含大范圍參數(shù)四維混沌系統(tǒng)的吸引子共存

顏閩秀， 朱君洋

沈陽(yáng)化工大學(xué)信息工程學(xué)院，遼寧沈陽(yáng) 110142

隨著時(shí)間的推移，混沌系統(tǒng)得到了更深入的研究和發(fā)展.混沌系統(tǒng)具有遍歷性、偽隨機(jī)性，以及對(duì)初始條件的敏感性等特點(diǎn)，因此在隨機(jī)數(shù)發(fā)生器［1-2］、圖像加密與隱藏［3-5］，以及保密通信［6-8］等領(lǐng)域都得到廣泛應(yīng)用.與此同時(shí)，人們對(duì)組成簡(jiǎn)單、動(dòng)力學(xué)特性復(fù)雜、偽隨機(jī)性更高的混沌系統(tǒng)的需求日漸增加，因此，具有多種吸引子共存和超大范圍參數(shù)混沌的系統(tǒng)得到了研究人員的廣泛關(guān)注.

大范圍參數(shù)混沌指混沌系統(tǒng)在較大參數(shù)的改變下，依然能夠保持混沌狀態(tài).這種現(xiàn)象能夠避免混沌系統(tǒng)在實(shí)際應(yīng)用中因干擾導(dǎo)致參數(shù)改變，進(jìn)而引起混沌狀態(tài)改變，這極有利于混沌的應(yīng)用.徐昌彪等［9］提出的基于Lorenz 系統(tǒng)的三維（threedimension， 3D）混沌系統(tǒng)，雖然構(gòu)成簡(jiǎn)單，仍能在參數(shù)超大范圍變化時(shí)保持混沌.張澤峰等［10］構(gòu)建了一個(gè)五維保守超混沌系統(tǒng)，在保持Hamilton能量保守的同時(shí)，打破了系統(tǒng)的Casimir 能量保守，該系統(tǒng)在參數(shù)Π2處于［0， 1 600］變化時(shí)，仍始終處于超混沌狀態(tài).XIAN 等［11］提出了一個(gè)大范圍參數(shù)三維連續(xù)混沌系統(tǒng)，并通過拓?fù)漶R蹄驗(yàn)證其混沌性.HUANG 等［12］設(shè)計(jì)了一種離散憶阻混沌映射，并通過數(shù)學(xué)證明新映射在一定條件下，可以處于無(wú)限寬范圍參數(shù)混沌.

近年來(lái)，吸引子共存現(xiàn)象作為混沌系統(tǒng)的熱點(diǎn)備受關(guān)注.吸引子共存指固定系統(tǒng)參數(shù)并改變系統(tǒng)初始值時(shí)，系統(tǒng)會(huì)隨著不同初值進(jìn)入不同軌跡，產(chǎn)生多種吸引子存在的現(xiàn)象.當(dāng)一個(gè)混沌系統(tǒng)具有吸引子共存時(shí)，表明該混沌系統(tǒng)可能存在復(fù)雜的動(dòng)力學(xué)特性.顏閩秀等［13］將雙曲正切函數(shù)引入三維混沌系統(tǒng)，使系統(tǒng)出現(xiàn)數(shù)量可調(diào)節(jié)的吸引子共存.張貴重等［14］利用磁控憶阻器構(gòu)建了一個(gè)五維憶阻混沌系統(tǒng)，并通過改變憶阻初始條件實(shí)現(xiàn)無(wú)窮多共存吸引子的超級(jí)多穩(wěn)定.秦銘宏等［15］改變初始值，觀察到共存的無(wú)窮多形態(tài)各異的吸引子.曹可等［16］利用磁控憶阻器作為負(fù)反饋，構(gòu)造了一個(gè)新的四維（four-dimension， 4D）憶阻混沌系統(tǒng)，該系統(tǒng)在不同初始條件和參數(shù)下，有多種吸引子共存.盡管已有針對(duì)吸引子共存的混沌系統(tǒng)的研究，但對(duì)于同時(shí)具有大范圍參數(shù)的混沌系統(tǒng)報(bào)道仍然較少，而使用參數(shù)控制吸引子在相空間中縮放的就更為少見，這些現(xiàn)象都表明混沌系統(tǒng)具有復(fù)雜特性.因此，研究此類混沌系統(tǒng)具有重要的現(xiàn)實(shí)意義.

