數(shù)形結(jié)合思想在小學(xué)數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中的應(yīng)用策略

南寧師范大學(xué)初等教育學(xué)院（530001） 蔣 鵬梁 宇

我國著名數(shù)學(xué)家華羅庚曾說過：“數(shù)缺形時少直觀，形少數(shù)時難入微；數(shù)形結(jié)合百般好，隔離分家萬事休?！边@生動地指明了“數(shù)”和“形”之間相輔相成、對立統(tǒng)一的關(guān)系。數(shù)形結(jié)合思想將抽象的數(shù)學(xué)語言和直觀的圖形聯(lián)系起來，是連接兩者的橋梁。教師在課堂教學(xué)時要注重向?qū)W生滲透數(shù)形結(jié)合思想，加深學(xué)生對知識的理解，以提高課堂效率。

一、數(shù)形結(jié)合的含義

數(shù)形結(jié)合思想是根據(jù)數(shù)量和圖形之間的對應(yīng)關(guān)系，通過相互轉(zhuǎn)化來解決問題的思想方法，它既是一種具有普遍指導(dǎo)意義的數(shù)學(xué)思想，也是一種數(shù)學(xué)方法，可以作為一種解決具體的數(shù)學(xué)問題的手段?！皵?shù)”和“形”是對立統(tǒng)一的，在一定條件下可以互相轉(zhuǎn)化。一般來說，“數(shù)”主要是指數(shù)、代數(shù)式、方程、函數(shù)、數(shù)量關(guān)系式等；“形”主要是指幾何圖形和函數(shù)圖象等。在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，“數(shù)”與“形”的結(jié)合也可以看作是抽象與直觀的結(jié)合：“數(shù)”具有抽象性，代表數(shù)學(xué)符號、數(shù)學(xué)概念等抽象的數(shù)學(xué)知識，“形”具有直觀性，代表幾何圖形、實物教具、演示圖像等具體的形象材料。

數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用可以細分為兩種情形：第一種是“以形助數(shù)”，主要指利用“形”去解決“數(shù)”的問題，即借助幾何圖形的直觀性來闡明數(shù)量關(guān)系；第二種是“以數(shù)解形”，主要指利用“數(shù)”去解決“形”的問題，借助數(shù)的精確性來闡明圖象性質(zhì)。以形助數(shù)和以數(shù)解形既相互獨立又相互聯(lián)系，兩者共同構(gòu)成數(shù)形結(jié)合這一有機整體。

二、數(shù)形結(jié)合的應(yīng)用意義

1.降低學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識的難度，提高課堂學(xué)習(xí)效率

對于小學(xué)生，特別是低年級的學(xué)生，他們系統(tǒng)化學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識的時間還不夠長，數(shù)學(xué)思維尚未成熟，因此在短時間內(nèi)理解抽象的數(shù)字和數(shù)學(xué)概念對他們來說是有一定難度的。教師在課堂上利用數(shù)形結(jié)合思想進行教學(xué)，借助直觀圖形來幫助學(xué)生理解數(shù)量關(guān)系，使抽象的數(shù)學(xué)知識變得直觀，將原本復(fù)雜的推理和運算過程變得簡單化和可視化，從而降低學(xué)生理解知識的難度，提高課堂學(xué)習(xí)效率。

例如，在教學(xué)“20 以內(nèi)的退位減法”時，如果直接解釋“破十法”的含義，容易導(dǎo)致學(xué)生對退位減法的算理理解不透徹，這樣學(xué)生在計算時容易出錯。但如果借助小棒這一教具，讓學(xué)生實際操作退位減法的過程，理解“破十法”的原理，那么就能顯著降低理解難度，幫助學(xué)生掌握算理。

2.發(fā)展學(xué)生抽象思維和形象思維，促進思維協(xié)調(diào)發(fā)展

根據(jù)皮亞杰的認知發(fā)展階段理論，小學(xué)一到四年級的學(xué)生尚處于具體運算階段，他們的思維主要是形象思維，即使是五、六年級的學(xué)生，抽象思維也僅處于初步的發(fā)展階段，且需要具體事物的支持。因此，教師在課堂上利用數(shù)形結(jié)合思想可以開拓學(xué)生的思維，學(xué)生思維可以從形象到抽象，也可以從抽象到形象，二者靈活變換，將“數(shù)”和“形”有機結(jié)合，同時發(fā)展學(xué)生的抽象思維和形象思維，從而促進思維協(xié)調(diào)發(fā)展。例如，教師在教學(xué)“分數(shù)的初步認識”時，先利用圖形的分割或折疊將圖形平均分成幾份，向?qū)W生介紹分數(shù)的含義，使學(xué)生在頭腦中建構(gòu)起幾分之一的表象。在練習(xí)時，教師可以先給出分數(shù)，再讓學(xué)生在圖形中用涂色的方法表示出分數(shù)的大小，利用“形”認識“數(shù)”，再從“數(shù)”分析“形”。在這樣的過程中，學(xué)生的抽象和形象思維都能得到發(fā)展。

