小學(xué)數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)型題組作業(yè)設(shè)計(jì)的路徑探析

作者簡(jiǎn)介：夏忠，福建省福州高新區(qū)第二中心小學(xué)特級(jí)教師，正高級(jí)教師。

課題項(xiàng)目：本文系福建省教育科學(xué)“十四五”規(guī)劃2022年度課題“基于新課標(biāo)視角單元素養(yǎng)作業(yè)設(shè)計(jì)實(shí)踐研究”階段性研究成果。課題批準(zhǔn)號(hào)：FJJKZX22-578。

摘要：結(jié)構(gòu)型題組作業(yè)具有整體性、聯(lián)系性、對(duì)比性等特性，根據(jù)側(cè)重點(diǎn)的不同，可分為過(guò)程結(jié)構(gòu)型、方法結(jié)構(gòu)型、層次結(jié)構(gòu)型、問(wèn)題結(jié)構(gòu)型、反思結(jié)構(gòu)型等。教師要從整體的角度把握數(shù)學(xué)知識(shí)之間的聯(lián)系和區(qū)別，彰顯作業(yè)的結(jié)構(gòu)價(jià)值，提升作業(yè)的效益。

關(guān)鍵詞：結(jié)構(gòu)型題組作業(yè)；價(jià)值；路徑

結(jié)構(gòu)型題組作業(yè)，指的是以過(guò)程、問(wèn)題、方法、層次、反思等為結(jié)構(gòu)線索，將互有聯(lián)系的數(shù)學(xué)知識(shí)串聯(lián)起來(lái)而組成的作業(yè)。依據(jù)結(jié)構(gòu)的不同，題組作業(yè)分為過(guò)程結(jié)構(gòu)型、方法結(jié)構(gòu)型、層次結(jié)構(gòu)型、問(wèn)題結(jié)構(gòu)型和反思結(jié)構(gòu)型等。過(guò)程結(jié)構(gòu)型題組作業(yè)指的是以過(guò)程為結(jié)構(gòu)，引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)知識(shí)、方法、思想的感悟過(guò)程，有助于培養(yǎng)推理意識(shí)。方法結(jié)構(gòu)型題組作業(yè)指的是以方法為結(jié)構(gòu)，引導(dǎo)學(xué)生對(duì)多種解法背后蘊(yùn)含的方法進(jìn)行分析，有助于培養(yǎng)數(shù)學(xué)閱讀、思考、表達(dá)、反思的能力，拓展思維路徑。層次結(jié)構(gòu)型題組作業(yè)指的是以層次為結(jié)構(gòu)，尊重學(xué)生的差異，因材施教，使得各類(lèi)學(xué)生都有所收獲。問(wèn)題結(jié)構(gòu)型題組作業(yè)指的是以問(wèn)題為結(jié)構(gòu)，引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)條件提出同結(jié)構(gòu)的問(wèn)題，歸納結(jié)論，培養(yǎng)學(xué)生的問(wèn)題意識(shí)。反思結(jié)構(gòu)型題組作業(yè)指的是以反思為結(jié)構(gòu)，引導(dǎo)學(xué)生反思解法的錯(cuò)因及啟發(fā)，培養(yǎng)學(xué)生的反思意識(shí)。以下僅以過(guò)程結(jié)構(gòu)型、層次結(jié)構(gòu)型、反思結(jié)構(gòu)型三種結(jié)構(gòu)型題組為例，探索設(shè)計(jì)結(jié)構(gòu)型題組作業(yè)的路徑。

一、以過(guò)程為結(jié)構(gòu)，設(shè)計(jì)過(guò)程結(jié)構(gòu)型題組作業(yè)

過(guò)程結(jié)構(gòu)型題組作業(yè)，側(cè)重點(diǎn)在于過(guò)程的結(jié)構(gòu)化，主要有探究新知過(guò)程結(jié)構(gòu)化作業(yè)和解決問(wèn)題過(guò)程結(jié)構(gòu)化作業(yè)。

（一）探究新知過(guò)程結(jié)構(gòu)化作業(yè)

探究新知過(guò)程結(jié)構(gòu)化作業(yè)，即引導(dǎo)學(xué)生探究數(shù)學(xué)知識(shí)，通常以“是什么、為什么、怎么樣”的作業(yè)形式呈現(xiàn)，形成一個(gè)有結(jié)構(gòu)的作業(yè)鏈。探究新知過(guò)程結(jié)構(gòu)化作業(yè)有利于學(xué)生經(jīng)歷知識(shí)、方法、思想的形成過(guò)程，培養(yǎng)學(xué)生的推理意識(shí)，引導(dǎo)學(xué)生感悟數(shù)學(xué)思想的價(jià)值。

