小學(xué)數(shù)學(xué)幾何直觀教學(xué)的困境解析與路徑探析

江蘇南京市南化實驗小學(xué)（210044） 張 陽

小學(xué)數(shù)學(xué)中的幾何直觀教學(xué)是指要求學(xué)生能學(xué)會利用圖形表征的方式，幫助分析和思考數(shù)學(xué)問題。數(shù)學(xué)本身具有抽象性的特點，這導(dǎo)致學(xué)生在理解數(shù)學(xué)概念、尋找數(shù)量關(guān)系和運用解題方法時出現(xiàn)諸多困難。為此，許多一線教師能根據(jù)小學(xué)生的思維特點，積極采用幾何直觀的方式進行教學(xué)，引導(dǎo)學(xué)生利用圖形簡明、形象地描述數(shù)學(xué)問題，有效化解學(xué)生遇到的困難。然而，部分教師由于經(jīng)驗尚淺、教法鉆研不夠，在幾何直觀教學(xué)中存在把握不足、理解不深的問題，使得小學(xué)數(shù)學(xué)課堂中出現(xiàn)為了直觀而“直觀”的教學(xué)現(xiàn)象。

一、課堂假象：為直觀而“直觀”

鑒于兒童以形象思維為主的特點，再加上數(shù)學(xué)本身內(nèi)容的表達具有抽象性的特點，這就導(dǎo)致數(shù)學(xué)教學(xué)存在一定困難。幾何直觀教學(xué)是有效化解數(shù)學(xué)教學(xué)難題的重要手段和策略。例如，“比一個數(shù)多幾、少幾”的探究課上，教師呈現(xiàn)“小英做了11 朵花，小華比小英多做了3 朵，小平比小英少做了3朵，小華做了多少朵？小平做了多少朵？”的問題，要求學(xué)生用擺圓片的方法說明小華和小平做的花的朵數(shù)。到了練習(xí)階段，教師仍舊讓學(xué)生通過擺圓片來解決問題。教學(xué)顯示，學(xué)生每做一題都要先動手操作再寫算式，費時費力，導(dǎo)致一些動手快的學(xué)生做完了沒事做、動手慢的學(xué)生做不完的情況發(fā)生。

教師要求學(xué)生用學(xué)具來思考，這本身沒有問題，因為“擺一擺”的活動確實能幫助學(xué)生尋找兩個數(shù)之間的多少關(guān)系。然而，如果每一道題都要求學(xué)生進行學(xué)具操作，這樣的直觀教學(xué)則屬于低水平的教學(xué)，不利于發(fā)展學(xué)生的抽象思維。正確的做法應(yīng)是當(dāng)學(xué)生已經(jīng)弄清哪個數(shù)與哪個數(shù)進行比較、是求多還是求少的關(guān)系后，教師要及時給予方法指導(dǎo)，并要求學(xué)生將擺圓片操作上升為畫圖操作，甚至可以讓他們在腦海中進行思維操作。這樣能幫助學(xué)生快速解決稍復(fù)雜的問題。如遇到數(shù)字較大、關(guān)系較復(fù)雜的問題時，可以先讓學(xué)生畫圖分析，簡化操作過程，再將實物抽象成圖形，從而幫助學(xué)生提升分析、比較等思維能力。

