是“錯題”,還是“正解”?——
——離散型分布列取值概率可以為0嗎?

王楷文

安徽省合肥市第六中學(xué) (230001)

一、問題發(fā)現(xiàn)

在學(xué)習(xí)了離散型分布列時,教輔資料中有這樣一道題:

設(shè)p為非負(fù)實數(shù),隨機(jī)變量X的分布列為

X012P12-pp12

則E(X)的最大值為________,D(x)的最大值為________.

根據(jù)古典概型的定義,知當(dāng)p=0時,離散型隨機(jī)變量X=1對應(yīng)的試驗結(jié)果沒有發(fā)生,即當(dāng)p=0時這個試驗的結(jié)果只有兩個結(jié)果X=0與X=2,而沒有X=1這個結(jié)果,此時分布列表中的X=1就多余了,是這個題目有錯誤,還是我們對于教材內(nèi)容的理解不到位呢?筆者所在學(xué)校使用的是北師大版教材,2019年12月第1版(2022年7月第5次印刷)的選擇性必修第一冊第198頁關(guān)于離散型分布列的性質(zhì)寫道:(1)pi>0,i=1,2,…,n,…;(2)p1+p2+…+pn+…=1.由此看出,北師大版教材關(guān)于離散型隨機(jī)變量取值的概率不能為0,基于此認(rèn)識,知此題是錯題.

但人教A版選擇性必修第三冊(2020年3月第1版)第58頁關(guān)于分布列的性質(zhì)介紹如下:(1)pi≥0,i=1,2,…,n;(2)p1+p2+…+pn=1.顯然教材給出的隨機(jī)變量取值的概率是pi≥0,i=1,2,…,n,而不是pi>0,i=1,2,…,n,…,這種情況說明是的確存在隨機(jī)變量取值可以為零的情況,還是“pi≥0,i=1,2,…,n”中等號是多余的呢?基于人教版教材中對于離散型隨機(jī)變量的定義,如果離散型隨機(jī)變量的某一個取值對應(yīng)的事件是存在的,且其概率為零,那么上述解答就是正確的.

面對如此現(xiàn)象,作為教師該如何處理呢?

二、問題解決

由于一個試驗的每一個試驗結(jié)果稱為樣本點,而試驗結(jié)果究竟是什么,與試驗所要求是什么結(jié)果有關(guān),如拋擲一枚質(zhì)地均勻的骰子,如果按照正面向上個數(shù)是什么,則試驗的結(jié)果就有6個,即樣本點有6個;如果按照骰子向上的點數(shù)是奇數(shù)還是偶數(shù),則試驗的結(jié)果就有2個:向上的點數(shù)是奇數(shù)與向上的點數(shù)為偶數(shù),即樣本點有2個,由此可知,將一個試驗的所有基本事件按照一定的標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行分類整合也可產(chǎn)生新的樣本點,由于每一個樣本點ω都能用唯一的實數(shù)X(ω)與之對應(yīng),則稱X為隨機(jī)變量,例如,拋擲一枚質(zhì)地均勻的骰子,隨機(jī)變量可以是X=1,2,3,4,5,6,也可以是Y=0,1(其中0代表向上的點數(shù)為偶數(shù),1代表向上的點數(shù)為奇數(shù)),基于此認(rèn)識,請看例子:在(1,5)中取一個數(shù),可將試驗結(jié)果分為三類(1,3),3,(3,5),不妨記作隨機(jī)變量X=1,2,3(其中1表示區(qū)間(1,3),2表示點3處,3表示區(qū)間(3,5)處),則由幾何概型知,P(X=3)=0,但X=3對應(yīng)的事件是有可能發(fā)生的,即概率等于0的事件不代表不可能發(fā)生.

正是因為我們可以將幾何概型試驗的結(jié)果按照一定的標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行分類整合若干部分作為隨機(jī)變量,而每一部分的試驗結(jié)果均可以用一個數(shù)字表示,這樣獲得的離散型隨機(jī)變量的取值概率有可能為零,且這個變量取值對應(yīng)的試驗結(jié)果也是有可能發(fā)生的,基于此認(rèn)識,我們有理由認(rèn)為上述問題的解答是正確的.

三、問題思考

在教學(xué)中,遇到一些困惑問題是正常的,但面對困惑時,我們教師是客觀冷靜地弄清楚問題的真相,還是一棍子打死,武斷地認(rèn)為此題是錯題,這兩種截然不同的態(tài)度,反映了我們教師兩種對待教學(xué)的態(tài)度,是認(rèn)真地作潛心研究,還是不加深思認(rèn)為是錯題?古人云:“師者,傳道授業(yè)解惑也”,這句話教師都能耳熟能詳,但遇到困惑時,往往回避的多,深入研究的少,從而會造成教學(xué)的“冤假錯案”,如,本題是沒有錯誤的,如果教師告訴學(xué)生是錯誤的,那么就造成混淆是非,之所以會出現(xiàn)此種現(xiàn)象,是因為教師有些經(jīng)驗是不成熟導(dǎo)致的,事實上,受思維定勢的影響,故步自封,我們不少自認(rèn)為成熟的經(jīng)驗卻是片面的、不成熟的,對此,不少教師蒙在鼓里,卻自己不知道,如根據(jù)北師大教材介紹的離散型隨機(jī)變量的性質(zhì)pi>0,i=1,2,…,n,…,輕易判斷此題是此題,就是有力的例證.

俗話說:“身教勝于言教”、“榜樣的力量是無窮的”,所以在教學(xué)中教師要做到為人師表,以給學(xué)生樹立榜樣,真正做到立德樹人.況且,在倡導(dǎo)學(xué)生深度學(xué)習(xí)的今天,培養(yǎng)學(xué)生學(xué)會思考的習(xí)慣,是當(dāng)下教師教育教學(xué)的職責(zé),為此教師更應(yīng)該做到深度學(xué)習(xí),試想:如果一個教師在教學(xué)中遇到疑難問題需要深入研究時,卻回避了之,那么怎能引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行深入思考呢?學(xué)生的核心素養(yǎng)如何發(fā)展呢?實際上,只有讓學(xué)生參與問題研究的情境過程中,才能真正發(fā)展學(xué)生的素養(yǎng),對此,應(yīng)引起我們教師深思!

總之,在教學(xué)中遇到一時難以化解的問題,教師摒棄“那種沒有經(jīng)過一番深度思考,而僅憑經(jīng)驗感覺行事,主觀臆斷是非曲直”的做法,而應(yīng)該以積極的心態(tài)應(yīng)對,通過查資料、與同行研討、深思細(xì)悟、傾聽學(xué)生想法等多方論證,將問題的來龍去脈弄清楚,給學(xué)生一個明白的解釋,若是題目錯,要講出錯的原因,若是解答正確,則解答正確的依據(jù)是什么,只有這樣,我們的教學(xué)才能談得上有深度、有品位、有素養(yǎng)的教學(xué).