例如，在教學(xué)圓柱側(cè)面積的推導(dǎo)過(guò)程時(shí)，學(xué)生通過(guò)之前的學(xué)習(xí)已經(jīng)理解了圓柱的側(cè)面積與底面周長(zhǎng)和高有關(guān)，此時(shí)教師可以設(shè)計(jì)探究新知過(guò)程結(jié)構(gòu)化作業(yè)。

（1）為什么要把圓柱的側(cè)面轉(zhuǎn)化為平面圖形？

（2）如何轉(zhuǎn)化？

（3）觀察轉(zhuǎn)化后的圖形與圓柱側(cè)面，它們之間有什么關(guān)系？

（4）你發(fā)現(xiàn)了什么？

以問(wèn)題形式呈現(xiàn)的作業(yè)，可以引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷圓柱側(cè)面積的推導(dǎo)過(guò)程，指向?qū)W生對(duì)轉(zhuǎn)化思想的感悟過(guò)程。一是為什么要轉(zhuǎn)化，引導(dǎo)學(xué)生思考“圓柱的側(cè)面是一個(gè)曲面，曲面的面積不好求，轉(zhuǎn)化為已經(jīng)學(xué)過(guò)的平面圖形的面積來(lái)求”，把新知轉(zhuǎn)化為舊知，彰顯轉(zhuǎn)化的重要性。二是指向如何轉(zhuǎn)化，凸顯轉(zhuǎn)化的策略。有的學(xué)生沿側(cè)面的高剪開(kāi)，把圓柱的側(cè)面轉(zhuǎn)化為長(zhǎng)方形或正方形；有的學(xué)生沿側(cè)面的斜邊剪開(kāi)，把圓柱的側(cè)面轉(zhuǎn)化為平行四邊形；有的學(xué)生沿側(cè)面的折線剪開(kāi)，把圓柱的側(cè)面轉(zhuǎn)化為一個(gè)不規(guī)則的圖形，通過(guò)剪、平移拼成一個(gè)長(zhǎng)方形。在實(shí)際操作分析中，學(xué)生把圓柱的側(cè)面轉(zhuǎn)化為已經(jīng)學(xué)過(guò)的平面圖形，體驗(yàn)了由曲面變平面的多種轉(zhuǎn)化方式，積累轉(zhuǎn)化操作經(jīng)驗(yàn)。三是指向觀察轉(zhuǎn)化后的圖形與圓柱側(cè)面的關(guān)系，目的是引導(dǎo)學(xué)生感受前后兩個(gè)圖形的變與不變。經(jīng)歷操作的學(xué)生不難發(fā)現(xiàn)，圖形的面積不變，只是形狀、名稱變了。如果圓柱的側(cè)面轉(zhuǎn)化為長(zhǎng)方形，圓柱的底面周長(zhǎng)就變?yōu)殚L(zhǎng)方形的長(zhǎng)，高變?yōu)殚L(zhǎng)方形的寬；如果圓柱的側(cè)面轉(zhuǎn)化為正方形，圓柱的底面周長(zhǎng)和高就都變?yōu)檎叫蔚倪呴L(zhǎng)；如果圓柱的側(cè)面轉(zhuǎn)化為平行四邊形，圓柱的底面周長(zhǎng)就變?yōu)槠叫兴倪呅蔚牡?，高變?yōu)槠叫兴倪呅蔚母?。四是指向操作后圓柱側(cè)面積計(jì)算方法的發(fā)現(xiàn)。學(xué)生經(jīng)歷了“為什么要轉(zhuǎn)化”“怎樣轉(zhuǎn)化”“轉(zhuǎn)化前后兩個(gè)圖形有什么關(guān)系”的三個(gè)過(guò)程，發(fā)現(xiàn)轉(zhuǎn)化為已學(xué)的平面圖形都可以推導(dǎo)出圓柱側(cè)面積的計(jì)算公式。以轉(zhuǎn)化為長(zhǎng)方形為例，學(xué)生可以把圓柱的側(cè)面沿高剪開(kāi)，得到一個(gè)長(zhǎng)方形，長(zhǎng)方形的長(zhǎng)等于圓柱的底面周長(zhǎng)，寬等于圓柱的高，因?yàn)殚L(zhǎng)方形的面積等于長(zhǎng) × 寬，所以圓柱的側(cè)面積等于底面周長(zhǎng) × 高。

（二）解決問(wèn)題過(guò)程結(jié)構(gòu)化作業(yè)

解決問(wèn)題過(guò)程結(jié)構(gòu)化作業(yè)，即以解決問(wèn)題的步驟——閱讀與理解、分析與解答、回顧與反思為結(jié)構(gòu)而設(shè)計(jì)的一組作業(yè)。解決問(wèn)題過(guò)程結(jié)構(gòu)化作業(yè)側(cè)重于引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷解決問(wèn)題的每一個(gè)步驟，評(píng)價(jià)學(xué)生理解題意、表征題意、分析數(shù)量關(guān)系、檢驗(yàn)的能力。

