探尋學(xué)習(xí)路徑 優(yōu)化教學(xué)設(shè)計
——以“乘法分配律”一課為例

集美大學(xué)師范學(xué)院（361021） 陳文勝 黃 欣

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022 年版）》（以下簡稱《課程標(biāo)準(zhǔn)》）明確指出，課程內(nèi)容組織時需探索發(fā)展學(xué)生核心素養(yǎng)的路徑，根據(jù)學(xué)生的年齡特征和認(rèn)知規(guī)律進(jìn)行課程內(nèi)容呈現(xiàn)。因此，教師有必要通過分析和探尋學(xué)習(xí)路徑，創(chuàng)新教學(xué)設(shè)計流程，優(yōu)化教學(xué)設(shè)計，以發(fā)展學(xué)生核心素養(yǎng)?；趯W(xué)習(xí)路徑分析的教學(xué)設(shè)計可分為假定學(xué)習(xí)路徑、實(shí)施學(xué)習(xí)路徑、修改學(xué)習(xí)路徑三個階段。本文以“乘法分配律”一課為例，對基于學(xué)習(xí)路徑分析的教學(xué)設(shè)計進(jìn)行了探索。

一、分析學(xué)習(xí)基礎(chǔ)，假定學(xué)習(xí)路徑

為了設(shè)計更符合學(xué)生認(rèn)知發(fā)展的教學(xué)方案，教師需要在課前假定學(xué)生的學(xué)習(xí)路徑。這可以通過分析學(xué)習(xí)內(nèi)容、確定學(xué)習(xí)起點(diǎn)和核心目標(biāo)等方式來提高所假定學(xué)習(xí)路徑的準(zhǔn)確性。

1.分析文本，確定學(xué)習(xí)目標(biāo)

（1）研讀《課程標(biāo)準(zhǔn)》

根據(jù)《課程標(biāo)準(zhǔn)》的要求，第二學(xué)段學(xué)生需理解四則運(yùn)算的意義，能用字母表示運(yùn)算律，能運(yùn)用運(yùn)算律進(jìn)行簡便運(yùn)算和解決相關(guān)的簡單實(shí)際問題。在這個過程中，學(xué)生也會逐步形成數(shù)感、運(yùn)算能力和推理意識。《課程標(biāo)準(zhǔn)》中提及數(shù)的運(yùn)算教學(xué)應(yīng)利用實(shí)際問題和具體計算，引導(dǎo)學(xué)生用歸納的方法探索運(yùn)算律，并用字母表示運(yùn)算律。

《課程標(biāo)準(zhǔn)》中給定的內(nèi)容要求、學(xué)業(yè)要求與教學(xué)提示為假定學(xué)習(xí)路徑指明方向。以培養(yǎng)學(xué)生核心素養(yǎng)為導(dǎo)向，教師可組織學(xué)生自主探究，并結(jié)合小組合作的形式來開展教學(xué)。在這個過程中，教師可以培養(yǎng)學(xué)生的代數(shù)思維、運(yùn)算能力、模型意識和應(yīng)用意識等，同時也發(fā)展學(xué)生的歸納、推理、表達(dá)、合作等綜合能力。通過潛移默化的方式，真正實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)學(xué)科的育人價值。

（2）分析多個版本教材

教材內(nèi)容為學(xué)生學(xué)習(xí)的主體，為準(zhǔn)確把握學(xué)生所需學(xué)習(xí)的內(nèi)容范圍與要求，教師需要綜合比對多個版本教材，以明確知識內(nèi)容、了解學(xué)習(xí)方法，并關(guān)注培養(yǎng)目標(biāo)。下面以分析多個版本教材中乘法分配律的學(xué)習(xí)內(nèi)容為例。

人教版教材四年級下冊“乘法分配律”以植樹活動作為問題情境導(dǎo)入，采用人物對話的形式展示兩類列式過程與思路，并留有思考余地，引導(dǎo)學(xué)生通過觀察、計算、對比，最終歸納、總結(jié)并得出以字母所表示乘法分配律的一般公式。