3.幫助學(xué)生形成正確的問題表征，培養(yǎng)問題解決能力

美國現(xiàn)代認知心理學(xué)家西蒙指出，表征是問題解決的一個中心環(huán)節(jié)，它說明問題在頭腦中是如何表現(xiàn)出來的。學(xué)生解決數(shù)學(xué)問題的關(guān)鍵在于能夠?qū)栴}進行正確的表征，要能夠依據(jù)題目給出的數(shù)學(xué)信息和已有知識經(jīng)驗在頭腦中形成對問題的正確理解，進而尋求解決問題的辦法。在解題過程中，有些數(shù)學(xué)問題過于抽象或復(fù)雜，學(xué)生找不到突破口，此時，教師可以運用數(shù)形結(jié)合的思想，使復(fù)雜抽象的問題變得簡單形象，提供一種新的解題思路，打破思維定式，幫助學(xué)生形成正確的問題表征。

學(xué)生在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的過程中會遇到各種問題，比如相遇問題、追擊問題、面積問題、購買商品問題、繳費問題等，這些問題往往包含著錯綜復(fù)雜的數(shù)量關(guān)系。如果學(xué)生不借助畫圖、列表等數(shù)形結(jié)合的方法，其對題意的理解就會很吃力，難以解決問題。因此，教師在教學(xué)時應(yīng)利用數(shù)形結(jié)合思想，借助直觀手段幫助學(xué)生厘清問題中的數(shù)量關(guān)系，進而解決問題。

三、數(shù)形結(jié)合應(yīng)用的策略

1.以形助數(shù)，借助直觀材料講解抽象知識

小學(xué)生的思維方式以形象思維為主，抽象思維尚未得到充分發(fā)展。然而，概念、定律、公式等數(shù)學(xué)知識是抽象的，這就決定了小學(xué)數(shù)學(xué)知識的學(xué)習(xí)需要“形”的輔助。教師在教學(xué)時要運用好以形助數(shù)，將抽象難懂的數(shù)學(xué)知識轉(zhuǎn)化為形象直觀的圖形，利用圖形展現(xiàn)數(shù)量關(guān)系，讓學(xué)生通過感性材料獲得理性認識。

（1）利用實物展現(xiàn)數(shù)學(xué)內(nèi)容

在教學(xué)過程中，教師利用實物將抽象的數(shù)學(xué)內(nèi)容展現(xiàn)出來，讓學(xué)生不再僅是學(xué)習(xí)枯燥的數(shù)學(xué)公式、定理，還要通過實際操作感受數(shù)學(xué)的魅力。這些實物既可以是課堂上的教具，也可以是日常生活中的物品。在接觸實物的過程中，學(xué)生充分運用自身的感官獲得豐富的感性經(jīng)驗，把抽象的數(shù)學(xué)知識變得形象直觀，進而明確數(shù)學(xué)內(nèi)容中的數(shù)量關(guān)系。最終，學(xué)生將感性經(jīng)驗轉(zhuǎn)化為理性認識，完成數(shù)學(xué)知識的學(xué)習(xí)。

例如，在教學(xué)“幾分之一”時，教師如果直接告訴學(xué)生“幾分之一表示將一個物體或一個圖形平均分成幾份，每一份就是它的幾分之一”這樣的數(shù)學(xué)概念，那么學(xué)生理解這一抽象概念的內(nèi)涵會有一定的難度。但如果讓學(xué)生實際操作幾分之一的形成過程，比如讓學(xué)生動手去切一塊月餅，先理解將一塊月餅平均分成幾份，每一份就是這塊月餅的幾分之一，再由月餅引申到一般物體或圖形，那么學(xué)生就能很迅速地在頭腦中構(gòu)建分數(shù)的概念。

（2）引導(dǎo)學(xué)生利用畫圖厘清數(shù)量關(guān)系

有些數(shù)學(xué)問題中的數(shù)量關(guān)系過于復(fù)雜，學(xué)生在解題時很容易思緒混亂，這時教師可以鼓勵學(xué)生根據(jù)題意畫圖，將問題中的數(shù)量關(guān)系描繪在圖形上，再對畫出的圖形進行分析，以正確理解數(shù)量關(guān)系。小學(xué)課堂上常用線段圖、韋恩圖等刻畫數(shù)量關(guān)系，這些圖形可以化復(fù)雜抽象為簡單形象，幫助學(xué)生解決數(shù)學(xué)問題。