例如，在教學(xué)分?jǐn)?shù)實(shí)際問(wèn)題時(shí)，教師可以“一款玩具原價(jià)是45.5元，現(xiàn)在降價(jià)[15]?，F(xiàn)價(jià)是多少元？”設(shè)計(jì)體現(xiàn)解決問(wèn)題步驟的題組作業(yè)。

（1）現(xiàn)在降價(jià)了[15]，是降價(jià)了（ ）的[15]，把（ ）看作單位“1”，求現(xiàn)價(jià)是多少元，就是求（ ）元的（ ）是多少；

（2）畫(huà)圖表示題中的條件和問(wèn)題；

（3）根據(jù)示意圖列式解答；

（4）用不同的方法驗(yàn)證你的解答是否正確。

這種作業(yè)以解決問(wèn)題步驟為結(jié)構(gòu)，一是以填空的形式評(píng)價(jià)學(xué)生對(duì)分?jǐn)?shù)實(shí)際問(wèn)題含有分率條件的理解；二是通過(guò)畫(huà)圖評(píng)價(jià)學(xué)生表征條件和問(wèn)題的能力；三是評(píng)價(jià)學(xué)生分析示意圖的能力，不同的分析列出不同的算式；四是評(píng)價(jià)學(xué)生的檢驗(yàn)?zāi)芰?，培養(yǎng)學(xué)生多角度思考問(wèn)題的能力。這種作業(yè)打破了單一列式解答的局限性，彰顯了審題和檢驗(yàn)的重要性，凸顯了解決問(wèn)題的育人價(jià)值——做好一件事，每一個(gè)環(huán)節(jié)都不容忽視，審題是基礎(chǔ)、分析是關(guān)鍵、檢驗(yàn)是保障，審題、分析和檢驗(yàn)是三位一體的。

二、以層次為結(jié)構(gòu)，設(shè)計(jì)層次結(jié)構(gòu)型題組作業(yè)

層次結(jié)構(gòu)型題組作業(yè)側(cè)重于層次，主要有遞進(jìn)型題組作業(yè)和并列型題組作業(yè)。

（一）遞進(jìn)型題組作業(yè)

遞進(jìn)型題組作業(yè)，即作業(yè)的設(shè)計(jì)遵循由易到難的原則，根據(jù)班級(jí)學(xué)生的實(shí)際而設(shè)計(jì)的有梯度的一組作業(yè)。遞進(jìn)型題組作業(yè)基于學(xué)生差異性的訴求，有利于學(xué)生選擇，使每一類(lèi)的學(xué)生均能得到不同的訓(xùn)練，得到不同程度的發(fā)展。

例如，在教學(xué)乘法分配律的應(yīng)用時(shí)，教師可以設(shè)計(jì)遞進(jìn)型題組作業(yè)。

（1）算式12 × 27 + 12 × 73表示（ ）個(gè)12加上（ ）個(gè)12，一共是（ ）個(gè)12，結(jié)果是（ ）；

（2）簡(jiǎn)算：（40 + 4） × 25，36 × 29 + 71 × 29；

（3）南南寫(xiě)了一個(gè)表示27個(gè)12加上72個(gè)12，再加上1個(gè)12的算式，這個(gè)算式是（ ）；

（4）在（ ）里填上合適的數(shù)，使算式能應(yīng)用乘法分配律簡(jiǎn)算，75 × 18-75 × （ ），56 × 32 + （ ） × （ ）；

（5）設(shè)計(jì)兩道用乘法分配律簡(jiǎn)算的計(jì)算題；

（6）簡(jiǎn)算：98 × 75 + 150，99 × 22 + 33 × 34。

這種作業(yè)遵循由易到難的層次結(jié)構(gòu)，（1）和（2）是基礎(chǔ)，關(guān)注潛能生；（3）、（4）和（5）是變式，面向中等生；（6）是拓展，針對(duì)學(xué)優(yōu)生。

（二）并列型題組作業(yè)

并列型題組作業(yè)，即以一個(gè)情境為背景，融合相關(guān)知識(shí)的題材而形成一組答案互不影響的作業(yè)，其中上一題的解題結(jié)果對(duì)下一題沒(méi)有影響。設(shè)計(jì)并列型題組作業(yè)是基于教育質(zhì)量監(jiān)測(cè)對(duì)解決問(wèn)題的要求。

例如，在學(xué)生學(xué)習(xí)了長(zhǎng)方形的面積后，教師可以設(shè)計(jì)這樣的題組作業(yè)。

“綠水青山就是金山銀山”，我們要像保護(hù)眼睛一樣保護(hù)生態(tài)環(huán)境。在沙漠植樹(shù)造林要選擇需水量較小的樹(shù)木?？蒲腥藛T開(kāi)始進(jìn)行防沙綠化先導(dǎo)實(shí)驗(yàn)，利用地下水造林，并篩選出胡楊、沙柳、沙棗等一批適應(yīng)沙漠環(huán)境的造林樹(shù)種。在西北某沙漠中有一個(gè)長(zhǎng)方形區(qū)域，長(zhǎng)500米，寬400米，共種植胡楊800棵。

