小波型框架和小波型Riesz基的一些擾動(dòng)性質(zhì)

張 磊，張建平，申 鵬

（延安大學(xué) 數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院，陜西 延安 716000）

1952年，DUFFIN等［1］在研究非調(diào)和Fourier級(jí)數(shù)時(shí)引入了Hilbert 空間中框架的概念，然而并沒(méi)有引起很大的反響。1986 年，DAUBECHIES 等［2］研究發(fā)現(xiàn)利用框架可以將L2(R)中的函數(shù)展開(kāi)成類似標(biāo)準(zhǔn)正交基的級(jí)數(shù)，并且用框架研究函數(shù)時(shí)所需的條件要比用標(biāo)準(zhǔn)正交基寬松的多。因此，框架理論才開(kāi)始蓬勃發(fā)展起來(lái)。在框架理論研究中，框架擾動(dòng)是一個(gè)活躍的研究方向，它主要研究的是兩個(gè)序列，若其中一個(gè)是框架，當(dāng)另外一個(gè)序列與這個(gè)框架滿足何種“接近”時(shí)，該序列也構(gòu)成一個(gè)框架［3-7］。研究某一Hilbert 空間上具有特殊結(jié)構(gòu)形式的框架是框架研究中一種重要的研究類型［8-9］。

小波型框架就是一種具有特殊結(jié)構(gòu)形式的框架，其思想來(lái)源于小波理論。在小波理論中，一組基是由Hilbert空間H中的一個(gè)可數(shù)酉算子族和一個(gè)（或有限個(gè)）向量構(gòu)成的。如果U是H上的一個(gè)酉算子，Ψ是與之對(duì)應(yīng)的母小波，那么UΨ就是H的一組標(biāo)準(zhǔn)正交基，小波理論中研究的基就是這種形式。SHAMOOSHAK 在文獻(xiàn)［10］中首次給出了小波型框架的定義，解釋了其理論來(lái)源和構(gòu)造結(jié)構(gòu)并且探討了其幾個(gè)基本性質(zhì)。文獻(xiàn)［11］從小波型框架向量的角度出發(fā)，分兩個(gè)方面對(duì)小波型框架的擾動(dòng)進(jìn)行了探討，同時(shí)探討了小波型框架中相似、補(bǔ)集、強(qiáng)補(bǔ)集、不相交、強(qiáng)不相交等的關(guān)系，推廣了Hilbert 空間中關(guān)于具有特殊結(jié)構(gòu)形式框架的擾動(dòng)性質(zhì)研究的已有結(jié)果。

本文在已有的框架擾動(dòng)定理的基礎(chǔ)上，從預(yù)框架算子的角度去刻畫(huà)框架的擾動(dòng)，研究了Hilbert 空間中具有特殊結(jié)構(gòu)形式的小波型框架和小波型Riesz基的一些擾動(dòng)性質(zhì)，分別給出了小波型框架和小波型Riesz 基的2 系數(shù)以及3 系數(shù)擾動(dòng)的新結(jié)果。從而推廣了Hilbert 空間中關(guān)于框架擾動(dòng)性質(zhì)研究的已有結(jié)論。

1 基本概念及引理

本文中，J表示可數(shù)集或有限集，H表示可分的Hilbert 空間表示在H中的內(nèi)積，由內(nèi)積定義其上的范數(shù)為

定義1.1［12］設(shè)x={xj：j∈J}?H，如果存在常數(shù)A，B>0，使得對(duì)于任意的x∈H，有

則稱x={xj：j∈J}是H中的框架，這里A、B分別稱為框架x={xj：j∈J}的框架下界和上界。特別的，若A=B，則稱x={xj：j∈J}是H中的緊框架。

若式（1）只有右半不等式成立，則稱x={xj：j∈J}是H中的Bessel序列。

定義1.2［12］設(shè){xj：j∈J}是H中的點(diǎn)列，{ej：j∈J}是H中的規(guī)范正交基。若存在H中的線性有界可逆算子U，使得對(duì)于任意的j∈J，都有xj=Uej，則稱{xj：j∈J}是H中的Riesz基。

