基于匝數(shù)氣隙雙分段的改進(jìn)繞組函數(shù)解析分析方法*

倪榮剛 蔡亞倩 韓思雨 趙 詠

(1.青島大學(xué)電氣工程學(xué)院 青島 266071；2.大連海事大學(xué)船舶電氣工程學(xué)院 大連 116026)

1 引言

近年來(lái)，隨著高端制造業(yè)的飛速發(fā)展，位置伺服系統(tǒng)已廣泛應(yīng)用于航空航天、電動(dòng)汽車(chē)、機(jī)器人等領(lǐng)域[1]。位置檢測(cè)是位置伺服系統(tǒng)最主要的需求之一[2-5]。目前常用的位置傳感器有三種，分別為光學(xué)編碼器、霍爾傳感器[6]和旋轉(zhuǎn)變壓器[7]。光學(xué)編碼器基于光電原理，具有體積小、精度高等優(yōu)點(diǎn)。然而，光學(xué)編碼器由于復(fù)雜的光學(xué)結(jié)構(gòu)、較高的制造成本以及對(duì)應(yīng)用環(huán)境的苛刻要求等缺點(diǎn)，其廣泛應(yīng)用受到了限制[8]。相比之下，旋轉(zhuǎn)變壓器性能更加優(yōu)越。在所有的旋轉(zhuǎn)變壓器中，可變磁阻式旋轉(zhuǎn)變壓器(Variable reluctance resolvers，VRRs)憑借其結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單、可靠性高以及經(jīng)久耐用等優(yōu)點(diǎn)脫穎而出[9-11]，并被廣泛應(yīng)用于高溫、高濕、強(qiáng)振動(dòng)等工作環(huán)境[12-14]。

解析分析法和有限元法[15-18](Finite element analysis，F(xiàn)EA)都可用于分析VRR 的電磁性能。前者最具代表性的方法是繞組函數(shù)法[19](Winding function approach，WFA)和改進(jìn)的繞組函數(shù)法[20-22](Modified winding function approach，MWFA)。WFA 于1998年被提出[23]，主要用于分析均勻氣隙電機(jī)。為了準(zhǔn)確分析非均勻氣隙，在 WFA 的基礎(chǔ)上提出了MWFA。文獻(xiàn)[24]提出了一種基于WFA 建立電機(jī)數(shù)學(xué)模型的方法，并利用該方法建立了可變磁通磁阻電機(jī)的數(shù)學(xué)模型。文獻(xiàn)[25]在WFA 的基礎(chǔ)上建立了具有對(duì)稱(chēng)繞組結(jié)構(gòu)的雙三相永磁同步電機(jī)解析模型，計(jì)算了相間自感和互感，并與FEA 分析結(jié)果進(jìn)行對(duì)比，驗(yàn)證了計(jì)算結(jié)果的準(zhǔn)確性。文獻(xiàn)[26]利用MWFA 對(duì)三相凸極同步電機(jī)進(jìn)行建模，并考慮了多種非理想因素。

眾所周知，永磁同步電機(jī)(Permanent magnet synchronous machines，PMSMs)具有效率高、功率因數(shù)高、起動(dòng)轉(zhuǎn)矩大等優(yōu)點(diǎn)[27-29]，在功率轉(zhuǎn)換方面具有優(yōu)勢(shì)[30-32]。因此，文獻(xiàn)[33]提出了一種將VRR作為內(nèi)電機(jī)徑向集成在PMSM 內(nèi)部的混合雙定子電機(jī)結(jié)構(gòu)，而后采用MWFA 對(duì)其內(nèi)電機(jī)進(jìn)行解析分析。然而，槽開(kāi)口處的氣隙磁通密度以及勵(lì)磁繞組自感波形與FEA 結(jié)果存在拓?fù)洳町?。針?duì)上述問(wèn)題，本文對(duì)線圈匝數(shù)分布函數(shù)和氣隙函數(shù)進(jìn)行修正，并提出分段繞組函數(shù)法(Segmented winding function method，SWFM)。

本文結(jié)構(gòu)安排如下。首先，介紹電機(jī)模型及其主要參數(shù)，并給出MWFA 和漏感的計(jì)算公式。然后，闡述線圈匝數(shù)分布函數(shù)的修正過(guò)程，并計(jì)算氣隙磁通密度。最后，對(duì)氣隙函數(shù)進(jìn)行修正后提出SWFM，并采用該方法對(duì)VRR 進(jìn)行解析分析，將計(jì)算結(jié)果與FEA 分析結(jié)果進(jìn)行對(duì)比，驗(yàn)證其有效性。