本研究提出了一個(gè)改進(jìn)的四維混沌系統(tǒng)，并分析該系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)行為，通過改變系統(tǒng)的初值，研究新系統(tǒng)的吸引子共存現(xiàn)象；又通過調(diào)整系統(tǒng)參數(shù)，研究了參數(shù)對(duì)吸引子在相空間中的縮放控制作用.對(duì)新系統(tǒng)設(shè)計(jì)偏移升壓控制器［17］，證明系統(tǒng)在實(shí)際應(yīng)用中有較大潛力.最后，使用美國(guó)國(guó)家標(biāo)準(zhǔn)與技術(shù)委員會(huì)（National Institute of Standards and Technology， NIST）發(fā)布的軟件包對(duì)新系統(tǒng)進(jìn)行NIST測(cè)試［18］，驗(yàn)證了新系統(tǒng)具有良好的偽隨機(jī)性，在圖像加密與保密通信中有應(yīng)用價(jià)值.

1 新四維混沌系統(tǒng)

YANG等［19］提出的三維混沌系統(tǒng)為

其中，x、y和z為狀態(tài)變量；a、b和c為系統(tǒng)參數(shù)；、?和?為狀態(tài)變量對(duì)時(shí)間的導(dǎo)數(shù).

該系統(tǒng)屬于Lorenz 和Chen 系統(tǒng)的中間過渡態(tài).本研究基于此系統(tǒng)提出新的四維混沌系統(tǒng)，為

其中，w和k分別為新增的狀態(tài)變量和系統(tǒng)參數(shù)；w?為w對(duì)時(shí)間的導(dǎo)數(shù)，k= 0.1 × 10-n-m× 10-2-n，n= 0， 1，…， ∞，m= 0， 1， 2， …， 8，且一直循環(huán)，每當(dāng)m由8變?yōu)?時(shí)，令n=n+ 1，達(dá)到的效果為k從0.1 開始遞減，即k =0.1，0.09，0.08，…，0.01，0.009，0.008，…，0.001，0.0009，…，最后無(wú)限趨近于0，即k∈（0， 0.1］.系統(tǒng)（2）中的系統(tǒng)參數(shù)與系統(tǒng)（1）中的參數(shù)均不相同.當(dāng)a= 1，b= 3，c= 2，k= 0， 初值為(x0，y0，z0，w0)=(2，1，2.5，1)時(shí)，系統(tǒng)（2）吸引子如圖1.

圖1 新混沌系統(tǒng)（2）的吸引子圖 （a）x-y相圖； （b）x-z相圖； （c）x-w相圖； （d）y-z相圖Fig.1 Attractor diagram of the new chaotic system (2). (a) x-y phase diagram, (b) x-z phase diagram, (c) x-w phase diagram and(d) y-z phase diagram.

2 基本動(dòng)力學(xué)特性

2.1 Lyapunov指數(shù)和分維數(shù)

當(dāng)a= 1，b= 3，k= 0，系統(tǒng)初值（x0，y0，z0，w0） = （2， 1， 2.5， 1）時(shí)，計(jì)算得到新系統(tǒng)的李雅普諾夫（Lyapunov）指數(shù)為L(zhǎng)1= 0.155，L2= 0，L3=-2.002，L4= -2.154，這4個(gè)Lyapunov指數(shù)的數(shù)值符合(+，0，-，-)的規(guī)律，證明新系統(tǒng)是一個(gè)四維混沌系統(tǒng).這4 個(gè)Lyapunov 指數(shù)之和LSE＜ 0，說(shuō)明新系統(tǒng)為耗散系統(tǒng).此時(shí)，Lyapunov維數(shù)為

其中，j滿足且

由式（3）可得DL= 2.078.由于2 ＜DL＜ 3，證明系統(tǒng)（2）為混沌系統(tǒng).

