指定任務(wù)空間的并聯(lián)機(jī)構(gòu)尺度參數(shù)多目標(biāo)優(yōu)化方法

石燦玉,邵 華,張 華

(1.武漢科技大學(xué)冶金裝備及其控制教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,湖北 武漢,430081;2.武漢科技大學(xué)機(jī)械傳動(dòng)與制造工程湖北省重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,湖北 武漢,430081;3.武漢科技大學(xué)精密制造研究院,湖北 武漢,430081)

并聯(lián)機(jī)構(gòu)具有高剛度、高精度和高速度的優(yōu)點(diǎn),廣泛應(yīng)用于電子、食品、醫(yī)藥等工業(yè)生產(chǎn)領(lǐng)域[1-3]。不同類(lèi)型的并聯(lián)機(jī)構(gòu)差異很大,并聯(lián)機(jī)構(gòu)的設(shè)計(jì)可分為類(lèi)型綜合[4]和尺度參數(shù)設(shè)計(jì)[5]。其中,尺度參數(shù)設(shè)計(jì)是并聯(lián)機(jī)構(gòu)研究領(lǐng)域的熱點(diǎn)問(wèn)題之一。

在對(duì)并聯(lián)機(jī)構(gòu)進(jìn)行尺度參數(shù)設(shè)計(jì)時(shí),首先要評(píng)估并聯(lián)機(jī)構(gòu)在工作空間內(nèi)的性能[6]。Salisbury等[7]定義了雅可比矩陣的條件數(shù)用于評(píng)估并聯(lián)機(jī)構(gòu)的靈巧性[8]。Gosselin等[9]提出了整個(gè)工作空間內(nèi)的雅可比條件數(shù)指標(biāo)GCI,但存在機(jī)構(gòu)轉(zhuǎn)動(dòng)和平動(dòng)時(shí)雅可比矩陣量綱不統(tǒng)一的問(wèn)題[10]。Tsai等[11]定義了機(jī)構(gòu)的傳遞特性和可操作性。Liu等[12]定義了描述機(jī)構(gòu)位形的局部傳遞指標(biāo)LTI以及工作空間內(nèi)整體的運(yùn)動(dòng)/力傳遞性能的全局傳遞指標(biāo)GTI,二者均獨(dú)立于參考坐標(biāo)系[13]。不過(guò),以上研究大多基于并聯(lián)機(jī)構(gòu)在全局可達(dá)工作空間的性能分布,并不能準(zhǔn)確描述指定任務(wù)空間的性能分布。此外,因機(jī)構(gòu)的全局可達(dá)工作空間通常比工程應(yīng)用場(chǎng)合的指定任務(wù)空間大得多,故而易導(dǎo)致計(jì)算過(guò)程中的計(jì)算量和計(jì)算時(shí)間增加。在正確評(píng)估工作空間內(nèi)并聯(lián)機(jī)構(gòu)性能分布的基礎(chǔ)上,可采用優(yōu)化設(shè)計(jì)方法獲得最優(yōu)的尺度參數(shù)。一類(lèi)方法是通過(guò)構(gòu)造參數(shù)設(shè)計(jì)空間,利用搜索法找到機(jī)構(gòu)性能評(píng)價(jià)最佳的尺度參數(shù)。如Bi等[14]提出了一種無(wú)量綱模型的性能圖譜方法,基于運(yùn)算搜索方法獲得性能最優(yōu)的尺度參數(shù)。Xie等[15]應(yīng)用性能圖譜方法優(yōu)化了并聯(lián)機(jī)構(gòu)尺度參數(shù)并實(shí)現(xiàn)了大轉(zhuǎn)角輸出。另一類(lèi)方法是通過(guò)智能算法來(lái)優(yōu)化尺度參數(shù)。如Wu等[16]利用遺傳算法對(duì)biglide和Ragnar并聯(lián)機(jī)構(gòu)的剛度性能、運(yùn)動(dòng)學(xué)性能、工作空間和動(dòng)力學(xué)性能進(jìn)行了優(yōu)化。Che等[17]采用進(jìn)化算法來(lái)優(yōu)化 4-RUPaR并聯(lián)機(jī)構(gòu)尺度參數(shù),達(dá)到最大化工作空間的目的。文世坤[18]使用人工蜂群算法優(yōu)化4-PRPaU并聯(lián)機(jī)構(gòu)的尺度參數(shù)。但是,在工程應(yīng)用過(guò)程中,將并聯(lián)機(jī)構(gòu)的尺度參數(shù)無(wú)量綱化后,很難考慮尺度參數(shù)如基座、移動(dòng)平臺(tái)或鏈接的最大/最小尺度等的約束。有鑒于此,本文提出一種新的基于指定任務(wù)空間的尺度參數(shù)多目標(biāo)優(yōu)化方法,即考慮并聯(lián)機(jī)構(gòu)的指定工作空間和實(shí)際幾何約束,采用一種新指標(biāo)來(lái)評(píng)估并聯(lián)機(jī)構(gòu)在指定任務(wù)空間上的性能分布并構(gòu)建新的參數(shù)設(shè)計(jì)空間,從而獲得機(jī)構(gòu)尺度參數(shù)的最優(yōu)解。通過(guò)對(duì)Delta并聯(lián)機(jī)構(gòu)實(shí)施基于指定任務(wù)空間的尺度參數(shù)優(yōu)化,將本文所提方法與傳統(tǒng)的全局可達(dá)空間尺度參數(shù)優(yōu)化方法進(jìn)行比較,以期為并聯(lián)機(jī)構(gòu)尺度參數(shù)設(shè)計(jì)的研究提供參考。