2 解析模型與傳統(tǒng)計(jì)算方法

2.1 模型及主要參數(shù)

將VRR 集成到PMSM 中，可以減少安裝位置傳感器所占用的軸向空間，提高系統(tǒng)轉(zhuǎn)矩密度?；旌想p定子電機(jī)的結(jié)構(gòu)如圖1 所示。

圖1 混合雙定子電機(jī)結(jié)構(gòu)圖

混合雙定子電機(jī)的橫截面如圖2 所示。外電機(jī)為6極36槽的PMSM，內(nèi)電機(jī)為8槽的內(nèi)定子VRR。其中，內(nèi)定子VRR 三維模型如圖3 所示，其中?Ref為靜止坐標(biāo)系參考點(diǎn)，取為勵(lì)磁繞組和余弦繞組的公共軸線；θRef為旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系參考點(diǎn)，取為最小氣隙與?Ref重合處。S為旋變定子外緣的圓柱面。路徑abcd為在靜止參考系中繪制的一個(gè)扇形，其中直線和直線分別沿徑向垂直穿過(guò)氣隙，被氣隙截取為直線和直線。

圖2 混合雙定子機(jī)器的橫截面圖

圖3 VRR 三維模型及標(biāo)注

圖3 中，sφ和tφ分別表示一個(gè)定子槽和一個(gè)定子齒所跨過(guò)的角度，二者滿(mǎn)足

式中，Z為定子槽數(shù)，由模型可知其值為8。

VRR 共有三套繞組，分別為勵(lì)磁繞組、正弦繞組和余弦繞組，其最大每齒匝數(shù)分別用Nexc、Nsin和Ncos表示。VRR 的主要參數(shù)如表1 所示。

表1 VRR 的主要參數(shù)

該VRR 的氣隙長(zhǎng)度隨機(jī)械角度的變化而變化，即氣隙長(zhǎng)度是不均勻的。氣隙長(zhǎng)度與機(jī)械角度的關(guān)系定義為氣隙函數(shù)，用g(?,θ)表示為

式中，θ和?分別表示從θRef和?Ref開(kāi)始的角度；K代表調(diào)整因子，綜合考慮各種因素，K取值為1.6。

圖3 中提出的模型是基于MWFA 的。在分析之前，作出如下假設(shè)：① 磁性材料的磁導(dǎo)率無(wú)窮大；② 端部漏感忽略不計(jì)；③ 線圈匝數(shù)分布函數(shù)為階躍函數(shù)；④ 氣隙函數(shù)不計(jì)槽開(kāi)口。

2.2 常規(guī)計(jì)算方法

由于正弦繞組和余弦繞組電流幾乎為零，因此只考慮勵(lì)磁電流。由安培定律可知，沿閉合路徑abcd的磁場(chǎng)強(qiáng)度H滿(mǎn)足

式中，iexc代表勵(lì)磁繞組電流；nexc是勵(lì)磁繞組的線圈匝數(shù)分布函數(shù)；F為磁動(dòng)勢(shì)。

對(duì)于圖3 中的S，根據(jù)高斯定律可得

式中，B為磁通密度；H(?,θ)為氣隙磁場(chǎng)強(qiáng)度的徑向分量；μ0為空氣磁導(dǎo)率。Rso和Lef的取值參考表1。

經(jīng)分析計(jì)算，可得改進(jìn)繞組函數(shù)為

這里有

其中

因此，氣隙磁通密度為

勵(lì)磁繞組中的磁鏈為

勵(lì)磁繞組的電樞自感為

同理可得，勵(lì)磁繞組和正余弦繞組磁鏈為

勵(lì)磁繞組和正余弦繞組之間的電樞互感為

2.3 漏感的計(jì)算

漏感主要由槽漏感、齒頂漏感和端部漏感組成。根據(jù)假設(shè)②可知端部漏感忽略不計(jì)。由于漏感的計(jì)算不是本文重點(diǎn)，因此只給出了槽漏感和齒頂漏感的基本計(jì)算公式，不再詳細(xì)分析。

槽漏感為

式中，λσs為槽比漏磁導(dǎo)。

齒頂漏感為

式中，λσt為齒頂比漏磁導(dǎo)，可以表示為

式中，gavg為VRR 的平均氣隙長(zhǎng)度，可以表示為

3 修正線圈匝數(shù)分布函數(shù)

