非對稱韋達(dá)結(jié)構(gòu)問題的處理策略
——以2023年全國新高考II卷第21題為例

劉旭飛

浙江省溫州中學(xué) (325014)

一、真題呈現(xiàn)

本題考查了雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程,直線與雙曲線的位置關(guān)系,意在考查學(xué)生數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想和運(yùn)算求解能力,對考生的邏輯思維能力、分析問題和解決問題的能力有較高的要求,試題解法多樣,內(nèi)涵豐富,突出選拔功能,是一道非常好的高考壓軸題.

圖1

二、多角度處理

評注：式子中對稱的用韋達(dá)代入,不對稱的部分求根公式代入,其本質(zhì)是整體消元,對學(xué)生的運(yùn)算能力有較高的要求.

評注：利用3(y1+y2)=2ty1y2將二次式y(tǒng)1y2化為一次式y(tǒng)1+y2,實現(xiàn)了次數(shù)的統(tǒng)一,大大降低了運(yùn)算量.

評注：構(gòu)造對偶式巧妙避開了非對稱韋達(dá)結(jié)構(gòu),化非對稱為對稱,其難點是對偶式的構(gòu)造,對于本題需發(fā)現(xiàn)M,N互換位置結(jié)論的不變性,也就是擺脫點M在第二象限的束縛.

評注：利用定比點差法求得M,N的坐標(biāo),進(jìn)而得到MA1,NA2斜率之間的關(guān)系,有效的避開了非對稱形式,不失為一種巧方法.

評注：利用曲線的參數(shù)處理此類問題有效避開了非對稱結(jié)構(gòu),但參數(shù)方程對三角恒等變換的要求很高,尤其是和差化積等公式的靈活運(yùn)用更是解決問題的關(guān)鍵.

評注：利用曲線系的方程求解有效的避開了非對稱結(jié)構(gòu),但需熟練掌握曲線系的相關(guān)知識,對學(xué)生的知識儲備有較高的要求.

解析幾何中的非對稱問題是學(xué)生學(xué)習(xí)的難點,也是教學(xué)的難點,本文所歸納的9種方法是處理此類問題常見的方法,感興趣的讀者,可嘗試用以上方法求解近年的高考題.