畫圖尤其適合在應(yīng)用題中使用，因為應(yīng)用題中有大量的文字描述，并且隨著年級的升高，題目給出的條件越來越復(fù)雜，解答的難度也隨之增加。教師引導(dǎo)學(xué)生畫圖，可以幫助學(xué)生在大量的文字中抓住多個數(shù)量之間的聯(lián)系。例題：快遞員從甲地送快遞到乙地，一開始是2千米的上坡路，接著是一段4千米的平路，最后是3 千米的下坡路?？爝f員上坡時速度為每小時3 千米，走平路時速度為每小時4千米，下坡時速度為每小時5 千米，若早上六點出發(fā)，請問他何時能回到郵局？學(xué)生遇到該題時，很容易誤解為來回時間都一樣。究其原因，是沒有搞清楚來回上下坡的速度不同。教師在教學(xué)時可以引導(dǎo)學(xué)生用畫圖的方式解決該問題。學(xué)生在圖中（如圖1 所示）明確標(biāo)出各項數(shù)字信息，可以發(fā)現(xiàn)題目中的各項數(shù)量關(guān)系非常清晰，再利用路程和速度的關(guān)系即可解決問題。

圖1

（3）運用數(shù)線圖教授有關(guān)數(shù)的知識

數(shù)軸是以形助數(shù)的重要工具，它通過一條直線將眾多數(shù)字直觀地呈現(xiàn)出來，讓學(xué)生明白數(shù)是有順序的，數(shù)的排列也是有規(guī)律和方向的。小學(xué)階段沒有正式引入數(shù)軸的概念，一般都是以數(shù)線圖的方式呈現(xiàn)。數(shù)線圖是一條標(biāo)有數(shù)量的線段。學(xué)生可以通過直觀的數(shù)線圖認識各種類型的數(shù)，例如自然數(shù)、分數(shù)、小數(shù)、負數(shù)等，并且經(jīng)過長期的學(xué)習(xí)，學(xué)生還能明白任何有理數(shù)都可以用圖上的點表示，數(shù)和圖上的點是一一對應(yīng)的。數(shù)線圖還能幫助學(xué)生比較數(shù)的大小和理解運算過程，學(xué)生通過觀察知道較大的數(shù)總是在較小的數(shù)的右邊，加和乘一個正數(shù)就是向右數(shù)格子，減就是向左數(shù)格子。此外，數(shù)線圖不僅能顯示出各個數(shù)所在的位置，還能幫助學(xué)生計算出從一個點到另一個點的距離，并且具有一定的方向性，這有助于學(xué)生理解方向和距離。

例如，在教學(xué)“10 以內(nèi)的數(shù)”時，教師可以利用數(shù)線圖讓學(xué)生對數(shù)的大小有初步的認識和理解，明確“在數(shù)線圖上，越往右數(shù)越大”，理解數(shù)的順序排列。為了讓學(xué)生進一步理解數(shù)的大小，可以在圖上留空幾個數(shù)不出示，引導(dǎo)學(xué)生進行填空。教學(xué)“10以內(nèi)數(shù)的加減法”時，教師可以讓學(xué)生利用數(shù)線圖計算，向?qū)W生介紹加法就是先在數(shù)線圖上找到一個加數(shù)，再向右走另一個加數(shù)的格數(shù)，走到的位置上的數(shù)就是和，減法反之。學(xué)生在一個一個數(shù)格子的過程中，可以很直觀地觀察到加減法的過程，理解算理。

2.以數(shù)解形，引領(lǐng)學(xué)生從數(shù)的角度探究幾何圖形的特點

以數(shù)解形是一種主要應(yīng)用于幾何圖形中的方法，其核心思想是用有關(guān)數(shù)的知識解決幾何問題。有的幾何圖形看似比較復(fù)雜，但其中的數(shù)量關(guān)系很簡單，這時就可以借助數(shù)學(xué)語言闡明“形”的屬性。例如，圖形的性質(zhì)特點、有關(guān)圖形的體積和面積的計算等。教師在教學(xué)有關(guān)幾何圖形的知識時，要多讓學(xué)生從數(shù)的角度分析形的特點，借助簡潔的數(shù)學(xué)語言描述抽象的圖形，從而使學(xué)生更深入地理解有關(guān)圖形的知識和特性。