1 指定任務(wù)空間的尺度參數(shù)多目標(biāo)優(yōu)化方法

使用歸一化方法[19]來(lái)獲得有限的設(shè)計(jì)空間時(shí),尺度參數(shù)會(huì)因無(wú)量綱化而導(dǎo)致物理意義丟失,同時(shí)也難以保持尺度參數(shù)與指定工作空間的聯(lián)系。要解決這些問(wèn)題,需要建立一種新的方法,既能將并聯(lián)機(jī)構(gòu)的尺度參數(shù)縮小到有限的范圍,又能保持尺度參數(shù)與指定任務(wù)空間的聯(lián)系。因?yàn)橹付ㄈ蝿?wù)空間的并聯(lián)機(jī)構(gòu)旋轉(zhuǎn)自由度即弧度本身就是一種無(wú)量綱參數(shù),所以主要針對(duì)并聯(lián)機(jī)構(gòu)在指定任務(wù)空間的平移度長(zhǎng)度單位即標(biāo)準(zhǔn)尺度長(zhǎng)度來(lái)保持聯(lián)系。使用歸一化方法將標(biāo)準(zhǔn)尺度長(zhǎng)度與尺度參數(shù)無(wú)量綱化,可獲得基于指定任務(wù)空間有限范圍的參數(shù)設(shè)計(jì)空間,而并聯(lián)機(jī)構(gòu)的尺度參數(shù)與指定任務(wù)空間也保持著一定的比例關(guān)系。將指定任務(wù)空間轉(zhuǎn)變?yōu)橥壤s放的尺度參數(shù),就能保持尺度參數(shù)與指定任務(wù)空間的聯(lián)系。

在本研究中,首先基于并聯(lián)機(jī)構(gòu)尺度參數(shù)和指定任務(wù)空間構(gòu)建新的參數(shù)設(shè)計(jì)空間;然后檢驗(yàn)其中的尺度參數(shù)是否滿足約束與逆運(yùn)動(dòng)學(xué)方程,剔除超出約束和逆運(yùn)動(dòng)學(xué)方程無(wú)實(shí)數(shù)解的參數(shù);最后基于本文提出的指定任務(wù)空間的性能指標(biāo)來(lái)評(píng)估并聯(lián)機(jī)構(gòu)的性能,采用搜索法得到并聯(lián)機(jī)構(gòu)的最優(yōu)尺度參數(shù),并驗(yàn)證機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)/力傳遞性能。該方法的技術(shù)路線如圖1所示,詳細(xì)過(guò)程如下:

圖1 任務(wù)空間尺度參數(shù)多目標(biāo)優(yōu)化方法流程圖

步驟1)建立尺度參數(shù)的設(shè)計(jì)空間。理論上尺度參數(shù)可以從0到∞,但這樣不利于尋求尺度參數(shù)最優(yōu)值。因此,為了同時(shí)描述指定任務(wù)空間w,將采用歸一化方法在指定任務(wù)空間和尺度參數(shù)上建立新的參數(shù)設(shè)計(jì)空間;

步驟2)通過(guò)考慮尺度參數(shù)的約束,驗(yàn)證尺度參數(shù)是否滿足約束;