北師大版教材四年級上冊“乘法分配律”以在廚房貼瓷磚作為問題情境導(dǎo)入，圖中沒有給出明確的文字信息，需學(xué)生自行歸納和分析。學(xué)生可通過4 種方法進(jìn)行求解，有利于學(xué)生歸納總結(jié)算式規(guī)律。在得出字母公式后，編排了點(diǎn)子圖、列式等形式檢驗(yàn)學(xué)生掌握算理的情況。

與其他版本教材相比，蘇教版教材四年級下冊“乘法分配律”的最大不同之處是針對兩種不同列式方法皆有詳細(xì)的過程解釋，同時通過蔬菜精靈詳細(xì)解釋和展示思路來證明兩式相等。具體內(nèi)容見表1。

綜上所述，學(xué)生理解乘法分配律的內(nèi)在算理、熟練運(yùn)用乘法分配律是本節(jié)課的關(guān)鍵，具體學(xué)習(xí)目標(biāo)包括：發(fā)現(xiàn)、理解、掌握乘法分配律的內(nèi)在算理，并能夠運(yùn)用字母表示乘法分配律的一般公式，可針對具體問題情境靈活運(yùn)用乘法分配律簡化運(yùn)算過程，形成運(yùn)算能力、代數(shù)思維、模型意識與應(yīng)用意識；通過自主探究、小組合作和教師引導(dǎo)等形式開展乘法分配律的學(xué)習(xí)，發(fā)展表達(dá)觀點(diǎn)、合作交流、動手操作和耐心傾聽等綜合素養(yǎng)；通過體驗(yàn)數(shù)學(xué)的樂趣，感悟數(shù)學(xué)來源于生活并服務(wù)于生活的真諦，增強(qiáng)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的自信和興趣。

2.調(diào)研學(xué)情，確定學(xué)習(xí)起點(diǎn)

現(xiàn)階段的學(xué)生已完成基礎(chǔ)的加、減、乘、除法算理與算法的探索，初步形成代數(shù)思維、運(yùn)算能力和推理意識，并掌握了加法交換律與結(jié)合律、乘法交換律與結(jié)合律。然而，他們?nèi)蕴幱谳^低的思維發(fā)展水平，在未真正掌握算理的情況下應(yīng)用乘法分配律容易出現(xiàn)運(yùn)算錯誤。

為獲取更為精準(zhǔn)的數(shù)據(jù)，筆者對廈門市集美區(qū)某小學(xué)四年級學(xué)生46 人進(jìn)行調(diào)查，根據(jù)學(xué)習(xí)內(nèi)容與教學(xué)經(jīng)驗(yàn)設(shè)計以下前測題。

題1：你知道乘法分配律嗎？可以用你熟悉的方式展示一下乘法分配律嗎？

從表2 可以看出，部分學(xué)生進(jìn)行了乘法分配律的課前預(yù)習(xí)并且較好地掌握了相關(guān)知識點(diǎn)，其中約43%的學(xué)生存在表述錯誤、記憶混亂等情況，約40%學(xué)生未預(yù)習(xí)。

表2 學(xué)生完成題1的結(jié)果統(tǒng)計

題2：算式“12×（3+5）”也可以寫成以下哪種形式？（ ）

A.12×3+5 B.12×3×5

C.12×3×12×5 D.12×3+12×5

從表3 可以看出，近半數(shù)的學(xué)生能夠簡單運(yùn)用乘法分配律。

表3 學(xué)生完成題2的結(jié)果統(tǒng)計

題3：采用你認(rèn)為最簡便的方式脫式計算下列算式。

3×（3+7） 13×6+13×4

99×18+18 103×15

分析表4 可以得出，小部分學(xué)生機(jī)械化使用乘法分配律，大部分學(xué)生面對標(biāo)準(zhǔn)算式時可正確運(yùn)用乘法分配律，卻無法識別變式后的算式。

表4 學(xué)生完成題3的結(jié)果統(tǒng)計

綜上分析，該班級學(xué)生在具體問題情境中可以簡單運(yùn)用乘法分配律，但對乘法分配律知識的掌握還停留在表面層次。故教師應(yīng)將教學(xué)的重點(diǎn)放在學(xué)生對乘法分配律算理的理解和掌握，以及靈活熟練地運(yùn)用乘法分配律解決相關(guān)數(shù)學(xué)問題上。

