穩(wěn)中求變 變中出新 新中見能 甄別素養(yǎng)
——2023年高考數(shù)學(xué)全國乙卷評(píng)析

陳靖逸 王 勇

湖北省襄陽市第一中學(xué) (441000)

2023年高考數(shù)學(xué)全國乙卷試題注重基礎(chǔ),強(qiáng)化學(xué)科素養(yǎng),考查關(guān)鍵能力,突出對(duì)創(chuàng)新應(yīng)用能力的考查.試題關(guān)注社會(huì)發(fā)展,引導(dǎo)考生運(yùn)用所學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)解決生活實(shí)際問題,富有時(shí)代氣息,體現(xiàn)了“穩(wěn)中求變、變中出新、新中見能”的命題理念.試題以數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能、基本思想方法為支撐點(diǎn)和立足點(diǎn),注重對(duì)數(shù)學(xué)通性通法的考查.文、理科試卷針對(duì)考生群體的不同數(shù)學(xué)水平,精心設(shè)計(jì),合理布局,準(zhǔn)確區(qū)分考生.試題加強(qiáng)教考銜接,服務(wù)“雙減”政策落實(shí),助力基礎(chǔ)教育提質(zhì)增效.試題有利于科學(xué)選擇人才,有利于深化課程改革,有利于促進(jìn)社會(huì)公平,對(duì)培養(yǎng)考生的創(chuàng)新精神、實(shí)踐能力,提升考生核心素養(yǎng)有積極的導(dǎo)向作用.

一、對(duì)選擇題的評(píng)析

考查目標(biāo)理科文科第1題考查復(fù)數(shù)的運(yùn)算、共軛復(fù)數(shù)的概念考查復(fù)數(shù)的運(yùn)算、復(fù)數(shù)的模第2題考查集合的交、并、補(bǔ)運(yùn)算考查集合的并、補(bǔ)運(yùn)算第3題考查三視圖及幾何體表面積的求解同理3第4題考查函數(shù)的奇偶性考查正弦定理及三角恒等變換第5題考查幾何概型及扇形的面積公式同理4第6題考查三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)、誘導(dǎo)公式、求三角函數(shù)值考查平面向量的數(shù)量積第7題考查分步乘法計(jì)數(shù)原理與排列組合同理5第8題考查圓錐的體積考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性及函數(shù)零點(diǎn)問題第9題考查二面角的理解及活用、線面角的計(jì)算、解三角形考查古典概型概率的的求解方法第10題考查等差數(shù)列的通項(xiàng)公式、三角函數(shù)的周期性、三角恒等變換及集合中元素的互異性同理6第11題考查直線與雙曲線的位置關(guān)系、中點(diǎn)弦問題及點(diǎn)差法考查直線與圓的位置關(guān)系第12題考查平面向量的數(shù)量積、三角恒等變換及三角函數(shù)求最值同理11

其中理科第10題、理科第11題(文科第12題)、理科第12題頗有研討價(jià)值,下面分別解析,供研讀.

②當(dāng)cosa1=cosa3≠cosa2時(shí),有cosa1=

點(diǎn)評(píng)：本題將數(shù)列、三角函數(shù)、集合等知識(shí)結(jié)合起來,設(shè)問簡潔,角度新穎,考查知識(shí)全面,著重考查考生的理性思維和數(shù)學(xué)探索等學(xué)科素養(yǎng),考查分類討論思想,要求考生靈活應(yīng)用所學(xué)知識(shí)解決綜合性問題,有較強(qiáng)的選拔作用.

A.(1,1) B.(-1,2) C.(1,3) D.(-1,-4)

點(diǎn)評(píng)：本題將中點(diǎn)弦問題和直線與雙曲線的位置關(guān)系有機(jī)整合,設(shè)問角度新穎,重點(diǎn)考查數(shù)形結(jié)合思想和邏輯推理能力,考生需將問題轉(zhuǎn)化為判斷直線AB與雙曲線是否有兩個(gè)交點(diǎn),逐一驗(yàn)證選項(xiàng)是否正確,考查考生靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決綜合問題的能力,在注重考查基礎(chǔ)知識(shí)的同時(shí),對(duì)考生的思維能力要求較高,具有較好的選拔功能.