2.2 對(duì)稱性和耗散性

系統(tǒng)（2）在（x，y，z，w）坐標(biāo)變換到（-x， -y，z，w）坐標(biāo)時(shí)，狀態(tài)方程保持不變，說(shuō)明系統(tǒng)（2）關(guān)于z-w平面對(duì)稱.

系統(tǒng)（2）的耗散性公式為

因此，當(dāng)系統(tǒng)參數(shù)a= 1，b= 3，c= 2，k= 0時(shí)，有-(a+b) +k＜0，表明該系統(tǒng)為耗散系統(tǒng).

2.3 平衡點(diǎn)分析

計(jì)算系統(tǒng)的平衡點(diǎn)，令式（2）左邊都為0，即

當(dāng)a= 1，b= 3，c= 2，k= 0，系統(tǒng)初值(x0，y0，z0，w0)=(2，1，2.5，1)時(shí)，系統(tǒng)的平衡點(diǎn)為P1（0， 0， 0， 0）、P2（4， -2， -2， 2）和P3（4， 2，2， 2）.新系統(tǒng)的Jacobian矩陣為

當(dāng)平衡點(diǎn)為P1時(shí)，求得特征值λ1= 1，λ2=-1，λ3=λ4=-2，可見4 個(gè)根都為實(shí)數(shù)，且λ1＞0，λ2、λ3和λ4都小于0，說(shuō)明平衡點(diǎn)P1為指標(biāo)為1的鞍點(diǎn)，該鞍點(diǎn)用來(lái)連接渦卷與渦卷之間的鍵帶.

當(dāng)平衡點(diǎn)為P2時(shí)，求得特征值λ1= 1.629 +2.007i，λ2= 1.629 - 2.007i，λ3= - 3.629 +2.189i，λ4= - 3.629 - 2.189i， 對(duì)應(yīng)的實(shí)部Re(λ1) ＞0、 Re(λ2) ＞0、 Re(λ3)＜0且Re(λ4) ＜0，說(shuō)明平衡點(diǎn)P2為指標(biāo)為2的鞍焦平衡點(diǎn)，用來(lái)生成渦卷.當(dāng)平衡點(diǎn)為P3時(shí)，求得特征值λ1= 1.43 +2.325i，λ2= 1.43 - 2.325i，λ3= -3.43 + 2.325i，λ4= - 3.43 - 2.325i，可見平衡點(diǎn)P2為指標(biāo)為2 的鞍焦平衡點(diǎn)，也是用來(lái)生成渦卷的.由圖1 可見，新系統(tǒng)依據(jù)平衡點(diǎn)的類型生成了2 個(gè)渦卷和1 個(gè)連接它們的鍵帶.

2.4 0-1測(cè)試

使用0-1 測(cè)試［20］進(jìn)一步驗(yàn)證新系統(tǒng)的混沌性.當(dāng)a= 4.5，b= 4.9，c= 2，k= 0，系統(tǒng)初值為（x0，y0，z0，w0） = （2， 1， 2.5， 1）時(shí)，（p，s）平面如圖2（a）.其中，p和s分別為關(guān)于l的函數(shù)

圖2 0-1測(cè)試的(p，s)圖 （a）a = 4.5， b = 4.9， c = 2，k = 0；（b）a = 1，b = 3，c = 2，k = 0Fig.2 (p, s) diagram of 0-1 test. (a) a = 4.5, b = 4.9, c = 2,k = 0 and (b) a = 1, b = 3, c = 2, k = 0.

其中，?(m) 為可觀測(cè)數(shù)據(jù)集；θ(m)=mδ+為任意常數(shù)，δ∈R+.

