基于單元整體教學(xué)設(shè)計(jì)　促進(jìn)學(xué)生幾何思維培養(yǎng)

作者簡(jiǎn)介：欒長(zhǎng)偉，大連教育學(xué)院高級(jí)教師。

課題項(xiàng)目：本文系遼寧省教育科學(xué)“十四五”規(guī)劃課題“初中數(shù)學(xué)優(yōu)質(zhì)課堂教學(xué)背景下的作業(yè)設(shè)計(jì)研究”研究成果之一。課題編號(hào)：JG21CB202。

摘要：初中數(shù)學(xué)教材中幾何部分的內(nèi)容是學(xué)生學(xué)習(xí)的重點(diǎn)之一。在幾何命題的猜想與證明、解題思路的培養(yǎng)與訓(xùn)練中，教師都應(yīng)重視發(fā)展學(xué)生的幾何思維。在幾何教學(xué)中，教師要以“教—學(xué)—評(píng)”一致性為視角，從單元整體教學(xué)設(shè)計(jì)出發(fā)，探究教學(xué)過程的關(guān)注點(diǎn)及學(xué)生幾何思維的培養(yǎng)策略。

關(guān)鍵詞：“教—學(xué)—評(píng)”一致性；單元整體教學(xué)；幾何思維

初中數(shù)學(xué)教材中幾何部分的內(nèi)容是學(xué)生學(xué)習(xí)的重點(diǎn)之一。當(dāng)前，很多教師把幾何教學(xué)的重點(diǎn)單一地放在培養(yǎng)學(xué)生的解題能力上，過于注重幾何定義、性質(zhì)的應(yīng)用，忽略了其形成過程；過于注重演繹推理的培養(yǎng)，忽略了合情推理能力的培養(yǎng)；過于注重以教材課時(shí)為單位的幾何教學(xué)設(shè)計(jì)，忽略了以整體單元來架構(gòu)學(xué)生思維的教學(xué)設(shè)計(jì)。

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》（以下通稱“新課標(biāo)”）在主要變化中提出要注重實(shí)現(xiàn)“教—學(xué)—評(píng)”一致性，不但明確了 “為什么教”“教什么”“教到什么程度”，而且強(qiáng)化了“怎么教”的具體指導(dǎo)，要求做到好用、管用；在“教學(xué)建議”中提出要改變過于注重以課時(shí)為單位的教學(xué)設(shè)計(jì)，推進(jìn)單元整體教學(xué)設(shè)計(jì)，體現(xiàn)數(shù)學(xué)知識(shí)之間的內(nèi)在邏輯關(guān)系以及學(xué)習(xí)內(nèi)容與核心素養(yǎng)之間的關(guān)聯(lián)。為此，教師要基于“教—學(xué)—評(píng)” 一致性理念，尋找課堂上促進(jìn)學(xué)生幾何思維培養(yǎng)的著力點(diǎn)，思考提出單元整體教學(xué)設(shè)計(jì)的理由，探索單元整體教學(xué)設(shè)計(jì)下的教學(xué)內(nèi)容分析與目標(biāo)確定之法，夯實(shí)單元整體教學(xué)設(shè)計(jì)方案下的具體幾何教學(xué)環(huán)節(jié)。

一、提出單元整體教學(xué)設(shè)計(jì)的理由

在幾何部分需要進(jìn)行單元整體教學(xué)設(shè)計(jì)，其本質(zhì)上有兩個(gè)原因：一是基于數(shù)學(xué)學(xué)科的本質(zhì)特征，即數(shù)學(xué)是具有抽象結(jié)構(gòu)和邏輯結(jié)構(gòu)的，其中抽象結(jié)構(gòu)是指數(shù)學(xué)概念和方法的表達(dá)逐漸抽象，使得數(shù)學(xué)具有一般性；邏輯結(jié)構(gòu)是指數(shù)學(xué)表述的前后關(guān)系是有邏輯的，使得數(shù)學(xué)具有嚴(yán)謹(jǐn)性。學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的認(rèn)知，應(yīng)當(dāng)從簡(jiǎn)單到復(fù)雜，從表象到本質(zhì)。初中階段是學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)概念的起始階段，是學(xué)生學(xué)會(huì)論證的開端，是學(xué)生使用數(shù)形結(jié)合的萌芽。二是基于數(shù)學(xué)學(xué)科的教育特征，主要體現(xiàn)在新課標(biāo)中“課程性質(zhì)”所描述的內(nèi)容中：“數(shù)學(xué)不僅是運(yùn)算和推理的工具，還是表達(dá)和交流的語言。數(shù)學(xué)承載著思想和文化，是人類文明的重要組成部分?！敝砸龅?“教—學(xué)—評(píng)”一致性，是因?yàn)橐`行新課改的關(guān)鍵理念之一，即教師不僅應(yīng)關(guān)注結(jié)果性目標(biāo)，更應(yīng)關(guān)注過程性目標(biāo)，應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生在實(shí)驗(yàn)、操作過程中獲得經(jīng)驗(yàn)。從“雙基”到“四基”、從“四基”到“三會(huì)”，教師應(yīng)該統(tǒng)一的思想是“數(shù)學(xué)的眼光比抽象更上位，數(shù)學(xué)的思維比推理更上位，數(shù)學(xué)的語言比模型更上位”。