步驟3)計(jì)算機(jī)構(gòu)的逆運(yùn)動(dòng)學(xué)方程,刪除逆運(yùn)動(dòng)學(xué)方程沒(méi)有實(shí)數(shù)解的參數(shù),主要是因?yàn)樵搮?shù)無(wú)法到達(dá)指定任務(wù)空間w;

步驟4)采用本文提出的一個(gè)指定任務(wù)空間的性能指標(biāo)來(lái)評(píng)估并聯(lián)機(jī)構(gòu)的性能分布,然后找出性能指標(biāo)最優(yōu)的尺度參數(shù);

步驟5)計(jì)算最優(yōu)尺度參數(shù)在指定任務(wù)空間上的性能分布,驗(yàn)證優(yōu)化效果。

1.1 尺度參數(shù)的設(shè)計(jì)空間

使用歸一化方法建立并聯(lián)機(jī)構(gòu)的有限參數(shù)設(shè)計(jì)空間。假設(shè)要優(yōu)化的并聯(lián)機(jī)構(gòu)有m個(gè)尺度參數(shù),可以用線性化形式表示,有

L=[L1L2…Lm]L∈m

(1)

式中,Li是并聯(lián)機(jī)構(gòu)的第i個(gè)設(shè)計(jì)參數(shù),例如移動(dòng)平臺(tái)的半徑、連桿長(zhǎng)度等,數(shù)字m是指待優(yōu)化的尺度參數(shù)總數(shù)。

提出一個(gè)包含指定任務(wù)空間和尺度參數(shù)L的新設(shè)計(jì)空間來(lái)解決歸一化后尺度參數(shù)與指定任務(wù)空間聯(lián)系丟失的問(wèn)題。例如,可以引入額外的標(biāo)準(zhǔn)尺度長(zhǎng)度Lm+1=1 m,并且可以基于標(biāo)準(zhǔn)尺度長(zhǎng)度Lm+1來(lái)表示指定任務(wù)空間w。對(duì)于任一P∈w,它由移動(dòng)平臺(tái)的平移向量p和旋轉(zhuǎn)向量v組成,即

P=[pv],P∈w

(2)

位姿點(diǎn)P可以表示為

(3)

D=(L1+L2+…+m+Lm+1)/(m+1)

(4)

di=Li/D(i=1,2,…,m+1)

(5)

(6)

(7)

由式(5)和式(6)可以得出

d1+d2+…+dm+dm+1=m+1

(8)

Li=diLm+1/dm+1(i=1,2,…,m)

(9)

1.2 參數(shù)約束判斷

并聯(lián)機(jī)構(gòu)的尺度參數(shù)有許多約束,如幾何約束、奇異性約束等,這些約束可以用相關(guān)參數(shù)的幾何方程和長(zhǎng)度限制不等式來(lái)描述,表示為參數(shù)L的約束函數(shù),即

g(L)=0

(10)

(11)

1.3 判斷任務(wù)點(diǎn)到達(dá)的參數(shù)空間

f(L,P)=q

(12)

該式也可以轉(zhuǎn)化為歸一化形式

(13)

1.4 任務(wù)空間中的性能評(píng)估

在評(píng)估并聯(lián)機(jī)構(gòu)的指定任務(wù)空間性能之前,必須計(jì)算指定任務(wù)空間的性能指標(biāo)。局部傳遞指標(biāo)(LTI)和全局傳遞指標(biāo)(GTI)主要針對(duì)全局可達(dá)空間的并聯(lián)機(jī)構(gòu),并不適合指定的任務(wù)空間,故而采用指定任務(wù)空間傳遞指標(biāo)(TWTI),有

(14)

式中,Ψ是具有參數(shù)L的并聯(lián)機(jī)構(gòu)任務(wù)工作空間中每個(gè)位姿點(diǎn)P的LTI指數(shù)。Γ表示LTI在指定任務(wù)空間中的平均分布,較大的Γ表示該并聯(lián)機(jī)構(gòu)在指定任務(wù)空間上具有更好的運(yùn)動(dòng)/力傳遞能力。任務(wù)空間傳遞指標(biāo)TWTI也可以標(biāo)準(zhǔn)化形式使用,即

(15)