由圖2（a）可清楚地看到，系統(tǒng)現(xiàn)狀態(tài)為周期或擬周期，計(jì)算得到此時(shí)Lyapunov 指數(shù)為L(zhǎng)1= 0，L2= -0.195，L3= -4.494，L4= -4.710，能夠證明系統(tǒng)處于周期狀態(tài).而后修改系統(tǒng)參數(shù)，保持初值不變，當(dāng)a= 1，b= 3，c= 2，k= 0時(shí)，系統(tǒng)處于混沌狀態(tài)，系統(tǒng)的0-1測(cè)試結(jié)果如圖2（b），符合混沌狀態(tài)時(shí)的軌跡.

3 參數(shù)對(duì)新系統(tǒng)的影響

3.1 大范圍混沌現(xiàn)象

改變系統(tǒng)參數(shù)會(huì)影響整個(gè)系統(tǒng)的混沌特性，通過對(duì)分岔圖和Lyapunov指數(shù)圖的分析，能夠深入了解混沌系統(tǒng)各個(gè)狀態(tài)下的不同性質(zhì).

當(dāng)a= 1，c= 2，k= 0，系統(tǒng)初值（x0，y0，z0，w0）=（2， 1， 2.5， 1）時(shí)， 可得改變b的值（b∈(1，6)）時(shí)系統(tǒng)的分岔圖如圖3.由圖3 可見，當(dāng)b∈(2.1，4.8)時(shí)，分岔圖上面的點(diǎn)是大量且密集的，這時(shí)新系統(tǒng)處于混沌狀態(tài).而當(dāng)b＞4.8后，系統(tǒng)出現(xiàn)了明顯的反倍周期分岔現(xiàn)象.

圖3 參數(shù)b改變時(shí)系統(tǒng)（2）的分岔圖Fig.3 Bifurcation diagram of system (2) when changing parameter b.

在不改變系統(tǒng)參數(shù)和初值的情況下，令b∈(1，6)，得到Lyapunov指數(shù)圖如圖4（a）.由圖4（a）可見，當(dāng)b= 3 時(shí)，系統(tǒng)處于混沌狀態(tài).當(dāng)b∈(2.1，4.8) 時(shí)，系統(tǒng)的Lyapunov 指數(shù)符合(+，0，-，-)，說(shuō)明此范圍內(nèi)系統(tǒng)（2）處于混沌狀態(tài)，與分岔圖分析一致.隨著系統(tǒng)參數(shù)b的增大，L3和L4都在逐漸減小，這意味著Lyapunov指數(shù)和將會(huì)越來(lái)越小.

圖4 （a）b ∈（1， 6）和（b）c ∈（0， 1 000）條件下的Lyapunov指數(shù)圖Fig.4 Lyapunov index chart on (a) b ∈ (1, 6) and(b) c ∈ (0, 1 000).

當(dāng)a= 1，b= 3，k= 0，系統(tǒng)初值(x0，y0，z0，w0)=(2， 1， 2.5， 1)時(shí)， 令c∈ （0， 1 000），得到Lyapunov指數(shù)圖如4（b）.此時(shí)的Lyapunov指數(shù)一直保持L1＞0、L2= 0、L3＜ 0和L4＜ 0，且L1和L2的圖像與L3和L4的圖像關(guān)于c= -1對(duì)稱，表明系統(tǒng)（2）具有大范圍混沌特性.實(shí)際上當(dāng)c= 1 × 104時(shí)，系統(tǒng)（2）的Lyapunov 指數(shù)L1＞ 0、L2= 0、L3＜ 0、L4＜ 0，系統(tǒng)仍處于混沌狀態(tài)，因此可說(shuō)新系統(tǒng)存在大范圍參數(shù)混沌特性.

3.2 共存吸引子

固定系統(tǒng)參數(shù)，通過改變系統(tǒng)初值，則會(huì)出現(xiàn)不同獨(dú)立的吸引子屬于吸引子共存.令系統(tǒng)參數(shù)保持不變，控制改變系統(tǒng)初值來(lái)觀察吸引子共存，得到系統(tǒng)的相圖如表1和圖5.