二、單元整體教學(xué)設(shè)計(jì)下的教學(xué)內(nèi)容分析與目標(biāo)確定之法

（一）構(gòu)建教學(xué)內(nèi)容之間的框架體系

教學(xué)內(nèi)容分析是理解教學(xué)內(nèi)容、實(shí)施課堂教學(xué)的必要手段，是教師專業(yè)化水平的體現(xiàn)。一節(jié)課的教學(xué)內(nèi)容不應(yīng)該是孤立、碎片化的，而應(yīng)該是整個(gè)教學(xué)體系的一部分，教師的任務(wù)是重新構(gòu)建這個(gè)教學(xué)內(nèi)容的框架體系。

以人教版數(shù)學(xué)教材七年級(jí)下冊(cè)“平行線的性質(zhì)”為例，平行線的性質(zhì)是研究角的相等或互補(bǔ)關(guān)系的重要理論依據(jù)，是研究幾何圖形位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系的重要知識(shí)基礎(chǔ)。學(xué)生利用平行線的性質(zhì)可以有效地建立起角之間的關(guān)系，這不僅為三角形內(nèi)角和定理的證明提供“轉(zhuǎn)移角，湊平角”的轉(zhuǎn)化方法，也為后續(xù)的三角形、四邊形等幾何核心圖形以及平移等知識(shí)的學(xué)習(xí)提供了建立角之間數(shù)量關(guān)系的理論支撐。

圖形的性質(zhì)與判定是幾何研究的核心內(nèi)容，其中圖形的性質(zhì)研究的是圖形組成元素之間的相互關(guān)系。平行線的性質(zhì)的學(xué)習(xí)是學(xué)生系統(tǒng)研究圖形的性質(zhì)的過程，將為其后續(xù)學(xué)習(xí)圖形的性質(zhì)提供基本研究思路。教材從平行線的判定引入，引導(dǎo)學(xué)生對(duì)平行線的性質(zhì)展開研究，一方面，滲透圖形的判定與性質(zhì)之間的互逆關(guān)系，凸顯幾何知識(shí)研究的連續(xù)性；另一方面，使學(xué)生經(jīng)歷利用判定（性質(zhì)）研究性質(zhì)（判定）的過程，積累幾何圖形研究的基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，體會(huì)研究幾何圖形的一般方法。

本章先研究了兩條直線相交的情形，探究了兩條直線相交所成角的位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系，給出了鄰補(bǔ)角和對(duì)頂角的概念，得到了相交線“鄰補(bǔ)角互補(bǔ)”“對(duì)頂角相等”的性質(zhì)。接下來，從一般到特殊地研究了相交線的特例——垂直，再將條件和結(jié)論反過來，得到垂線的性質(zhì)。本章的重點(diǎn)是垂線的概念與平行線的判定和性質(zhì)，學(xué)生研學(xué)的關(guān)鍵是理解與相交線、平行線有關(guān)的角的關(guān)系。從幾何圖形研學(xué)的視角分析，本章前面從一般到特殊地研究相交線，為后面從一般到特殊地研究?jī)蓷l直線被第三條直線所截的情況提供了必要的研學(xué)經(jīng)驗(yàn)。學(xué)生研究?jī)蓷l平行線被第三條直線所截時(shí)，得出的同位角、內(nèi)錯(cuò)角和同旁內(nèi)角的關(guān)系，也就是平行線的性質(zhì)。從一般到特殊地研學(xué)幾何圖形，同樣也能為學(xué)生后續(xù)學(xué)習(xí)積累必要的基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，讓學(xué)生體會(huì)研究幾何圖形的一般方法。