3.任務(wù)驅(qū)動，假定路徑框架

在教學(xué)過程中，通過各項(xiàng)任務(wù)可以有效地引發(fā)、加強(qiáng)和維持學(xué)生的成就動機(jī)，這也是實(shí)現(xiàn)教學(xué)目標(biāo)的有效途徑。根據(jù)上述所分析，可以任務(wù)為導(dǎo)向假定學(xué)習(xí)路徑框架（見表5）。

表5 假定學(xué)習(xí)路徑

二、實(shí)施學(xué)習(xí)路徑，編排教學(xué)設(shè)計

假定學(xué)習(xí)路徑的最終目的是為進(jìn)行相關(guān)教學(xué)設(shè)計研發(fā)，可以通過劃分環(huán)節(jié)、細(xì)化任務(wù)等形式，將假定的學(xué)習(xí)路徑轉(zhuǎn)化成精細(xì)的教學(xué)設(shè)計活動和環(huán)節(jié)。

1.劃分環(huán)節(jié)，確定學(xué)習(xí)任務(wù)

在假定學(xué)習(xí)路徑的基礎(chǔ)上，為更貼合學(xué)生在課堂學(xué)習(xí)中的注意力分配與認(rèn)知發(fā)展規(guī)律，可將課堂劃分為以下四個環(huán)節(jié)：情境導(dǎo)入、探究新知、鞏固練習(xí)、分享總結(jié)。為促進(jìn)學(xué)生綜合能力發(fā)展，各個環(huán)節(jié)分別以任務(wù)驅(qū)動。以確定乘法分配律的學(xué)習(xí)任務(wù)為例，得到如圖1所示的架構(gòu)。

圖1 教學(xué)設(shè)計

2.細(xì)化任務(wù)，規(guī)劃學(xué)習(xí)活動

（1）情境導(dǎo)入

任務(wù)1：算一算瓷磚數(shù)量

通過創(chuàng)設(shè)工人貼瓷磚情境，引導(dǎo)學(xué)生自主探究簡便的計算方法，并用具體數(shù)值進(jìn)行列式計算?？紤]到部分學(xué)生已具備一定的知識基礎(chǔ)，需創(chuàng)設(shè)更靈活多變的問題情境，故筆者選用北師大版教材的例題導(dǎo)入，引導(dǎo)學(xué)生結(jié)合生活實(shí)際自主研究和探索，實(shí)現(xiàn)知識的遷移。

任務(wù)2：辨一辨不同算式

結(jié)合例題，采用小組合作的形式，讓學(xué)生通過協(xié)商、討論、糾正和互相幫助等環(huán)節(jié)，遷移已有的知識，深入理解數(shù)學(xué)模型，發(fā)展綜合素質(zhì)。

（2）探究新知

任務(wù)3：辯一辯不同算式

教師組織學(xué)生集中討論，引導(dǎo)學(xué)生觀察和比較不同解法，補(bǔ)充各個小組可能存在的不足、觀點(diǎn)或看法上的偏差。在辨明各自觀點(diǎn)的同時，學(xué)生能夠形成運(yùn)用數(shù)學(xué)的語言表達(dá)思想的能力。

任務(wù)4：想一想內(nèi)在規(guī)律

學(xué)生自主探索和歸納基本規(guī)律，并用字母表示乘法分配律。教師需及時跟進(jìn)各小組學(xué)生進(jìn)度，為各學(xué)習(xí)小組搭建適合的“腳手架”，并進(jìn)行課堂小結(jié)。這個階段著重培養(yǎng)學(xué)生知識的遷移能力，需要學(xué)生結(jié)合先前的公式推導(dǎo)經(jīng)驗(yàn)，觀察和分析算式的外在變化，歸納總結(jié)內(nèi)在規(guī)律，最終實(shí)現(xiàn)多樣化的乘法分配律表示，同時發(fā)展學(xué)生的符號意識與抽象能力，培養(yǎng)他們的模型意識。

（3）鞏固練習(xí)