2 案例-Delta并聯(lián)機(jī)構(gòu)的優(yōu)化

Delta是一個(gè)應(yīng)用非常廣泛的三平移并聯(lián)機(jī)構(gòu),許多研究者基于全局可達(dá)空間對(duì)其進(jìn)行了尺度參數(shù)優(yōu)化[20]。本研究基于指定任務(wù)空間上的Delta并聯(lián)機(jī)構(gòu),實(shí)現(xiàn)機(jī)構(gòu)性能與尺度參數(shù)約束的綜合多目標(biāo)尺度參數(shù)優(yōu)化,并與傳統(tǒng)全局可達(dá)空間優(yōu)化方法進(jìn)行比較。

2.1 尺度參數(shù)的設(shè)計(jì)空間

圖2所示為Delta并聯(lián)機(jī)構(gòu)。該并聯(lián)機(jī)構(gòu)采用對(duì)稱原理設(shè)計(jì),由靜平臺(tái)A1A2A3、動(dòng)平臺(tái)C1C2C3和三個(gè)支鏈AiBiCi(i=1,2,3)組成,γ1、α1分別為正、負(fù)傳動(dòng)角。連桿A1B1、A2B2與A3B3長(zhǎng)度相等,連桿BiCi(i=1,2,3)的長(zhǎng)度也相等,動(dòng)平臺(tái)C1C2C3的半徑通常固定以便于在移動(dòng)平臺(tái)上安裝操作器,為方便研究,本文將其設(shè)定為200 mm。設(shè)定靜平臺(tái)A1A2A3的半徑L1,支鏈A1B1和B1C1的長(zhǎng)度分別為L(zhǎng)2和L3。則需優(yōu)化的參數(shù)可以表示為

圖2 Delta并聯(lián)機(jī)構(gòu)示意圖

L=[L1L2L3]

(16)

Delta并聯(lián)機(jī)構(gòu)具有3個(gè)平移度,工作空間為三維立方體。指定任務(wù)空間w尺度為400 mm×400 mm×800 mm,附加參數(shù)L4為200 mm,則w可以表示為2L4×2L4×4L4。對(duì)于任何點(diǎn)P∈w,有

P=[pv]

(17)

D=(L1+L2+L3+L4)/4

(18)

di=Li/D(i=1,2,3,4)

(19)

(20)

(21)

(22)

2.2 參數(shù)約束判斷

(23)

(24)

2.3 逆解

2.4 性能指標(biāo)

λi=|sinγi|

(25)

ηi=|sinαi|

(26)

Ψ=min{λiηi},(i=1,2,3)

(27)

任務(wù)空間性能指標(biāo)TWTI可以描述為

(28)

2.5 參數(shù)優(yōu)化結(jié)果

2.5.1 參數(shù)優(yōu)化結(jié)果分析

機(jī)構(gòu)不同約束條件下的不同優(yōu)化結(jié)果如下:

圖3 任務(wù)工作空間傳輸指數(shù)隨約束的分布

圖4 具有參數(shù)限制的TWTIΓ的分布

2.5.2 優(yōu)化結(jié)果比較

為了確定本文所提優(yōu)化方法在并聯(lián)機(jī)構(gòu)的指定任務(wù)空間上能否獲得更好的效果,在此對(duì)其及傳統(tǒng)方法所得最優(yōu)尺度參數(shù)結(jié)果的LTI分布進(jìn)行比較。選取傳統(tǒng)的全局可達(dá)空間優(yōu)化方法的尺度參數(shù)為:L1=200 mm,L2=600 mm、L3=800 mm。圖5所示為不同方法和約束條件下的最優(yōu)參數(shù)LTI分布。其中圖5(a)給出了傳統(tǒng)全局可達(dá)空間方法下的最優(yōu)參數(shù)的LTI分布,最大LTI為0.8503,LTI平均值為0.672;圖5(b)給出了第一個(gè)約束條件下的最優(yōu)參數(shù)的LTI分布,最大LTI為0.9288,LTI平均值為0.9083;圖5(c)給出了第二個(gè)約束條件的最優(yōu)參數(shù)LTI分布情況,最大LTI為0.9826,LTI均值為0.7971。所有的最優(yōu)尺度參數(shù)和相應(yīng)的LTI結(jié)果見(jiàn)表1。由表1可見(jiàn),無(wú)論是指定任務(wù)空間上的最大LTI還是平均LTI,都明顯優(yōu)于傳統(tǒng)的全局可達(dá)空間方法,這證明了指定任務(wù)空間的尺度參數(shù)優(yōu)化方法的有效性。在不受機(jī)構(gòu)長(zhǎng)度限制的情況下,指定任務(wù)空間上的平均LTI可以達(dá)到0.9083,但靜平臺(tái)和支鏈A1B1的尺度過(guò)大,當(dāng)指定任務(wù)空間w僅為400 mm×400 mm×800 mm時(shí),它們分別超過(guò)4500 mm和7200 mm,這對(duì)于工程應(yīng)用是不實(shí)際的。在第二種約束情況下,對(duì)靜平臺(tái)的半徑和支鏈A1B1和B1C1的長(zhǎng)度,給出了最大尺度約束800 mm,并且最優(yōu)參數(shù)L1,L2和L3都滿足約束,同時(shí)特定任務(wù)空間上的平均LTI為0.7971,表明該機(jī)構(gòu)的良好性能。