根據(jù)假設(shè)③，線圈匝數(shù)分布函數(shù)被視為階躍函數(shù)。MWFA 計(jì)算得到的氣隙磁通密度曲線在定子槽開(kāi)口處與FEA 擬合結(jié)果較差，為解決此問(wèn)題，需要對(duì)線圈匝數(shù)分布函數(shù)進(jìn)行修正。

勵(lì)磁繞組線圈匝數(shù)與機(jī)械角度之間的關(guān)系定義為線圈匝數(shù)分布函數(shù)，用nexc(?)表示。正弦繞組和余弦繞組的線圈匝數(shù)函數(shù)分別用nsin(?)和ncos(?)表示。本節(jié)主要描述勵(lì)磁繞組線圈匝數(shù)分布函數(shù)的修正過(guò)程。為便于表述，修正勵(lì)磁繞組線圈匝數(shù)分布函數(shù)時(shí)，將不展示正弦繞組和余弦繞組。

未經(jīng)修正的勵(lì)磁繞組線圈匝數(shù)分布函數(shù)如圖4中 的nexc(Con)所 示， 當(dāng)?的 取 值 范 圍 為[(2i–3)?t/2+(i–1)?s]～[(2i–1)?t/2+(i–1)?s]，且定子齒標(biāo)號(hào)i取奇數(shù)時(shí)，nexc(Con)(?)為

圖4 定子展開(kāi)圖及修正前后的線圈匝數(shù)分布函數(shù)

當(dāng)定子齒標(biāo)號(hào)i取偶數(shù)時(shí)，nexc(Con)(?)為

當(dāng)?的取值范圍為[(2j–1)?t/2+(j–1)?s]～[(2j–1)·?t/2+j?s]時(shí)，其中j為定子槽標(biāo)號(hào)，nexc(Con)(?)為

定子展開(kāi)圖以及修正前后的勵(lì)磁繞組線圈匝數(shù)分布函數(shù)如圖4 所示，其中繞組函數(shù)過(guò)渡區(qū)域?yàn)?s。

從圖4 可以看出，定子槽中兩個(gè)勵(lì)磁繞組的極性相同，而相鄰兩個(gè)槽中繞組的極性則不同。以第1、2 號(hào)兩個(gè)定子槽為例，分析線圈匝數(shù)分布函數(shù)的表達(dá)式。線圈匝數(shù)在第一個(gè)定子槽的位置開(kāi)始逐漸增加，雖然第二個(gè)槽中的線圈匝數(shù)也增加了，但由于極性不同，表現(xiàn)在線圈匝數(shù)分布函數(shù)中便是匝數(shù)逐漸減少。其他六個(gè)槽也以這種方式依次分析。考慮到這些因素，將圖4 中的線圈匝數(shù)分布函數(shù)nexc(Con)(?)修改為nexc(Seg)(?)。

只有當(dāng)?的取值范圍為[(2j–1)?t/2+(j–1)?s]～[(2j–1)?t/2+j?s]時(shí)，nexc(Seg)(?)的表達(dá)式與nexc(Con)(?)不同，其余范圍均相同。

由MWFA 計(jì)算得到的氣隙磁通密度為

式中，M(Con)(?,θ)為線圈匝數(shù)分布函數(shù)未修正分段時(shí)的改進(jìn)繞組函數(shù)。

僅修正線圈匝數(shù)分布函數(shù)之后的氣隙磁通密度為

式中，M(SegO)(?,θ)為只修正線圈匝數(shù)分布函數(shù)時(shí)的改進(jìn)繞組函數(shù)。

當(dāng)轉(zhuǎn)子位置θ=0、勵(lì)磁電流iexc=0.05 A 時(shí)，氣隙磁通密度計(jì)算結(jié)果如圖5 所示。在槽開(kāi)口處，通過(guò)MWFA 計(jì)算的氣隙磁鏈密度為恒定值，顯然與FEA 的計(jì)算結(jié)果不符。而修正線圈匝數(shù)分布函數(shù)后的計(jì)算結(jié)果Br(SegO)與Br(FEA)非常接近，充分證明對(duì)線圈匝數(shù)分布函數(shù)進(jìn)行修正的有效性。