對(duì)于平行線性質(zhì)的研究，教材充分尊重學(xué)生的思維發(fā)展水平，從整體視角優(yōu)化內(nèi)容設(shè)計(jì)，引導(dǎo)學(xué)生采用類比平行線的判定思路展開研學(xué)。例如，教材中同位角的性質(zhì)1是通過探究活動(dòng)引導(dǎo)學(xué)生歸納推理得出的，其證明設(shè)置在九年級(jí)上冊(cè)第二十四章“圓”中作為選學(xué)內(nèi)容，并要求用反證法進(jìn)行證明；內(nèi)錯(cuò)角和同旁內(nèi)角的性質(zhì)2及性質(zhì)3是引導(dǎo)學(xué)生通過演繹推理得出的，這里的演繹推理過程呈現(xiàn)出傳遞性特點(diǎn)。本章內(nèi)容中需要重點(diǎn)培養(yǎng)的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)是推理能力，教材通過上述設(shè)計(jì)使學(xué)生經(jīng)歷類比研學(xué)的過程，有效地培養(yǎng)了其推理能力，發(fā)展了其數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。

基于以上分析，教師可確定本節(jié)課的教學(xué)重點(diǎn)是：探索證明平行線的性質(zhì)的過程。

（二）厘清課程目標(biāo)、單元目標(biāo)、課時(shí)目標(biāo)之間的關(guān)系

從《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》到新課標(biāo)，從“知識(shí)與技能、過程與方法、情感態(tài)度與價(jià)值觀”到“四基”“四能”，再到“三會(huì)”，課程標(biāo)準(zhǔn)中課程目標(biāo)的設(shè)置逐步趨向于高階化。課程目標(biāo)是讓學(xué)生通過初中階段三年的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)而到達(dá)的那個(gè)“目的地”，它指出了學(xué)生達(dá)成目標(biāo)時(shí)的數(shù)學(xué)水平、思維能力、行為習(xí)慣等特征，但是并沒有具體指明特定的學(xué)習(xí)方式和方法。事實(shí)上，課程目標(biāo)具體化到特定教學(xué)內(nèi)容時(shí)，就是教學(xué)目標(biāo)。

新課標(biāo)中的“內(nèi)容要求”是單元教學(xué)目標(biāo)，課堂教學(xué)目標(biāo)是在“三維目標(biāo)”指導(dǎo)下的單元教學(xué)目標(biāo)具體化。課堂教學(xué)目標(biāo)應(yīng)該是“具體內(nèi)容為載體，在過程中落實(shí)數(shù)學(xué)思想和方法，培養(yǎng)思維能力和情感態(tài)度價(jià)值觀”，更明確地說就是“沒有具體內(nèi)容為支撐的課堂教學(xué)目標(biāo)是無效目標(biāo)”。

（三）根據(jù)結(jié)果性行為動(dòng)詞和過程性行為動(dòng)詞設(shè)計(jì)教學(xué)

新課標(biāo)中的行為動(dòng)詞有兩類，一類是描述結(jié)果目標(biāo)的行為動(dòng)詞，包括“了解”“理解”“掌握”“運(yùn)用”等；另一類是描述過程目標(biāo)的行為動(dòng)詞，包括“經(jīng)歷”“體驗(yàn)”“感悟”“探索”等。這些目標(biāo)是形成核心素養(yǎng)的基礎(chǔ)和條件，最終指向?qū)W生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的形成和發(fā)展。教師深刻理解這些行為動(dòng)詞，不但可以對(duì)教材設(shè)計(jì)意圖有新的認(rèn)識(shí)，而且可以根據(jù)這些行為動(dòng)詞來設(shè)計(jì)課堂教學(xué)。

例如，新課標(biāo)關(guān)于“三角形”的教學(xué)目標(biāo)要求如下：“理解三角形及其內(nèi)角、外角、中線、高線、角平分線等概念，了解三角形的穩(wěn)定性?！逼渲校袄斫狻睘榻Y(jié)果性行為動(dòng)詞，等價(jià)于“認(rèn)識(shí)、會(huì)”，即“描述對(duì)象的由來、內(nèi)涵和特征，闡述此對(duì)象與相關(guān)對(duì)象之間的區(qū)別和聯(lián)系”。

幾何圖形是從實(shí)際生活當(dāng)中抽象出來的，這是“對(duì)象的由來”。研究一個(gè)幾何圖形，就要研究它的組成元素和相關(guān)元素，三角形是由邊和角組成的，邊和角就是三角形的組成元素。研究它們的數(shù)量和位置，這是“對(duì)象的內(nèi)涵和特征”；“三線”是三角形的相關(guān)元素，內(nèi)角與外角之間有關(guān)聯(lián)，“三線”之間有關(guān)聯(lián)，同時(shí)，邊和內(nèi)角的數(shù)量關(guān)系影響了“三線”的位置關(guān)系，這是“闡述此對(duì)象與相關(guān)對(duì)象之間的區(qū)別和聯(lián)系”。