任務(wù)5：試一試變式運(yùn)用

教師呈現(xiàn)各類變式，各小組選擇其中一個進(jìn)行討論并嘗試解答，然后各小組展示不同解法與過程。最后，教師進(jìn)行歸納總結(jié)，針對各小組解答不清晰的地方進(jìn)行梳理。此階段主要解決學(xué)生機(jī)械化運(yùn)用乘法分配律方面的問題。各小組僅集中解決一題，可深入了解算理與感悟其精妙之處。學(xué)生后續(xù)通過其他小組分享與教師補(bǔ)充說明，可快速理解各題解答過程、數(shù)學(xué)原理。在深入理解算理的過程中，并不缺乏對學(xué)生數(shù)學(xué)自信與綜合能力的培養(yǎng)。

（4）分享總結(jié)

任務(wù)6：談一談各自收獲

學(xué)生暢談各自收獲，教師用規(guī)范化的語言進(jìn)行歸納總結(jié)，師生一同回顧所學(xué)知識的重點(diǎn)和難點(diǎn)知識。本節(jié)課的知識重點(diǎn)和難點(diǎn)較多，課堂以學(xué)生合作為主，學(xué)生盡管對知識點(diǎn)的理解與學(xué)習(xí)程度較為深入，但缺乏系統(tǒng)性的串聯(lián)。在課堂即將結(jié)束時，通過學(xué)生的分享和教師的系統(tǒng)總結(jié)，培養(yǎng)學(xué)生及時復(fù)習(xí)和總結(jié)的學(xué)習(xí)習(xí)慣。

三、調(diào)整學(xué)習(xí)路徑，完善教學(xué)設(shè)計

盡管教師可以通過分析學(xué)習(xí)內(nèi)容和學(xué)習(xí)起點(diǎn)確定等多種途徑反復(fù)調(diào)整假定學(xué)習(xí)路徑，但與真實(shí)學(xué)習(xí)路徑相比必然存在差異。為了更好地滿足學(xué)生的學(xué)習(xí)需求，教師可以通過多種途徑收集真實(shí)數(shù)據(jù)，并根據(jù)這些數(shù)據(jù)調(diào)整學(xué)習(xí)路徑，以及完善教學(xué)設(shè)計。

1.師生參評，收集真實(shí)數(shù)據(jù)

（1）學(xué)生評價

教師可以通過觀察課堂上學(xué)生的反應(yīng)，及時發(fā)現(xiàn)問題并收集數(shù)據(jù)。此外，教師還可以通過訪談學(xué)生等形式在課后收集相關(guān)數(shù)據(jù)。通過這些方式，教師可以了解學(xué)生對教學(xué)設(shè)計的評價，發(fā)現(xiàn)教學(xué)設(shè)計的不足之處或亮點(diǎn)，同時也可以增進(jìn)師生之間的情感，拉近彼此之間的距離。教師還可以通過紙筆測驗(yàn)的方式進(jìn)行數(shù)據(jù)收集，例如課后作業(yè)和單元小測。這種方式可以較為全面和準(zhǔn)確地了解學(xué)生對知識點(diǎn)的掌握情況，為教學(xué)設(shè)計的修改提供準(zhǔn)確的方向。

（2）教師評價

教師作為課堂設(shè)計者和教學(xué)活動的組織者，能夠深刻地感受到學(xué)生在各個學(xué)習(xí)環(huán)節(jié)中的參與情況，并直接掌握學(xué)生的真實(shí)學(xué)習(xí)路徑。因此，教師的評價是修改教學(xué)設(shè)計的重要數(shù)據(jù)來源。教師可以根據(jù)在課堂上的真實(shí)感受和體會，結(jié)合自身的教學(xué)特點(diǎn)，修改預(yù)設(shè)的學(xué)習(xí)路徑并完善教學(xué)設(shè)計。教師的評價反映了他們對教學(xué)效果的認(rèn)知和對學(xué)生需求的理解，這對于教學(xué)設(shè)計的改進(jìn)至關(guān)重要。