圖1

點(diǎn)評(píng)：本題解法多樣,靈活性強(qiáng),綜合性強(qiáng),考查直觀想象、理性思維等素養(yǎng),試題重基礎(chǔ)、重能力,在考查平面幾何和三角知識(shí)的同時(shí),有效考查了數(shù)形結(jié)合思想和轉(zhuǎn)化與化歸思想,為考生提供了多層次的思考空間.

二、對(duì)填空題的評(píng)析

考查目標(biāo)理科文科第13題考查拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程及簡單幾何性質(zhì)同理13第14題考查利用線性規(guī)劃求目標(biāo)函數(shù)的最值考查同角三角函數(shù)的基本關(guān)系第15題考查等比數(shù)列基本量的求解同理14第16題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、不等式恒成立問題考查棱錐的外接球

其中理科第16題、文科第16題值得認(rèn)真研究和品味.

點(diǎn)評(píng)：本題考查參數(shù)的取值范圍問題,試題看似復(fù)雜,但基本原理簡單,考查了函數(shù)遞增的充要條件,充分說明了高考更注重對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)、基本思想的考查,緊扣課程標(biāo)準(zhǔn).

例5 (文16)已知點(diǎn)S,A,B,C均在半徑為2的球面上,ΔABC是邊長為3的等邊三角形,SA⊥平面ABC,則SA=________．

圖2

點(diǎn)評(píng)：棱錐的外接球問題是高中數(shù)學(xué)的重點(diǎn)內(nèi)容,難點(diǎn)在于找到外接球球心的位置,本題主要考查考生的空間想象能力和運(yùn)算求解能力,試題簡潔明了,注重考查基礎(chǔ)知識(shí),屬于常規(guī)題,增強(qiáng)了考生自信心,促進(jìn)考生正常發(fā)揮,同時(shí)也反映出高考數(shù)學(xué)更加注重對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)的考查,而不是一味變花樣地增加難度.

三、對(duì)解答題的評(píng)析

1.統(tǒng)計(jì)題——中規(guī)中矩送大禮

本題考查樣本平均數(shù)、方差,利用樣本數(shù)據(jù)特征估計(jì)總體,體現(xiàn)了數(shù)據(jù)分析、數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)運(yùn)算等核心素養(yǎng).本題與考生平時(shí)的訓(xùn)練題極為相似,絕大多數(shù)考生當(dāng)笑納“大禮”.

2.三角題——平平淡淡考功底

理科三角題考查利用正弦定理、余弦定理解三角形,三角形的面積公式,考查數(shù)形結(jié)合思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想,體現(xiàn)了數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理等核心素養(yǎng).數(shù)學(xué)功底扎實(shí)的考生對(duì)于本題所用的破解“招法”諳熟于心,順利求解當(dāng)不成問題.

3.數(shù)列題——常見題型穩(wěn)情緒

文科數(shù)列題考查等差數(shù)列的通項(xiàng)公式、分段數(shù)列求和,考查轉(zhuǎn)化與化歸思想、分類討論思想,體現(xiàn)了數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理等核心素養(yǎng).本題題型常規(guī),跟考生平時(shí)的訓(xùn)練題類似,彰顯了命題者對(duì)考生的人文關(guān)懷,有利于激發(fā)考生的解題興趣,穩(wěn)定考生的情緒.

4.立體幾何題——想說愛你不容易

理科題考查直線與平面平行的判定、平面與平面垂直的判定、二面角的正弦值的求解;文科題是理科題的姊妹題,考查直線與平面平行的判定、三棱錐的體積.這兩題考查轉(zhuǎn)化與化歸思想,體現(xiàn)了直觀想象、邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算等核心素養(yǎng).本題貌似簡單,其實(shí)暗藏玄機(jī),考生求解起來并不順利,從考試結(jié)果看,該題得分率偏低.