表1 不同方法和約束條件下的優(yōu)化結(jié)果

(a)傳統(tǒng)全局可達(dá)空間方法的LTI分布

圖6～圖8所示為不同優(yōu)化方法下y-z、x-z和x-y三個(gè)截面上任務(wù)空間中心的LTI分布。以圖8為例,圖8(a)為傳統(tǒng)全局可達(dá)空間方法的最優(yōu)尺度參數(shù)LTI分布圖的x-y截面,參數(shù)最大值為0.84,最小值為0.72。圖8(b)為第一種約束條件下最優(yōu)尺度參數(shù)LTI分布圖的x-y截面,參數(shù)最大值為0.925,最小值為0.905。圖8(c)為第二種約束條件下最優(yōu)尺度參數(shù)LTI分布圖的x-y截面,參數(shù)最大值為0.97,最小值為0.92。相比之下,第二種約束情況在并聯(lián)機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)/力傳遞性能方面明顯優(yōu)于傳統(tǒng)全局可達(dá)空間優(yōu)化方法和第一種約束情況。通過(guò)上述三種方法的比較,表明本文所提出的方法在不同約束的指定任務(wù)空間中明顯比傳統(tǒng)全局可達(dá)優(yōu)化方法更有效。證明了指定任務(wù)空間優(yōu)化方法可以有效地求解具有尺度參數(shù)約束的并聯(lián)機(jī)構(gòu)的最優(yōu)尺度參數(shù)。

(a)傳統(tǒng)的全局可達(dá)空間方法 (b) 第一約束條件 (c) 第二約束條件

(a)傳統(tǒng)的全局可達(dá)空間方法 (b) 第一約束條件 (c) 第二約束條件

(a)傳統(tǒng)全局可達(dá)空間方法 (b) 第一約束條件 (c) 第二約束條件

3 結(jié)語(yǔ)

本文提出了一種基于指定任務(wù)空間的并聯(lián)機(jī)構(gòu)尺度參數(shù)多目標(biāo)優(yōu)化方法,并借助機(jī)構(gòu)的幾何約束和性能評(píng)估獲得了最優(yōu)參數(shù)。針對(duì)某些工程應(yīng)用中傳統(tǒng)的并聯(lián)機(jī)構(gòu)全局可達(dá)空間尺度參數(shù)優(yōu)化設(shè)計(jì)方法不適用于指定任務(wù)空間的問(wèn)題,通過(guò)改進(jìn)尺度參數(shù)設(shè)計(jì)空間方法,引入TWTI性能指標(biāo)來(lái)評(píng)估指定任務(wù)空間下的性能,使得指定任務(wù)空間下的并聯(lián)機(jī)構(gòu)具有更好的性能。該方法可以針對(duì)個(gè)性化的工程應(yīng)用需求引入不同的尺度參數(shù)約束要求,實(shí)現(xiàn)機(jī)構(gòu)性能與尺度參數(shù)約束的綜合多目標(biāo)尺度參數(shù)優(yōu)化,滿足差異化需求,達(dá)到并聯(lián)機(jī)構(gòu)的最佳性能。以Delta并聯(lián)機(jī)構(gòu)為例,與傳統(tǒng)的全局可達(dá)空間優(yōu)化方法相比,利用本文新方法時(shí),指定空間的LTImax從0.850 3提高到0.982 6,LTIave從0.672提高到0.7971,新優(yōu)化方法的有效性得到充分證明。該方法適用于并聯(lián)機(jī)構(gòu)指定任務(wù)空間下的尺度參數(shù)優(yōu)化。下一步將考慮利用智能算法提高計(jì)算效率,使其更適用于并聯(lián)機(jī)構(gòu)的尺度參數(shù)優(yōu)化問(wèn)題。