二、原因解析：如此“直觀”為哪般？

1.局限于直觀操作僅為得到結(jié)果

例如，在教學(xué)“整十?dāng)?shù)乘一位數(shù)的口算”時，有教師首先組織學(xué)生探討教材例題，在學(xué)生得出“20×3”的算式后，該教師便向?qū)W生提出擺小棒的要求，以此來探究算式的算法和算理。課上學(xué)生很快擺成了6個10，并說出答案是60。該教師隨后組織學(xué)生探討小棒的擺法，要求學(xué)生數(shù)一數(shù)總數(shù)。在整個教學(xué)過程中，學(xué)生根據(jù)擺小棒的結(jié)果，“直觀”地再次驗證了60 這一答案。在這節(jié)課的歸納總結(jié)中，該教師總結(jié)出整十?dāng)?shù)乘一位數(shù)的口算方法，即先算“幾乘幾”，再在積的末尾添上1 個0。課堂教學(xué)進展得似乎十分順利，但學(xué)生是在明白算理中自然生成算法的嗎？學(xué)生明白為什么要在積的末尾添1個0 嗎？在這一教學(xué)過程中，該教師過于看低學(xué)生的水平，將教學(xué)的重點放在怎么理解算式的意義上。其實對于乘法意義的理解，學(xué)生早已有了基礎(chǔ)，因此這節(jié)課的關(guān)鍵探究點是讓學(xué)生掌握“先算2×3，再在積的末尾添0”的方法。幾何直觀教學(xué)中也應(yīng)立足于幫助學(xué)生理解“為什么會有6 個十”，并且在使用方法上不加限制。如此，才能調(diào)動學(xué)生思考的積極性，使之理解操作的必要性，激發(fā)操作的興趣。

2.誤將實物視為圖形教學(xué)的“萬金油”

在圖形教學(xué)中提供豐富的實物是必須的。然而有的教師也容易陷入只要提供實物就能解決圖形教學(xué)中所有問題的誤區(qū)。例如，在教學(xué)認識圖形時，有教師基于低年級學(xué)生思維能力以形象思維為主的特點，為每個學(xué)生都準(zhǔn)備了圓柱、球、長方體及正方體，以便使學(xué)生有充分感知實物的機會。然而僅是提供圓柱實物，學(xué)生只能單一感知圓柱是長長的、上下一樣粗的、有兩個面是圓的。雖然在教學(xué)圓柱時，該教師已經(jīng)提醒學(xué)生圓柱也有比較“短”的，但是對于低年級的學(xué)生來說，完整描述圓柱的全部特征難度確實較大。特別是圓柱和球都有曲面，如果圓柱比較矮，那它和球就更加相似了。對于有兩面是正方形的這一類特殊的長方體，學(xué)生也容易與正方體產(chǎn)生混淆。由此看來，實物直觀教學(xué)不僅要讓學(xué)生看得見、摸得著，更要讓其掌握怎么看和怎么摸的方法。

3.誤認為只要經(jīng)歷了親身操作，就一定能學(xué)有所獲

教師讓學(xué)生自主探索本身沒有問題，因為學(xué)習(xí)往往就是在動手操作中獲得經(jīng)驗的。然而，如果不注重操作后的深入交流，不注重在產(chǎn)生分歧或出錯處停下來思考和交流，這樣的直觀教學(xué)則屬于低水平的教學(xué)，不利于學(xué)生獲得正確的體驗和認知。例如，在教學(xué)“圓的認識”時，有教師在課堂中提出讓學(xué)生動手畫一個直徑為3 厘米的圓，學(xué)生完成后，教師收集畫得不標(biāo)準(zhǔn)的作品，讓全體學(xué)生評價這些作品。學(xué)生觀察這些作品發(fā)現(xiàn)：有的圓畫得不圓、有的圓畫得太大了、有的圓畫得太小了……隨后，該教師立即教學(xué)生怎樣畫圓，這樣做顯然偏離了本課教學(xué)的中心。

圓的作品的直觀呈現(xiàn)，不應(yīng)僅僅是畫圓沒成功的數(shù)學(xué)性評價，各抒己見也不應(yīng)只局限于像不像圓的交流。這節(jié)課的教學(xué)更重要的是要立足根本，緊抓圓的特征來分析生成性資源，在交流比較中讓學(xué)生形成對圓的正確認知。