新課標(biāo)中“了解”為結(jié)果性行為動(dòng)詞，等同于“知道、初步認(rèn)識(shí)”，即“從具體實(shí)例中知道或者舉例說明對(duì)象的有關(guān)特征；根據(jù)對(duì)象的特征，從具體情境中辨認(rèn)或舉例說明對(duì)象。”為此，教材中通過“工程建筑經(jīng)常采用三角形結(jié)構(gòu)，如屋頂鋼架，窗框斜定木條……”等實(shí)際生活中問題的舉例，來落實(shí)“了解三角形穩(wěn)定性”的教學(xué)要求。

“探索”為過程性行為動(dòng)詞，指“在特定的問題情境下，獨(dú)立或者合作參與數(shù)學(xué)活動(dòng)，理解或提出數(shù)學(xué)問題，尋求解決問題的思路，獲得確定結(jié)論”。新課標(biāo)在“內(nèi)容要求”中提到“探索并證明三角形內(nèi)角和定理”，就是要使學(xué)生經(jīng)歷三角形內(nèi)角和的觀察—度量—操作—猜想—驗(yàn)證全過程，這也是命題教學(xué)中強(qiáng)化探究過程的原因。事實(shí)上，教材中對(duì)很多性質(zhì)的學(xué)習(xí)均提出“探索”級(jí)別的要求，目的是引導(dǎo)課堂教學(xué)關(guān)注知識(shí)的發(fā)生、發(fā)展過程，培養(yǎng)學(xué)生經(jīng)歷類比推理、歸納推理發(fā)現(xiàn)結(jié)論，利用演繹推理驗(yàn)證結(jié)論，從而提升學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。

三、單元整體教學(xué)設(shè)計(jì)下的幾何教學(xué)環(huán)節(jié)

（一）幾何命題新授課的基本教學(xué)環(huán)節(jié)

幾何命題新授課一般包括以下五個(gè)基本教學(xué)環(huán)節(jié)：發(fā)現(xiàn)命題、證明命題、認(rèn)識(shí)命題、應(yīng)用命題、拓展命題。推理一般包括合情推理和演繹推理，合情推理又包括類比推理和歸納推理，合情推理用于探索思路，發(fā)現(xiàn)結(jié)論；演繹推理用于證明結(jié)論。在解決問題的過程中，雖然兩種推理功能不同，卻是相輔相成的。

發(fā)現(xiàn)命題是幾何命題新授課中培養(yǎng)學(xué)生合情推理的基本教學(xué)環(huán)節(jié)。我們常說的發(fā)現(xiàn)，是指學(xué)生主動(dòng)形成發(fā)現(xiàn)問題的意識(shí)和傾向，它應(yīng)該包括觀察、度量、猜想等常見手段。證明命題是幾何命題新授課中培養(yǎng)學(xué)生演繹推理能力的基本教學(xué)環(huán)節(jié)。認(rèn)識(shí)命題既是對(duì)發(fā)現(xiàn)、證明過的命題進(jìn)行再思考的過程，更是為應(yīng)用和拓展命題做鋪墊。教師既要從數(shù)學(xué)語言，即文字、圖形、符號(hào)三方面認(rèn)識(shí)命題，更要深刻分析命題的本質(zhì)以及此命題對(duì)學(xué)生以后學(xué)習(xí)的價(jià)值。應(yīng)用命題是命題價(jià)值的體現(xiàn)，更是培養(yǎng)學(xué)生演繹推理能力的常見方式。應(yīng)用命題的教學(xué)目標(biāo)是使學(xué)生應(yīng)用命題去解決問題，幾何命題新授課中的例題設(shè)計(jì)是應(yīng)用命題的最好體現(xiàn)。拓展命題是在應(yīng)用命題基礎(chǔ)上推廣建立的新命題體系。課堂教學(xué)中，拓展命題環(huán)節(jié)的關(guān)鍵是教師要選擇與組織能體現(xiàn)命題學(xué)習(xí)價(jià)值的教學(xué)內(nèi)容，其中包括題目的選擇和題目的變式，并適時(shí)讓學(xué)生進(jìn)行習(xí)題的一題多解。

（二）利用數(shù)學(xué)史進(jìn)行命題的教學(xué)環(huán)節(jié)

數(shù)學(xué)史展示了數(shù)學(xué)知識(shí)、數(shù)學(xué)方法、數(shù)學(xué)邏輯的來龍去脈，尤其對(duì)學(xué)生公理化思想的滲透有很大作用，能使學(xué)生深刻理解幾何學(xué)局部演繹系統(tǒng)的設(shè)置原理，使學(xué)生明白“為什么要證明”“使用哪些定義、性質(zhì)等來證明新命題”。

