Fermat 型函數(shù)方程的亞純解

段江梅，韓 艷，胡曉飛，楊惠娟

（昭通學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，云南昭通 657000）

1 引言及主要結(jié)果

本研究采用Nevanlinna 值分布理論的基本結(jié)果及其標(biāo)準(zhǔn)記號(hào)〔1-2〕，文中f（z），g（z），h（z），w（z）都是指亞純函數(shù)，f（s）（z）表示f（z）的s 階導(dǎo)數(shù)（s 為正整數(shù)），f（z）的級(jí)，其中T（r，f）為f（z）的Nevanlinna 特征函數(shù)。

主要研究下述問題：是否存在復(fù)平面中的非常數(shù)亞純函數(shù)f（z），g（z），h（z），w（z）滿足函數(shù)方程

其中n 為大于等于2 的正整數(shù)。

關(guān)于函數(shù)方程（1）在整函數(shù)環(huán)，或是亞純函數(shù)域上非常數(shù)解的狀況，已有如下結(jié)果：

Hayman〔3〕和Gundersen 等〔4〕證明了：

定理A 當(dāng)n≥16 時(shí)，函數(shù)方程（1）不存在非常數(shù)亞純函數(shù)解。

定理B 當(dāng)n≥13 時(shí)，函數(shù)方程（1）不存在非常數(shù)整函數(shù)解。

當(dāng)n=8 時(shí)，Gundersen 在文獻(xiàn)〔5〕中給出了滿足函數(shù)方程（1）的超越亞純函數(shù)解。

1979 年，Newman 和Slater 在文獻(xiàn)〔6〕中第486 頁的等式表明：當(dāng)n≤7 時(shí)，函數(shù)方程（1）存在超越整函數(shù)解。

關(guān)于函數(shù)方程（1）整函數(shù)解和亞純函數(shù)解的存在性問題，還有下述問題沒有解決：

問題1 當(dāng)9≤n≤15 時(shí)，函數(shù)方程（1）是否存在非常數(shù)的亞純函數(shù)解？

問題2 當(dāng)8≤n≤12 時(shí)，函數(shù)方程（1）是否存在非常數(shù)的整函數(shù)解？

本研究主要對(duì)問題1 進(jìn)行探究，得到如下結(jié)論：

定理1 函數(shù)方程

不存在級(jí)小于1 的非常數(shù)亞純解。

定理2 函數(shù)方程

不存在級(jí)小于1 的非常數(shù)亞純解。

2 幾個(gè)引理

引理1 設(shè)fj（z）（j=1，2，…，k）為區(qū)域D 內(nèi)k 個(gè)亞純函數(shù)。若f1，…，fk線性無關(guān)，則f1，…，fk的Wronskian行列式〔7〕

引理2 設(shè)f（z）為復(fù)平面上的亞純函數(shù)，k 為正整數(shù)，則f（z）與f（k）（z）有相同的增長(zhǎng)級(jí)〔2〕。

引理3 若fj（z）（j=1，2，…，m）為非常數(shù)亞純函數(shù)〔8-12〕，且

特別地，若非常數(shù)亞純函數(shù)f（z）的級(jí)ρf＜1，則有

3 定理的證明

3.1 定理1 的證明假設(shè)方程（2）存在級(jí)小于1 的非常數(shù)亞純解f（z），f '（z），h（z），w（z），則f（z），f '（z），h（z），w（z）一定線性無關(guān)，從而W（f（z），f'（z），h（z），w（z））?0。

記g（z）=f'（z），由（2）式可得方程組

令

其中L（1μ）＝14μμ'2+μ2μ"，L（2μ）＝182μ'3+42μμ'μ"+μ2μ'"，μ 為非常數(shù)亞純函數(shù)，則W（f1（5z），g1（5z），h1（5z），w1（5z））=3375f12g12h12w12?0，從而

另一方面，由克萊姆法則得

其中A-m，C-n，D-p均為不等于0 的某個(gè)常數(shù)，O（1）為解析部分，每次出現(xiàn)不一定相同，則g（z）=f'（z）=

于是由（6）式得

下面分情況進(jìn)行討論：

（i）若m+1=n=p≥2，則9（m+1）-3（n+p）-3=3（m+1）-3＞0，所以在z0處解析。

（ii）若m+1=n＞p≥1，則9（m+1）-3（n+p）-3=3［2（m+1）-（p+1）］＞0，故在z0處解析。

（iii）若m+1=n＞p＝0，此時(shí)m+1＝n≥2，則9（m+1）-3（n+p）-3=6（m+1）-3＞0，因此在z0處解析。

綜上可知，斷言成立。

由（5）～（8）式可得

又由引理2 和方程（2）知

故由引理3 得

3.2 定理2 的證明類比定理1 的證明過程易知定理2 成立。

以下對(duì)重點(diǎn)步驟作簡(jiǎn)要分析：將定理1 中的g（z）替換為f（s）（z），一方面容易推得?0。另一方面，可以證明為整函數(shù)并且≡0。

由于12（m+s）-3（m+n+p）-6＝3（m+s-n）+3（m+s-p）+3m+（6s-6）＞0，因此在z0處解析。

又由引理2 和方程（3）知ρf＝ρf（s）＝ρh＝ρh'=ρw＝ρw'＜1，故由引理3 得