（1）科研人員沿著長(zhǎng)方形的四周走一圈，一共要走多少米？

（2）這個(gè)長(zhǎng)方形區(qū)域的面積是多少平方米？

（3）如果要在這個(gè)長(zhǎng)方形的三面圍上籬笆，至少要圍多少米？小東列式500 + 500 + 400，小西列式500 + 400 + 400。誰(shuí)的列式是錯(cuò)誤的？請(qǐng)說(shuō)明理由。

教師以 “綠水青山就是金山銀山”為背景，以長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)和面積知識(shí)為載體，設(shè)計(jì)了三個(gè)并列層次的、互不干擾的問(wèn)題。每個(gè)問(wèn)題的評(píng)價(jià)角度不一，第（1）問(wèn)指向評(píng)價(jià)學(xué)生對(duì)長(zhǎng)方形周長(zhǎng)公式的理解應(yīng)用；第（2）問(wèn)指向評(píng)價(jià)學(xué)生對(duì)長(zhǎng)方形面積公式的應(yīng)用；第（3）問(wèn)指向評(píng)價(jià)學(xué)生具體問(wèn)題具體分析的反思能力。

三、以反思為結(jié)構(gòu)，設(shè)計(jì)反思結(jié)構(gòu)型題組作業(yè)

培養(yǎng)學(xué)生的反思意識(shí)是《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》提出的目標(biāo)，作業(yè)理應(yīng)承載這一任務(wù)。反思型題組作業(yè)，是以反思為結(jié)構(gòu)，即通過(guò)分析解法的錯(cuò)因、引發(fā)的啟迪、正確解答的一組作業(yè)。通過(guò)列舉可能的錯(cuò)因，教師引導(dǎo)學(xué)生剖析，旨在培養(yǎng)學(xué)生的審題意識(shí)，引導(dǎo)學(xué)生厘清條件的意思、問(wèn)題的指向；他山之石，可以攻玉，從錯(cuò)誤中吸取經(jīng)驗(yàn)教訓(xùn)，能夠培養(yǎng)學(xué)生的反思意識(shí)，提升思辨能力。

例如，在學(xué)生學(xué)習(xí)了圓柱的表面積和體積后，教師可以根據(jù)學(xué)生的常見(jiàn)錯(cuò)解來(lái)設(shè)計(jì)如下的反思結(jié)構(gòu)型題組作業(yè)。

修建一個(gè)圓柱形水池，底面直徑是10米，水池深15分米。在水池的內(nèi)壁與底部貼上瓷磚，貼瓷磚部分的面積是多少平方米？

小東列式：3.14 × 10 × 15 + 3.14 × （10÷2）2

小西列式：3.14 × （10 ÷ 2）2 × 1.5

小北列式：3.14 × 10 × 1.5 + 2 × 3.14 × （10 ÷ 2）2

（1）閱讀以上三種列式，他們分別錯(cuò)在哪里？

（2）給你的啟發(fā)是什么？

（3）請(qǐng)你列式解答。

作業(yè)以反思為結(jié)構(gòu)，第（1）問(wèn)反思錯(cuò)因，小東的列式錯(cuò)在單位換算；小西的列式錯(cuò)在對(duì)問(wèn)題的理解上，求成了體積；小北的列式錯(cuò)在多求了一個(gè)底面積。第（2）問(wèn)圍繞錯(cuò)因反思啟發(fā)，內(nèi)化經(jīng)驗(yàn)和教訓(xùn)。第（3）問(wèn)反思正確列式，提升思辨能力。

總之，結(jié)構(gòu)型題組作業(yè)除了上文所述的三種結(jié)構(gòu)外，還有以問(wèn)題為結(jié)構(gòu)、以方法為結(jié)構(gòu)，以內(nèi)容、數(shù)量關(guān)系、情境為結(jié)構(gòu)等設(shè)計(jì)的題組作業(yè)。教師在設(shè)計(jì)結(jié)構(gòu)型題組作業(yè)時(shí)要注意以結(jié)構(gòu)為線索，串聯(lián)起一組作業(yè)；在應(yīng)用結(jié)構(gòu)型題組作業(yè)時(shí)要注重結(jié)構(gòu)的關(guān)聯(lián)，發(fā)揮作業(yè)結(jié)構(gòu)的最大效益，彰顯結(jié)構(gòu)的魅力。

參考文獻(xiàn)：

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（責(zé)任編輯：楊強(qiáng)）