5.解析幾何題——精打細(xì)算求真理

本題考查直線與橢圓的位置關(guān)系、橢圓中的定點(diǎn)問題等,考查數(shù)形結(jié)合思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想,體現(xiàn)了邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算等核心素養(yǎng).第(1)問由點(diǎn)A在C上得出b2的值,結(jié)合離心率和a2=b2+c2求出a2的值,進(jìn)而得出C的方程;第(2)問由題意知直線PQ的斜率存在且不為0,設(shè)出直線PQ的方程和P(x1,y1),Q(x2,y2),與橢圓方程聯(lián)立,由根與系數(shù)的關(guān)系得出x1+x2和x1x2,寫出直線AP的方程求出點(diǎn)M的縱坐標(biāo)yM,同理易得點(diǎn)N的縱坐標(biāo)yN,通過計(jì)算得出yM+yN=6,進(jìn)而得出MN的中點(diǎn)為定點(diǎn)(0,3).本題第(2)問運(yùn)算量較大,有一定的難度,具有較好的區(qū)分和選拔功能.

(2)如圖3,由題意知,直線PQ的斜率存在且不為0,設(shè)lPQ:y-3=k(x+2),P(x1,y1),Q(x2,y2),由

圖3

點(diǎn)評(píng)：本題與2022年全國乙卷解析幾何題相似,都考查圓錐曲線的定點(diǎn)問題,但難度較2022年有所降低,主要考查理性思維、數(shù)學(xué)探索學(xué)科素養(yǎng),考查直觀想象和數(shù)學(xué)運(yùn)算能力,通過本題也能看出2023年高考數(shù)學(xué)在出題風(fēng)格和設(shè)問方式上與2022年類似,要想得高分,應(yīng)注重基礎(chǔ)知識(shí)和基本思想、基本方法,多研究近幾年的高考題,而不是一味地刷題,追求難度,從而真正實(shí)現(xiàn)“雙減”又高效備考的目的.

6.函數(shù)與導(dǎo)數(shù)題——分段得分巧智取

理科第21題函數(shù)與導(dǎo)數(shù)題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義、函數(shù)圖象的對(duì)稱性、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值.第(1)問考查曲線在某點(diǎn)處的切線;第(2)問由曲線的對(duì)稱性求參數(shù)的值;第(3)問由函數(shù)存在極值求參數(shù)的取值范圍.

文科第21題函數(shù)與導(dǎo)數(shù)題是理科第21題的姊妹題,考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性.第(1)問同理科第(1)問;第(2)問由函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)的取值范圍,難度明顯降低,切合文科考生的數(shù)學(xué)實(shí)際.

①當(dāng)a≤0時(shí),2a-1<0,當(dāng)x>0時(shí),h′(x)<0,所以h(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞減,所以當(dāng)x>0時(shí),h(x)

點(diǎn)評(píng)：本題以含參數(shù)的復(fù)雜函數(shù)為載體,通過對(duì)切線方程、函數(shù)圖象的對(duì)稱性及函數(shù)極值點(diǎn)的考查,滲透著數(shù)學(xué)中大膽猜測(cè),小心驗(yàn)證的基本思維方式.重點(diǎn)考查分類討論思想,突出對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)科基本概念、基本原理的考查,強(qiáng)調(diào)知識(shí)之間的內(nèi)在聯(lián)系,注重本原性方法,淡化特殊技巧,強(qiáng)調(diào)對(duì)通性通法的深入理解和綜合運(yùn)用,促進(jìn)學(xué)生將知識(shí)和方法內(nèi)化為自身的能力.

7.二選一選考題——中規(guī)中矩合情理

選考題第22題考查極坐標(biāo)方程與直角坐標(biāo)方程的互化、參數(shù)方程與普通方程的互化、直線與圓的位置關(guān)系.選考題第23題考查絕對(duì)值不等式的解法、不等式組確定的平面區(qū)域的面積.這兩選考題意在考查考生的運(yùn)算求解能力、邏輯推理能力及函數(shù)與方程思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想、數(shù)形結(jié)合思想等,難易適中,題型常規(guī),與考生平時(shí)的訓(xùn)練題類似,考生志在必得.

總之,2023年高考數(shù)學(xué)全國乙卷試題閃光著理性思維的光芒,以問題情境設(shè)置為載體,考查核心價(jià)值和能力素養(yǎng).試題聚焦學(xué)科主干知識(shí),突出學(xué)科關(guān)鍵能力,關(guān)注社會(huì)生活和實(shí)踐應(yīng)用,很好地體現(xiàn)了“一核四層四翼”的考查要求,很好地把握了穩(wěn)定、改革與創(chuàng)新之間的關(guān)系,彰顯了立德樹人價(jià)值引領(lǐng)與核心素養(yǎng)育人導(dǎo)向.