定理2.6設(shè)(X，τ)是分明拓撲空間，(LX，Nδ)是由(X，τ)拓撲生成的NL-Fuzzy 拓撲空間，若(LX，Nδ)是N-連通的，則(X，τ)是N-連通的。

證明設(shè)(X，τ)不是N-連通空間，則(X，τ)中有非空開集E、F，使E∨F=X，E∧F=?。令A=χE，B=χF，由定義1.4可得A，B∈Nδ，且有

A∨B=χE∨χF=χE∨F=χE=1X，

A∧B=χE∧χF=χE∧F=χ?=0X。

而χE=0X?E=?，χF=0X?F=?。

又因為E、F是非空開集，所以χE≠0X，χF≠0X。故(LX，Nδ)不是N-連通的。

定理2.6反之不成立，下面將舉例說明。

例 設(shè)X為非空分明集，L是菱形格，即L={0，a，b，1}，這里0

3 結(jié)束語

本文將L-Fuzzy 拓撲空間中的連通性推廣到NL-Fuzzy 拓撲空間中，研究了NL-Fuzzy 拓撲空間中N-連通性的若干等價刻畫，并證明了N-連通性具有可和性和拓撲不變性，通過反例證明了N-連通性不是L-好的推廣。研究結(jié)果將會推進NL-Fuzzy 拓撲空間的相關(guān)研究。目前對NL-Fuzzy 拓撲空間中連續(xù)映射及完備映射已有深入研究，但關(guān)于NL-Fuzzy 拓撲空間的分離性、緊性等方面的內(nèi)容，有待進一步去探究。