（1）引導(dǎo)學(xué)生利用數(shù)學(xué)公式解決幾何問題

數(shù)學(xué)公式反映了不同事物之間的數(shù)量關(guān)系，它是學(xué)生解決許多幾何問題的關(guān)鍵。小學(xué)中有許多數(shù)學(xué)公式，包括幾何圖形的周長、面積、體積計算公式，數(shù)量關(guān)系的計算公式，例如路程=時間×速度等。在求解有關(guān)圖形的問題時，教師要引導(dǎo)學(xué)生利用相關(guān)數(shù)學(xué)公式尋找圖形之間的聯(lián)系，探究圖形中蘊含的數(shù)量關(guān)系。

例如，在求解不規(guī)則圖形的面積時，主要通過多種方式將不規(guī)則圖形轉(zhuǎn)化成規(guī)則圖形。在轉(zhuǎn)化成三角形、長方形、圓形等規(guī)則圖形時，要考慮到規(guī)則圖形適用哪些數(shù)學(xué)公式，依據(jù)數(shù)學(xué)公式進行轉(zhuǎn)化。例如，在求解圖2 陰影部分的面積時，教師可以讓學(xué)生先分析一下可能會用到哪些數(shù)學(xué)公式，再對圖形進行分割。該題可以只用三角形面積公式求解，也可以并用三角形面積公式和圓的面積公式求解。

圖2

（2）幫助學(xué)生建立數(shù)學(xué)模型，探索一般規(guī)律

數(shù)學(xué)模型是用數(shù)學(xué)語言、符號概括或近似地表達系統(tǒng)規(guī)律的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)，它反映了一個系統(tǒng)內(nèi)部各變量之間的關(guān)系。利用數(shù)學(xué)模型，學(xué)生可以解決某一種類型的圖形問題，而不僅僅是某一個圖形問題。在教學(xué)時，教師可以讓學(xué)生從探索特殊情況開始，分析數(shù)的特點，逐步得出一般規(guī)律，最終發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)模型，使學(xué)生對知識有更深刻的理解。

例如，在教學(xué)“多邊形內(nèi)角和”時，學(xué)生已經(jīng)掌握了三角形的內(nèi)角和是180°，也知道了長方形和正方形的內(nèi)角和是360°，但不知道不規(guī)則四邊形以及多邊形的內(nèi)角和是多少。教師要從四邊形內(nèi)角和的探究入手，讓學(xué)生自主探究，利用測量法、剪拼法和分割法等探索得知四邊形內(nèi)角和為2×180°=360°，并且明白分割法（將四邊形分割為2 個三角形，2 個三角形的內(nèi)角和相加的和等于四邊形內(nèi)角和）是最方便快捷的方法。再利用分割法將五邊形分割為3 個三角形，五邊形內(nèi)角和為3×180°=540°。同理，將六邊形分割為4 個三角形，六邊形內(nèi)角和為4×180°=720°。在探索完這些圖形的內(nèi)角和后，教師要引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)這些式子發(fā)現(xiàn)多邊形的邊數(shù)和內(nèi)角和的關(guān)系，最終得出數(shù)學(xué)模型：多邊形內(nèi)角和=（邊數(shù)-2）×180°，用符號表示為n邊形內(nèi)角和=（n-2）×180°。

3.數(shù)形融合，將直觀和抽象統(tǒng)一起來進行教學(xué)

數(shù)形融合既包含以形助數(shù)，也包含以數(shù)解形，是數(shù)和形的統(tǒng)一?！皵?shù)”和“形”具有內(nèi)在聯(lián)系，共同構(gòu)成數(shù)形結(jié)合這一整體，數(shù)量關(guān)系可以生動描述圖形的性質(zhì)特征，圖形中也存在著許多數(shù)量關(guān)系。在數(shù)學(xué)教學(xué)中，數(shù)和形相輔相成，缺一不可，教師不能將二者拆分，而是要將二者融合。

例如，在“用數(shù)對確定位置”的教學(xué)中，教師可以創(chuàng)設(shè)學(xué)生座位分布、電影票等情境，幫助學(xué)生理解數(shù)對的具體內(nèi)涵和書寫形式。在學(xué)生熟練掌握后，讓學(xué)生依據(jù)數(shù)對說出對應(yīng)位置同學(xué)的名字。先利用以形助數(shù)，用直觀的座位分布幫助學(xué)生理解抽象的數(shù)對，再利用以數(shù)解形，用數(shù)對分析座位分布情況。從“形”到“數(shù)”，再從“數(shù)”回到“形”，“數(shù)”和“形”得以巧妙結(jié)合。

總而言之，教師在課堂上運用好數(shù)形結(jié)合方法，既可以讓復(fù)雜抽象的數(shù)學(xué)知識以簡單形象的方式呈現(xiàn)出來，讓學(xué)生更容易理解，也可以增強學(xué)生對幾何圖形的理解，拓寬學(xué)生解題思路，提高教學(xué)質(zhì)量。