帶記憶項的Boussinesq方程的拉回吸引子

王思博，姜金平，王 雪，李夢嬌

（延安大學 數(shù)學與計算機科學學院，陜西 延安 716000）

考慮如下帶有記憶項的Boussinesq方程：

其中，u=u(x，t)，系數(shù)α是流體的深度，Ω是RN(N≥3)中?Ω的有界域，v是?Ω的外法向量，μ是記憶項，

許多的領(lǐng)域已經(jīng)開始使用上述系統(tǒng)，并且取得了很多的研究成果。BOUSSINESQ［1］首次提出了Boussinesq 方程的概念；BONA 等［2］證明了Boussinesq方程（2）的初值問題是局部的，

文獻［3-5］研究了基本的Boussinesq 方程，得到方程（1）的整體漸近解；文獻［6］研究了方程

Cauchy 問題解的適定性，而關(guān)于方程（3）指數(shù)吸引子及其他的研究較少；文獻［7］研究了帶記憶項的Boussinesq 方程的指數(shù)吸引子。但是目前仍未見研究帶記憶項的Boussinesq 方程的拉回吸引子。本文對帶記憶項的Boussinesq 方程的拉回吸引子的存在性進行論證，研究結(jié)果推廣和完善了無窮維動力系統(tǒng)的相關(guān)理論。

1 預備知識

本文用(?，?)和‖? ‖分別表示L2中的內(nèi)積以及它們的范數(shù)，然后定義H=V0=L2(Ω)，V=V1=H2(Ω) ∩(Ω)，那么相對應的一些內(nèi)積以及它們對應的范數(shù)就分別為(u，v)V=(Δu，Δv)，‖u‖V=‖ Δu‖，定 義D(A)={u∈H4(Ω)：u|?Ω=Δu|?Ω=0}，Au=Δ2u的內(nèi)積和范數(shù)分別用(Au，Av)和‖Au‖2=(Au，Au)表示。定義一個希爾伯特空間：

1）?q∈Q，θ0(q)=q；

2）?q∈Q，t，τ∈R，θt+τ(q)=θt(θτ(q))；

3）(t，q) →θt(q)連續(xù)。

如果映射?：R+×Q×X→X滿足

1）?(q，x) ∈Q×X，?(0，q，x)=x；

2）?s，t∈R+，(q，x) ∈Q×X，

?(t+s，q，x)=?(s，θt(q)，?(t，q，x))。

則稱映射?：R+×Q×X→X是由θ誘導出的共圈。

定理1［10］設(θ，?)為Q×X上的非自治動力系統(tǒng)，假設集合族D={Dq}q∈Q為?的拉回吸收集。且?是拉回D-漸近緊的，則?有拉回吸引子A=且

定義1［10］（收縮函數(shù)）設X是Banach 空間，B為X中的有界集，?(?，?)是定義在X×X上的函數(shù)，如果對任意的數(shù)列B，那么存在子列，使得

則稱?(?，?)為B×B上的收縮函數(shù)，C是定義于B×B上收縮函數(shù)的集合。

則?在X上是拉回D-漸近緊的。

假設非線性項g(u)是Lipschitz 連續(xù)的，且它滿足以下條件：

假設記憶函數(shù)μ(?)滿足如下條件：

(H4)μ∈C′(R) ∩L′(R+)，

μ′(s) ≤0 ≤μ(s)，?s∈R+；

(H6)μ(s)+k1μ(s) ≤0，k1>0。

方程（1）的外力項f(x，t)，由(H1)可知，存在兩個正常數(shù)k1、k2及ε=ε(λ1) >0，使

將問題（1）轉(zhuǎn)化為非自治動力系統(tǒng)，為此引入記憶變量，即

取α=1+μ0，將問題（1）轉(zhuǎn)化為

那么方程（12）的邊界條件為

方程（12）的初值條件為

2 拉回吸引子

2.1 解的存在唯一性

記H=V×H，y0=(u0，u1，η0)，y=y(t)=(u(t)，ut(t)，ηt(s))。對于解的存在性，由文獻［11］中Faedo-Galerkin方法可以得出，即：

定理3假設y0，則問題（10）～（12）有唯一的解y∈C(Rτ，H)，且y→y0在H中是連續(xù)的。

定義H中的能量泛函為

由問題（10）～（12）解的適定性可知

且每一個τ∈R，t≥τ，式（17）給出的?(t，τ，?)：H→H是連續(xù)的，那么式（17）給出的?在H上是共圈映射。下面假設f∈(R；H)滿足

其中，δ是一個正常數(shù)。令Rδ是所有函數(shù)r：R →(0，+∞)的集合，滿足

2.2 拉回吸收集的存在性

定理4［12-13］設(H1) ～(H6)成立，那么就會存在一個正的常數(shù)為半徑的球B0=中，方程（1）在L2(Ω)上是有界的吸收集，即對H中任意有界集B，均存在t0=t0(B)，使得t0≥t0(B)時，有s(t)B?B0，由此，該共圈的拉回吸收集是存在的。

證明用v=ut+εu和式（14）在H中做內(nèi)積，可得

結(jié)合(H1) ～(H6)，用H?lder 以及Poincaré 等不等式，有

根據(jù)式（15）、（16）、（28）、（29），再利用Sobolev定理可得

因此，在H中存在拉回吸收集。

2.3 拉回吸引子的存在性

定理5［14］假設條件(H1) ～(H6) 成立，f∈(R；H)且滿足式（18），則由問題（10）～（12）生成的非自治系統(tǒng)(θ，?)在H中存在拉回Dδ，H吸引子。

對式（38）在[s，t]上積分，同時關(guān)于s在[t-τ，t]上積分，可得

用eαtω與方程組（37）的第一個方程在H中做內(nèi)積，可得

對式（40）在[s，t]上積分，同時關(guān)于s在[t-τ，t]上積分有

對式（40）在[t-τ，t]上積分，并且將積分后的式子代入式（42）可得

1）在空間L∞(t-τ0，t；V)中，vn→v弱*收斂；

2）在空間L∞(t-τ0，t；A)中，vnt→vt弱*收斂；

3）在空間L2(t-τ0，t；H)中，vn→v強收斂；

4）在空間L2(Ω)，Lr(Ω)中，vn(t-τ0) →v(t-τ0)，且vn(t) →v(t)強收斂，其中r≤2(p+1)。

接下來處理式（45）的每一項，由假設條件1）、3）、4）可知

在空間L2(t-τ0，t；L2)中，由f(vn) →f(v)弱*收斂，利用以上假設條件及文獻［15］，則有