圖5 參數(shù)固定不同系統(tǒng)初值的x-w平面相圖 （a）（x0， y0， z0， w0） = （2， 1， 2.5， 1）， （a， b， c， k）=（2， 4.9， 2， 0）； （b）（x0， y0，z0， w0） = （-2， -1， -2.5， 1），（a， b， c， k） = （2， 4.9， 2， 0）； （c）（x0， y0， z0， w0） = （-1， 1， 3， 1），（a， b， c， k） = （2， 5.8， 2， 0）；（d）（x0， y0， z0， w0） = （2， 1， 3， 1），（a， b， c， k） = （2， 5.8， 2， 0）； （e）（x0， y0， z0， w0） = （-2， 1， 2.5， 1）， （a， b， c， k） = （2， 3， 2，0）； （f）（x0， y0， z0， w0） = （2， 1， 2.5， 1）， （a， b， c， k） = （2， 3， 2， 0）Fig.5 x-w plane phase diagram with fixed parameters for different initial values of the system. (a) (x0, y0, z0, w0) = (2, 1, 2.5, 1), (a, b, c,k) = (2, 4.9, 2, 0), (b) (x0, y0, z0, w0) = (-2, -1, -2.5, 1), (a, b, c, k) = (2, 4.9, 2, 0), (c) (x0, y0, z0, w0) = (-1, 1, 3, 1), (a, b, c, k) = (2, 5.8, 2,0), (d) (x0, y0, z0, w0) = (2, 1, 3, 1), (a, b, c, k) = (2, 5.8, 2, 0), (e) (x0, y0, z0, w0) = (-2, 1, 2.5, 1), (a, b, c, k) = (2, 3, 2, 0), and (f) (x0, y0, z0,w0) = (2, 1, 2.5, 1) (a, b, c, k) = (2, 3, 2, 0).

3.3 系統(tǒng)伸縮系數(shù)k

不再令k= 0，而是按照k= 0.1 × 10-n-m×10-2-n的規(guī)則使k依次遞減，選取有代表性的k值所對(duì)應(yīng)的相圖及Poincare截面圖，觀察隨著k的減小，吸引子在相空間中的變化.圖6 是k為0.1、0.08、0.06、0.04、0.02 和0.008 時(shí)，系統(tǒng)（2）的y-z-w三維相圖和z-w二維相圖.由圖6 可見，吸引子的體積與k值呈正相關(guān).

圖6 系統(tǒng)參數(shù)k減小時(shí)對(duì)應(yīng)的（a）y-z-w三維相圖和（b） z-w二維相圖Fig.6 (a) The 3D phase diagram of y-z-w and (b) the phase diagram of z-w corresponding to the decrease of system parameter k.

為驗(yàn)證該現(xiàn)象并非偶然，又選取x-y-z三維相圖（圖7（a））和x-y二維相圖（圖7（b）），觀察不同k值時(shí)相圖的變化.通過圖7（a）和（b）能夠發(fā)現(xiàn)，吸引子的體積隨著k值的減小緩慢減小，從二維相圖中能夠明顯看到，不同的相圖通過顏色的區(qū)分已經(jīng)發(fā)生了分層.為使驗(yàn)證更具說(shuō)服力，給出了當(dāng)z= 4.5時(shí)的Poincare截面圖，如圖7（c）.由圖7（c）可觀測(cè)到，截面的圖像隨著k值的減小而縮小，說(shuō)明吸引子的體積在變小.

圖7 系統(tǒng)參數(shù)k減小時(shí)對(duì)應(yīng)的相圖以及Poincare截面圖（a）x-y-z三維相圖； （b）x-y二維相圖； （c）z = 4.5時(shí)的Poincare截面圖Fig.7 Phase diagram and Poincare cross-sectional view corresponding to the reduction of system parameter k. (a) The 3D phase diagram of x-y-z, (b) the phase diagram of x-y , and(c) Poincare cross-sectional view at z = 4.5.