定義1.3［11］設(shè)U={fj：j∈J}是H中的有界算子列，h∈H，那么

1）如果Uh={fjh：j∈J}是H中的框架，且界為A、B，則稱({fj：j∈J}，h)是H中的小波型框架，且界為A、B。

2）如果{fj：j∈J}是一列可逆算子且Uh={fjh：j∈J}是H中的緊框架，則稱({fj：j∈J}，h)是H中的小波型緊框架。

3）如果{fj：j∈J}是一列可逆算子且Uh={fjh：j∈J}是H中的規(guī)范緊框架，則稱({fj：j∈J}，h)是H中的小波型規(guī)范緊框架。

4）如果{fj：j∈J}是一列可逆算子且Uh={fjh：j∈J}是H中的規(guī)范正交基（Riesz 基），則稱({fj：j∈J}，h)是H中的小波型規(guī)范正交基（Riesz基）。

引理1.1［13-14］設(shè)U：X→X是一個(gè)線性算子。若存在常數(shù)λ1，λ2∈ [0，1) 使得

則U是線性有界可逆算子，且對(duì)任意的x∈X有

框架算子有以下引理1.2所描述的性質(zhì)。

引理1.2［15］設(shè){xj：j∈J}是H中界為A、B的框架，算子是框架{xj：j∈J}的框架算子，那么

1）S是線性有界正定算子；

2）{S-1x：j∈J}是H中的框架，界為A-1、B-1，且它的框架算子是S-1；

3）對(duì)任意的x∈H，

且級(jí)數(shù)無(wú)條件收斂。

在文獻(xiàn)［12］第七章第一節(jié)中給出了一個(gè)框架是Riesz基的等價(jià)條件。

引理1.3令{xj：j∈J}是H的一個(gè)框架。則以下條件等價(jià)：

1）{xj：j∈J}是H的一個(gè)Riesz基；

2 主要結(jié)果

定理2.1設(shè)f=({fj：j∈J}，h)是H中界為A、B的小波型框架，g={gjh：j∈J}是H中 的Bessel序列，Tf、Tg分別為f、g的預(yù)框架算子。若存在常數(shù)λ，μ≥0，使 得，并且對(duì)于任意的，有

證明由f=({fj：j∈J}，h)是H中界為A、B的小波型框架，Tf是其預(yù)框架算子，得

下面證明g={gjh：j∈J}的框架下界。由于f=({fj：j∈J}，h)是H中界為A、B的小波型框架，那么其框架算子有界可逆，而=是f=({fj：j∈J}，h)的對(duì)偶框架，并且其框架上界為考慮映射：

那么對(duì)于任意的x∈H，有

又因?yàn)門(mén)f為其預(yù)框架算子，所以

再根據(jù)式（9），有

推論2.2 的證明過(guò)程可直接利用三角不等式和框架界以及Bessel序列邊界的性質(zhì)進(jìn)行證明。

對(duì)比兩個(gè)推論，可以發(fā)現(xiàn)，在推論2.2 中取λ=-1，便得到推論2.1。

定理2.2設(shè)f=({fj：j∈J}，h)是H中界為A、B的小波型框架，g={gjh：j∈J}是H中的Bessel 序列，Tf、Tg分別為f、g的預(yù)框架算子。若存在常數(shù)λ1，λ2，μ≥0，使得，并且對(duì)于任意的，有

小波型Riesz 基與小波型框架的擾動(dòng)有著類似的擾動(dòng)性質(zhì)：

定理2.3設(shè)f=({fj：j∈J}，h)是H中界為A、B的小波型Riesz基，g={gjh：j∈J}是H中的Bessel序列，Tf、Tg分別為f、g的預(yù)框架算子。若存在常數(shù)λ，μ≥0，使得λ+1，并且對(duì)于任意的

證明對(duì)于上界的證明，可直接參照定理2.1證明，主要對(duì)下界進(jìn)行證明。因?yàn)閒是H中的Riesz基，且界為A，B，則對(duì)于任意的{cj}j∈J∈l2(J)，有

證明對(duì)于上界的證明，可直接參照定理2.2證明，主要對(duì)下界進(jìn)行證明。因?yàn)閒是H中的Riesz基，且界為A、B，則對(duì)于任意的，有