線性正則正余弦變換卷積及其性質(zhì)

王小霞，馮 強(qiáng)

（延安大學(xué) 數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院，陜西 延安 716000）

卷積是一種積分變換，在信號處理、光學(xué)系統(tǒng)中有著重要作用。許多學(xué)者對此進(jìn)行了深入的研究，取得了一些研究成果。然而這一理論仍處于初步階段，許多重要的研究方法與應(yīng)用領(lǐng)域還有待進(jìn)一步探索。因此，研究與新穎變換相關(guān)的卷積及其應(yīng)用，始終是信號處理領(lǐng)域的首要任務(wù)。而線性正則正弦變換（linear canonical sine transform，LCST）［1］與線性正則余弦變換（linear canonical cosine transform，LCCT）［1］在信號處理、應(yīng)用數(shù)學(xué)等方面具有廣泛的應(yīng)用，利用卷積討論LCST 與LCCT 的相關(guān)應(yīng)用具有很大的研究價(jià)值。

線性正則變換（linear canonical transform，LCT）［2-4］是傅里葉變換（Fourier transform，F(xiàn)T）［5-6］、分?jǐn)?shù)階傅里葉變換（fractional Fourier transform，F(xiàn)RFT）［7］的廣義形式。由于LCT 具有3 個(gè)自由參數(shù)，相比較于FRFT 的1 個(gè)自由參數(shù)和FT 的0 個(gè)自由參數(shù)，LCT［8］在信號處理領(lǐng)域具有更強(qiáng)的靈活性和處理能力。

在線性正則變換的基礎(chǔ)上定義的線性正則正弦變換與線性正則余弦變換是傅里葉正弦變換（Fourier sine transform，F(xiàn)ST）［9］、傅里葉余弦變換（Fourier cosine transform，F(xiàn)CT）［9］的廣義形式。由于LCST 和LCCT 在濾波器設(shè)計(jì)、光學(xué)系統(tǒng)分析、時(shí)頻分析、加密、通信調(diào)制、雷達(dá)系統(tǒng)分析、解微分方程、局部邊緣檢測都有廣泛的應(yīng)用，因此研究線性正則正弦變換與線性正則余弦變換在實(shí)際應(yīng)用中具有重要意義。

近年來許多學(xué)者對線性正則正余弦變換域的相關(guān)問題進(jìn)行了研究。比如，THAO 等［10-11］研究了傅里葉正余弦加權(quán)廣義卷積，給出了它在求解積分方程組中的應(yīng)用；馮強(qiáng)等［12-16］研究了分?jǐn)?shù)階傅里葉正余弦變換卷積定理以及線性正則正余弦卷積定理，給出了其在設(shè)計(jì)乘性濾波器方面的潛在應(yīng)用。本文在現(xiàn)有研究的基礎(chǔ)上，對LCST 與LCCT 進(jìn)行了進(jìn)一步的研究，定義了兩類新的線性正則正余弦變換卷積運(yùn)算，并推導(dǎo)出相應(yīng)的卷積定理。

1 基本概念及引理

定義1［1］設(shè)函數(shù)f(t) ∈L1(R)，則f(t)的線性正則變換定義為

線性正則變換的逆變換（ILCT）［1］可以表示為以B=(d，-b，-c，a)為參數(shù)的線性正則變換，即有

當(dāng)A=[cosα，sinα，-sinα，cosα]時(shí)，上述LCT退化為FRFT［6］：

定義2［17］設(shè)函數(shù)f(t)的線性正則正弦變換和線性正則余弦變換分別表示為(f(t))(u) 與，則函數(shù)f(t)的線性正則正弦變換和線性正則余弦變換定義為

線性正則正弦變換的逆變換與線性正則余弦變換的逆變換分別表示為

當(dāng)A=(cosα，sinα，-sinα，cosα)時(shí)，上述LCST與LCCT就變成了FRST與FRCT［14-15］：

當(dāng)A=(0，1，-1，0)時(shí)，上述LCST 與LCCT 就退化為經(jīng)典的FST與FCT［11］：

引理1［18］設(shè)函數(shù)f(t)，g(t) ∈L1(R+)，滿足如下傅里葉余弦變換（FCT）卷積運(yùn)算：

則有如下卷積定理：

引理2［19］設(shè)函數(shù)f(t)，g(t) ∈L1(R+)，滿足如下傅里葉正余弦變換（FST-FCT）卷積運(yùn)算：

2 主要結(jié)果

定義3設(shè)f(t)，g(t) ∈L1(R+)，線性正則余弦變換的加權(quán)卷積運(yùn)算定義如下：

定義4設(shè)f(t)，g(t) ∈L1(R+)，線性正則正弦變換的卷積運(yùn)算定義如下：

當(dāng)A=(cosα，sinα，-sinα，cosα)時(shí)，定義1 和2退化為分?jǐn)?shù)階傅里葉余弦加權(quán)卷積運(yùn)算與分?jǐn)?shù)階傅里葉正弦卷積運(yùn)算［14］。當(dāng)A=(0，1，-1，0)時(shí)，定義1 和2 退化為經(jīng)典的傅里葉余弦加權(quán)卷積運(yùn)算與傅里葉正弦卷積運(yùn)算［20］。

基于定義1和定義2，有下述卷積定理。

定理1設(shè)權(quán)函數(shù)γ=cosu，與分別表示信號f(t)與g(t)的線性正則余弦變換，若信號f(t)，g(t) ∈L1(R+)，則線性正則余弦變換的卷積運(yùn)算滿足，且有如下卷積定理：

證明定理2的證明類似于定理1，同理可證。

當(dāng)A=(cosα，sinα，-sinα，cosα)時(shí)，定理1 和2退化為分?jǐn)?shù)階傅里葉余弦加權(quán)卷積定理與分?jǐn)?shù)階傅里葉正弦卷積定理［15］。當(dāng)A=(0，1，-1，0)時(shí)，上述定理1 和2 退化為傅里葉余弦加權(quán)卷積定理與傅里葉正弦卷積定理［20］。

定理3設(shè)f(t)，g(t) ∈L1(R+)，LCCT 的加權(quán)卷積運(yùn)算可以由FCT的卷積表示為

證明定理4的證明類似于定理3，同理可證。

3 結(jié)論

本文基于LCST 與LCCT 定義的基礎(chǔ)上，首先定義了線性正則余弦加權(quán)卷積運(yùn)算與線性正則正弦卷積運(yùn)算；其次研究了線性正則正余弦卷積運(yùn)算與FCT卷積運(yùn)算、FST-FCT卷積運(yùn)算之間的關(guān)系；最后推導(dǎo)出相應(yīng)的卷積定理。研究結(jié)果是經(jīng)典傅里葉正余弦卷積理論在線性正則域內(nèi)的進(jìn)一步拓展，豐富了線性正則變換域卷積理論。