隨著k值的減小，發(fā)現(xiàn)吸引子體積并不會(huì)無(wú)限收縮，而是縮小至某一值后就保持不變.圖8 為k減小時(shí)對(duì)應(yīng)的y-z-w面和z-w面相圖，圖9 為k減小時(shí)對(duì)應(yīng)的x-y-z面和x-y面相圖以及z= 4.5時(shí)的Poincare截面圖.由圖8和圖9（a）、（b）可見，選取不同的三維相圖和二維相圖，當(dāng)k值達(dá)到0.001 時(shí)，吸引子體積就不再發(fā)生改變，由圖8（b）可清楚地看到，當(dāng)k= 1 × 10-3變換到k= 1 × 10-6時(shí)，吸引子相圖依然沒有縮小，而是保持不變，僅相圖的運(yùn)行軌跡不同，這種現(xiàn)象在圖9（b）中也能清晰地觀察到.另外，通過觀察圖9（c）中的Poincare 截面圖，也能夠看出相體積沒有發(fā)生縮小.

圖8 系統(tǒng)參數(shù)k減小時(shí)對(duì)應(yīng)的（a） y-z-w三維相圖和（b） z-w二維相圖Fig.8 (a) The 3D phase diagram of y-z-w and (b) the phase diagram of z-w corresponding to the decrease of system parameter k.

3.4 系統(tǒng)復(fù)雜度

復(fù)雜度分析能夠反映混沌系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)復(fù)雜度，在通信領(lǐng)域中系統(tǒng)復(fù)雜度與通信安全密切相關(guān).本研究使用譜熵（spectral entropy， SE）對(duì)新四維混沌系統(tǒng)進(jìn)行分析.

令系統(tǒng)初值（x0，y0，z0，w0）=（2， 1， 2.5， 1），參數(shù)a= 1，c= 3，k= 0 時(shí)，圖10 給出了系統(tǒng)在b∈ ［1， 7］時(shí)的譜熵復(fù)雜度（E）.由圖10 可見，SE的最大值（Emax）為0.8.對(duì)比本研究提出的系統(tǒng)（2）與近些年提出的5個(gè)較為先進(jìn)的混沌系統(tǒng)［21-25］的復(fù)雜度，結(jié)果如表2.其中，文獻(xiàn)［21］與文獻(xiàn)［23］中的混沌系統(tǒng)都具有吸引子共存現(xiàn)象；文獻(xiàn)［22］中的混沌系統(tǒng)有聲學(xué)方面的應(yīng)用；文獻(xiàn)［24］與文獻(xiàn)［25］中的混沌系統(tǒng)分別引入了三角函數(shù)和憶阻器.由表2可見，系統(tǒng)（2）的四維混沌系統(tǒng)的復(fù)雜度最高，在應(yīng)用中有更大優(yōu)勢(shì).

表2 不同混沌系統(tǒng)的復(fù)雜度對(duì)比Table 2 SE complexity comparison

圖10 隨參數(shù)b變化的SE復(fù)雜度Fig. 10 SE complexity varying with parameter b.

4 偏移升壓

近些年來(lái)，人們?cè)絹?lái)越重視混沌系統(tǒng)領(lǐng)域的應(yīng)用，發(fā)現(xiàn)了一類能夠通過控制混沌系統(tǒng)的狀態(tài)變量來(lái)實(shí)現(xiàn)偏移升壓，以此來(lái)改變自身信號(hào)的極性的系統(tǒng).這類系統(tǒng)可將雙極性信號(hào)改變?yōu)檎膯螛O信號(hào)和負(fù)的單極信號(hào)，該類系統(tǒng)在工程應(yīng)用時(shí)較傳統(tǒng)混沌系統(tǒng)更加有利，能夠通過改變信號(hào)的振幅來(lái)減少實(shí)際應(yīng)用中器件的使用.本研究對(duì)系統(tǒng)（2）的狀態(tài)變量y設(shè)置控制器進(jìn)行控制.設(shè)n為偏移升壓的控制器，將原狀態(tài)變量y改為y+n，則新系統(tǒng)的狀態(tài)方程（2）變?yōu)?/p>

令a= 1，b= 3，c= 2，k= 0，系統(tǒng)初值（x0，y0，z0，w0）= （2， 1， 2.5， 1），通過控制n的大小來(lái)觀察信號(hào)的變化，結(jié)果如圖11 所示.由圖11 可見，當(dāng)n= 0時(shí)，x-y平面的相圖在中間位置（黑色），當(dāng)n= 6 時(shí)，x-y平面的相圖下移（紅色），而當(dāng)n=-6時(shí)，x-y平面的相圖上移（藍(lán)色）.從圖11（b）可見，原始信號(hào)y為雙極性，在控制n的改變后，信號(hào)y出現(xiàn)了正單極性和負(fù)單極性.