三、路徑探析：在“抽象”與“直觀”之間構(gòu)建橋梁

1.借助直觀回顧反思，以促進算理理解

培養(yǎng)學(xué)生的幾何直觀能力，不是一味地對學(xué)生進行直觀的演示，而是如何引導(dǎo)學(xué)生在實物的基礎(chǔ)上將幾何直觀與抽象思維相結(jié)合。例如，在教學(xué)“9加幾”時，當(dāng)學(xué)生操作得出9+4 的結(jié)果后，有教師就急于抽象出“湊十”法的計算思路和方法。如此，使得操作和抽象教學(xué)之間缺乏應(yīng)有的過渡。筆者認為在操作和抽象教學(xué)之間還應(yīng)該增加一個“看自己操作的照片，說自己操作的過程”的教學(xué)內(nèi)化環(huán)節(jié)。因為在這一內(nèi)化環(huán)節(jié)中，學(xué)生不僅關(guān)注了知識，還能觀察到操作中的其他因素，如怎樣擺得整齊、學(xué)具掉地上了要及時拾取等。根據(jù)操作的照片，讓學(xué)生復(fù)述操作過程，可以使學(xué)生將關(guān)注點集中到數(shù)學(xué)知識上來，舍棄其中的非本質(zhì)因素。此外，看結(jié)果說操作過程，也是引導(dǎo)學(xué)生由直觀通往抽象的橋梁，逐漸增加信息刺激的間接性和抽象成分，這樣才符合學(xué)生的認知發(fā)展規(guī)律。

心理學(xué)家加里培林將心智動作的形成分為五個階段：一是活動定向階段，如在上述“9 加幾”的直觀操作中，學(xué)生通過擺小棒擺出9根和4根，從而解決9+4 的問題；二是物質(zhì)活動或物質(zhì)化活動階段，如在上述擺小棒的過程中，學(xué)生發(fā)現(xiàn)從4 根里面拿1 根給9 根就湊成10 根了，為后續(xù)抽象算理做好鋪墊；三是出聲的外部言語活動階段，如上述“看自己操作的照片，說自己操作的過程”這一活動，正是使學(xué)生將關(guān)注點集中到知識的本質(zhì)上來的一個中介過程；四是無聲的外部言語活動階段，如在上述學(xué)生開始初步抽象學(xué)習(xí)，通過回想剛剛的操作過程，建構(gòu)“湊十”法的算理；五是內(nèi)部言語活動階段，內(nèi)部言語完成后，學(xué)生就能高度簡要、自動化地抽象出數(shù)學(xué)知識。

數(shù)學(xué)抽象是直觀教學(xué)的目的與歸宿。直觀是小學(xué)生學(xué)習(xí)的起點，而數(shù)學(xué)是要求抽象的。在教學(xué)中，教師要注意處理好直觀和抽象的關(guān)系，要以直觀為引導(dǎo)，最終走向抽象。

2.基于直觀誘發(fā)想象，抽象測量和反饋的方法

對于“幾何與圖形”的教學(xué)，直觀手段想必是學(xué)生學(xué)習(xí)該節(jié)知識必須借助的，因為學(xué)生能從外觀上整體識別圖形。若學(xué)生未注意到各種圖形的特征性質(zhì)，想讓學(xué)生抽象出數(shù)學(xué)的幾何圖形，全靠直觀顯然是不夠的，須基于直觀誘發(fā)想象。大膽的想象與聯(lián)想是拓寬幾何直觀思維空間的主渠道。

例如，在探索“長方形的面積”時，為了讓學(xué)生理解長方形的面積公式，教學(xué)可以分為3個環(huán)節(jié)。

（1）出示邊長為1 cm 的正方形紙片，讓學(xué)生用邊長為1 cm 的正方形紙片擺3×2 的長方形（如圖1）。這一環(huán)節(jié)旨在讓學(xué)生明白圖形的面積就是看圖形包含了幾個單位面積。全體學(xué)生都以直觀操作為主，直接數(shù)出小正方形紙片的數(shù)量來得到結(jié)果。

圖1

（2）出示大一些的長方形（4 cm×3 cm），讓學(xué)生用邊長為1 cm 的正方形紙片鋪滿長方形。在這一環(huán)節(jié)中，有學(xué)生并不擺滿，只擺一行和一列，用行數(shù)乘列數(shù)就能知道長方形的面積了（如圖2）。