例如，古希臘數(shù)學(xué)家歐幾里得所著的《幾何原本》中對(duì)于“等腰三角形兩個(gè)底角相等”的證明方法與我們教材中的證明方法不同。此時(shí)，教師可以引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行討論，讓學(xué)生認(rèn)識(shí)到，“歐氏幾何是先給出研究對(duì)象的定義，然后通過公理規(guī)定研究對(duì)象之間必須滿足的基本關(guān)系，最后推導(dǎo)各種各樣的命題”，這就是所謂的公理化思想?？紤]到學(xué)生的接受能力，教師可構(gòu)建一些局部的演繹系統(tǒng)，幫助學(xué)生感悟演繹的化歸方式與公理化的思想。

（三）在解決問題中培養(yǎng)學(xué)生幾何思維的教學(xué)環(huán)節(jié)

類比推理、歸納推理是常見的發(fā)現(xiàn)結(jié)論的思維方式，演繹推理是驗(yàn)證結(jié)論的常見手段，而解決問題有利于學(xué)生演繹推理能力的訓(xùn)練與培養(yǎng)。幾何內(nèi)容是學(xué)生學(xué)習(xí)的一個(gè)難點(diǎn)，他們很難科學(xué)合理地架構(gòu)起條件與結(jié)論之間的關(guān)系。解題過程與解題思路是有本質(zhì)不同的，解題過程是已知方法尋求答案的過程，解題思路則是未知方法尋求方法的過程，目的是引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會(huì)使用思維導(dǎo)圖分析問題、解決問題。

如圖1中，已知AB = DC，AC = DB，求證∠ABO = ∠DCO。

【分析】要求證∠ABO = ∠DCO，可以按照以下三個(gè)思路展開探究。

思路1：將∠ABO和∠DCO放到兩個(gè)三角形中證明全等，即證明?ABO ≌ ?DCO。其中，已知∠AOB = ∠DOC，AB = DC，還缺少一個(gè)條件，經(jīng)分析只能添加∠A = ∠D。要證明∠A = ∠D，需要再次把兩個(gè)角放到兩個(gè)三角形中證明全等，即證明?ABC ≌ ?DCB。已知AB = DC，AC = DB，BC = CB，得證。

思路2：將∠ABO和∠DCO放到兩個(gè)三角形中證明全等，即證明?ABO ≌? ?DCO，也即證明?ABD ≌ ?DCA。連接AD，已知AB = DC，AC = DB，AD = DA，得證。

思路3：根據(jù)已知條件AB = DC，AC = DB，BC = CB得到?ABC ≌ ?DCB，從而∠A = ∠D，在?ABO和?DCO中，滿足AB = DC，∠A = ∠D，∠AOB = ∠DOC，得到?ABO ≌ ? DCO，得證。

思路4：在思路3的引導(dǎo)下，若得到?ABC ≌ ?DCB，則∠ACB = ∠DBC，從而OB = OC。?ABO和?DCO滿足“邊邊角”關(guān)系，可以過兩組對(duì)應(yīng)邊的交點(diǎn)向?qū)呑鞔怪?，從而得?AOP ≌ ?DOQ，再得到?BAP ≌ ?CDQ，得證。

在單元整體教學(xué)設(shè)計(jì)中培養(yǎng)學(xué)生幾何思維是一個(gè)漫長(zhǎng)的過程，之所以強(qiáng)調(diào)基于“教—學(xué)—評(píng)”一致性的單元整體教學(xué)，就是需要教師從“教—學(xué)—評(píng)”一致性角度關(guān)注單元整體知識(shí)體系，引導(dǎo)學(xué)生通過類比、歸納等思維方式，建立具體幾何思維表征之間的關(guān)聯(lián)，培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題的能力。教師要逐步從關(guān)注學(xué)生解題過程的描述向關(guān)注學(xué)生解題思路的訓(xùn)練過渡，逐步從單一的解題經(jīng)驗(yàn)傳授向活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)積累過渡，逐步培養(yǎng)學(xué)生的幾何思維，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。

參考文獻(xiàn)：

［1］歐幾里得.幾何原本［M］.蘭紀(jì)正，朱恩寬，譯.南京：譯林出版社，2011.

［2］鮑建生，章建躍.數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)在初中階段的主要表現(xiàn)之五：推理能力［J］.中國(guó)數(shù)學(xué)教育，2022（12）.

（責(zé)任編輯：楊強(qiáng)）