圖11 改變控制器n的相圖偏移變化及y信號(hào)極性改變（a）相圖偏移變化； （b）y信號(hào)的時(shí)序圖變化Fig.11 The phase diagram offset change and the polarity of the y signal change change the controller n. (a) The phase diagram offset varies and (b) the timing diagram of the y signal changes.

以上結(jié)果說(shuō)明，引入偏移升壓控制器，有利于新系統(tǒng)更好地適應(yīng)實(shí)際應(yīng)用.

5 NIST測(cè)試

美國(guó)國(guó)家標(biāo)準(zhǔn)與技術(shù)研究所制定的隨機(jī)序列測(cè)試標(biāo)準(zhǔn)SP800-22 被稱為NIST 測(cè)試，共包括15 項(xiàng)測(cè)試，若通過這些測(cè)試，則可說(shuō)明混沌序列具有良好的偽隨機(jī)性.測(cè)試結(jié)果均使用P值表示，P值越大越好，顯著性指標(biāo)α∈ ［0.001， 0.01］，本研究取α= 0.01.將P值與設(shè)置的α做對(duì)比，若P＞α則認(rèn)為通過該項(xiàng)測(cè)試，反之，則不通過.按照NIST 測(cè)試的規(guī)定，被測(cè)序列的長(zhǎng)度N要保證在1 × 103～1 × 107，本研究取N= 1 × 106，測(cè)試結(jié)果見表3.

表3 系統(tǒng)（2）的NIST測(cè)試結(jié)果Table 3 NIST test results for system （2）

由表3 可見，在系統(tǒng)（2）的NIST 測(cè)試結(jié)果中，P值全部大于顯著性指標(biāo)0.01，因此可以說(shuō)明新系統(tǒng)（2）混沌序列有著良好偽隨機(jī)性.

結(jié) 語(yǔ)

基于YANG 和CHENG 的三維混沌系統(tǒng)［19］提出一個(gè)新的四維混沌系統(tǒng).對(duì)新系統(tǒng)進(jìn)行對(duì)稱性、耗散度、分維數(shù)、0-1 測(cè)試、平衡點(diǎn)、分岔圖和Lyapunov指數(shù)的動(dòng)力學(xué)分析，驗(yàn)證了新系統(tǒng)為四維混沌系統(tǒng).通過觀察參數(shù)c對(duì)系統(tǒng)的影響，驗(yàn)證了新系統(tǒng)具有超大范圍參數(shù)的混沌特性，且當(dāng)系統(tǒng)參數(shù)和初值發(fā)生改變時(shí)，出現(xiàn)吸引子共存的現(xiàn)象.觀察新系統(tǒng)的相圖和Poincare 截面圖發(fā)現(xiàn)，通過改變伸縮參數(shù)k，能夠控制混沌吸引子在相空間的大小，且當(dāng)k趨于一定值后，吸引子的大小不再發(fā)生變化.譜熵計(jì)算結(jié)果說(shuō)明系統(tǒng)具有較高的復(fù)雜度.設(shè)計(jì)新系統(tǒng)的偏置升壓控制器，表明新系統(tǒng)具有工程應(yīng)用價(jià)值.對(duì)新系統(tǒng)進(jìn)行NIST 測(cè)試，結(jié)果表明，新系統(tǒng)具有良好的為隨機(jī)性.本研究提出的新四維混沌系統(tǒng)在如偽隨機(jī)發(fā)射器、圖像加密等實(shí)際工程中的應(yīng)用具有較大的潛在價(jià)值.