圖2

（3）出示更大的長方形（6 cm×4 cm），讓學(xué)生用邊長為1 cm 的正方形紙片鋪滿長方形。當(dāng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)手里的正方形紙片連一行一列都擺不滿時，便想到了量的方法，即先量長方形的長和寬，再相乘（如圖3）。

圖3

對于長方形的面積的測量，光靠用單位面積的圖形來擺，學(xué)生對面積公式就無法深刻理解，這時就需要在直觀圖的基礎(chǔ)上讓學(xué)生充分想象，不斷地對面積這一概念進行“修正”。愛因斯坦曾說過：“想象力比知識更重要，因為知識是有限的，而想象力概括著世界的一切。”想象是思維的翅膀，教學(xué)應(yīng)將想象和觀察、推理、思考等活動結(jié)合起來。

3.在直觀操作后充分交流，突破個體思考

在教學(xué)中教師應(yīng)處理好直觀操作和數(shù)學(xué)思考的關(guān)系，結(jié)合具體的操作活動，立足知識根本，隨時關(guān)注有價值的生成性資源，適時地提出能引發(fā)思考的問題，讓學(xué)生在操作后思考，同時組織好討論交流，增強學(xué)生對活動的感受與體驗。之所以這樣安排，是因為：一方面，沒有數(shù)學(xué)思考的操作活動是流于形式的；另一方面，脫離直觀感受對知識過早下定義，無疑是死記硬背。

例如，在教學(xué)“圓的認識”時，可以讓學(xué)生在操作中進行充分的交流，激起各種思想方法的交鋒，形成不同知識結(jié)構(gòu)、思維方式的碰撞和互補，有效地拓展學(xué)生的思維廣度和深度，深化對圓的特征的認知。

（課前，教師給每個小組都分發(fā)了一個紙杯、帶孔的紙板、橡皮筋、圓規(guī)）

師：請每個小組從中選擇一種在作業(yè)紙上畫一個圓。

（學(xué)生畫圓結(jié)束后，教師組織學(xué)生交流）

生1：我是用杯子底部來描的圓，先放好杯子，沿著邊畫一圈，就畫好了一個圓。

生2：我是將紙板里面的一個孔用小棒固定住，用筆沿著另外一個孔來畫。

師：你的圓為什么沒有畫成功呢？

生2：小棒不容易固定住紙板上的孔。

師：看來我們在畫圓時要注意定點。為什么沒有人選用橡皮筋來畫圓呢？

生3：因為橡皮筋有彈性，畫出來的圖是歪歪斜斜的，不成圓。

師：想想看，橡皮筋不容易固定什么？

生3：不容易固定長度。

師：對，不容易固定圓的半徑，我們也可以說它不能“定長”。

師：其他同學(xué)選擇了什么工具來畫圓？

生4：我是用圓規(guī)來畫的，我先固定圓規(guī)的那根針，然后繞著那根針讓鉛筆的那一頭旋轉(zhuǎn)一周，這樣就畫成了。

出示畫得不成功的作品，透過不成功的作品的表象，讓學(xué)生在觀察比較、反思討論中不斷進行自我修正，弄清“畫不圓”的原因——要么定點不能保持，要么定長發(fā)生改變。學(xué)生在充分的交流中對圓的本質(zhì)特征有了更加清晰的認識。在上述教學(xué)中，教師的每次發(fā)問都能引發(fā)學(xué)生思考，并經(jīng)過適時的抽象歸納，讓學(xué)生在直觀操作后的交流中對圓的特征有了充分的認知。

荷蘭數(shù)學(xué)家弗萊登塔爾指出：“幾何直觀能告訴我們什么是可能重要、可能有意義和可接近的，并使我們在課題、概念與方法的荒漠之中免于陷入歧途之苦?！苯處熓褂脦缀沃庇^方式教學(xué)時，應(yīng)基于學(xué)生的學(xué)習(xí)特點，使其能在數(shù)形之間自由切換，以此實現(xiàn)知識的理解和建構(gòu)，如此，幾何直觀教學(xué)的功能才能得以充分發(fā)揮。