2.注重反饋，自我反思完善

（1）任務(wù)環(huán)節(jié)難度過大

此次課堂設(shè)計中所選的例題難度過大，導(dǎo)致部分基礎(chǔ)差的學(xué)生無法理解和掌握算理，進(jìn)而在自主探究和小組合作學(xué)習(xí)環(huán)節(jié)中缺乏參與感，整體學(xué)習(xí)效率較低。課堂整體以自主探究為主，小組合作為輔，教師講解總結(jié)環(huán)節(jié)過少，即缺少及時歸納總結(jié)、復(fù)習(xí)鞏固環(huán)節(jié)，致使學(xué)生對知識點(diǎn)遺忘得快，故教學(xué)效果不佳。

（2）任務(wù)環(huán)節(jié)銜接生硬

各個任務(wù)環(huán)節(jié)相對孤立，未構(gòu)建有趣的學(xué)習(xí)情境，加上缺乏聯(lián)系生活實(shí)際的情境，導(dǎo)致學(xué)生無法全情投入學(xué)習(xí)，故學(xué)習(xí)興趣較低。課堂中的例題選擇缺乏深度，未能突出乘法分配律變式的特點(diǎn)，加上缺乏對乘法分配律全面系統(tǒng)性的講解和展示，導(dǎo)致學(xué)生對相關(guān)知識的掌握程度深淺不一，甚至不夠全面。

3.學(xué)習(xí)路徑修改調(diào)整

為解決以上兩大問題，筆者結(jié)合先前假定的學(xué)習(xí)路徑大致流程，對學(xué)習(xí)路徑進(jìn)行調(diào)整（見表6）。

表6 調(diào)整學(xué)習(xí)路徑

4.教學(xué)設(shè)計修改優(yōu)化

為凸顯代數(shù)推理、抓住知識本質(zhì)、發(fā)展學(xué)生核心素養(yǎng)，筆者在導(dǎo)入部分將“瓷磚問題”平面化，實(shí)現(xiàn)形與數(shù)的一一對應(yīng)，將乘法分配律和幾何圖形有機(jī)結(jié)合。當(dāng)學(xué)生能夠在小組合作、自主探索中發(fā)現(xiàn)乘法分配律的簡便之處后，筆者增設(shè)環(huán)節(jié)“自行設(shè)計兩部分面積對應(yīng)的長和寬所需瓷磚數(shù)量，并計算瓷磚總數(shù)”。此環(huán)節(jié)從形引數(shù)，有利于學(xué)生建立直觀且易于理解的數(shù)學(xué)模型。

在探究新知的過程中，教師需發(fā)揮引導(dǎo)作用，在導(dǎo)入部分利用方格圖說理的基礎(chǔ)上，采用多樣的說理形式凸顯乘法分配律的本質(zhì)，培養(yǎng)學(xué)生的代數(shù)推理能力。學(xué)生通過觀察具體算式，發(fā)現(xiàn)共同特點(diǎn)，從而獲得由特殊到一般的抽象數(shù)學(xué)思想。

在鞏固練習(xí)中，筆者增設(shè)簡易題搶答環(huán)節(jié)，以調(diào)動學(xué)生的積極性，使學(xué)生及時鞏固新知。同時設(shè)置多樣化變式，例如，在“12×3=□”中尋找乘法分配律；在“45×77+□×77=7700”中，思考□中填什么數(shù)時有利于計算；在已有“兩個數(shù)的和乘一個數(shù)”的基礎(chǔ)上，思考是否存在“兩個數(shù)的和除以一個數(shù)”……這樣可以培養(yǎng)學(xué)生的結(jié)構(gòu)化思維，幫助學(xué)生建構(gòu)完整的數(shù)學(xué)知識體系。

通過探尋學(xué)習(xí)路徑，我們能更好地優(yōu)化教學(xué)設(shè)計，使教學(xué)內(nèi)容更符合學(xué)生的真實(shí)需求，并使教學(xué)環(huán)節(jié)更貼合學(xué)生的認(rèn)知發(fā)展規(guī)律。在學(xué)習(xí)過程中，學(xué)生能夠進(jìn)行自主探究、合作交流、整理表達(dá)觀點(diǎn)等能力的發(fā)展。這樣的教學(xué)活動是一個動態(tài)循環(huán)的模式，學(xué)生和教師相互促進(jìn)，有助于實(shí)現(xiàn)中國新一輪課程教學(xué)改革目標(biāo)，并真正落實(shí)數(shù)學(xué)教學(xué)的育人價值。