圖5 轉(zhuǎn)子位置θ=0、勵(lì)磁電流iexc=0.05 A 時(shí)，氣隙磁通密度波形計(jì)算對(duì)比

4 修正氣隙函數(shù)

在之前的工作中，通過(guò)MWFA 計(jì)算得到的勵(lì)磁繞組自感在完整機(jī)械周期中為恒定值，雖然其平均值與FEA 計(jì)算結(jié)果較為吻合，但波形仍有出入。為解決此問(wèn)題，本節(jié)將考慮假設(shè)④中提到的槽開(kāi)口影響，并修正氣隙函數(shù)。

未修正時(shí)的氣隙函數(shù)用g(Con)(?,θ)表示為

定子槽內(nèi)及其附近氣隙處的磁通分布如圖6 所示。由圖6 可以看出，在槽開(kāi)口處仍有部分磁通通過(guò)氣隙，因此應(yīng)考慮槽開(kāi)口的影響。定子槽的尺寸如表2 所示。

表2 定子槽尺寸

圖6 定子槽內(nèi)以及槽開(kāi)口附近的磁場(chǎng)分布

為了使計(jì)算結(jié)果更加準(zhǔn)確，槽開(kāi)口處氣隙長(zhǎng)度應(yīng)充分考慮磁場(chǎng)分布和定子槽開(kāi)口的影響，而定子齒處的氣隙長(zhǎng)度則應(yīng)保持不變。因此，修正后的氣隙函數(shù)為分段函數(shù)。分段的氣隙函數(shù)用g(Seg)(?,θ)表示

式 中，?的 取 值 范 圍 為[(2j–1)?t/2+(j–1)?s]～[(2j–1)?t/2+j?s]，j為定子槽標(biāo)號(hào)。

當(dāng)轉(zhuǎn)子位置θ=0 時(shí)，氣隙函數(shù)如圖7 所示，其中g(shù)(Con)和g(Seg)分別表示修正前后的氣隙函數(shù)。

圖7 當(dāng)轉(zhuǎn)子位置θ=0 時(shí)，修正前后的氣隙函數(shù)

可見(jiàn)，所提方法是在常規(guī)計(jì)算方法的基礎(chǔ)上，對(duì)線圈匝數(shù)分布函數(shù)和氣隙函數(shù)進(jìn)行了分段修正，因此將所提方法定義為分段繞組函數(shù)法(Segmented winding function method，SWFM)。

由SWFM 計(jì)算出的氣隙通量密度為

式中，M(SegA)(?,θ)為將線圈匝數(shù)分布函數(shù)和氣隙函數(shù)同時(shí)分段時(shí)的修正繞組函數(shù)。

當(dāng)轉(zhuǎn)子位置θ=0、勵(lì)磁電流iexc=0.05 A 時(shí)，采用SWFM計(jì)算得到的氣隙磁通密度波形Br(SegA)如圖8 所示。由圖8 可以發(fā)現(xiàn)，解析得到的氣隙磁通密度在定子槽開(kāi)口處與FEA 結(jié)果的吻合程度明顯改善，且Br(SegA)與Br(FEA)曲線在整體上吻合良好，充分驗(yàn)證了所提出方法的有效性。

圖8 轉(zhuǎn)子位置θ=0、勵(lì)磁電流iexc=0.05 A 時(shí)，所提SWFM 方法有效性驗(yàn)證

采用MWFA 計(jì)算的勵(lì)磁繞組電樞自感為

采用SWFM 計(jì)算的勵(lì)磁繞組電樞自感為

在此基礎(chǔ)上，進(jìn)一步考慮漏感，可以得到勵(lì)磁繞組自感。由之前工作可知，解析計(jì)算得到的勵(lì)磁繞組自感直流分量與FEA 非常接近，相對(duì)誤差約為1%；而交流分量則誤差較大。因此，提取MWFA和SWFM 計(jì)算得到的勵(lì)磁繞組自感交流分量，對(duì)比如圖9 所示。從圖9 可以看出，修正線圈匝數(shù)分布函數(shù)和氣隙函數(shù)后，勵(lì)磁繞組自感交流分量幅值相較于常規(guī)MWFA 更為準(zhǔn)確，且其相位與FEA 結(jié)果一致，進(jìn)一步驗(yàn)證了所提方法的有效性。

圖9 勵(lì)磁繞組自感交流分量對(duì)比

5 結(jié)論

在MWFA 基礎(chǔ)上，通過(guò)修正線圈匝數(shù)分布函數(shù)和氣隙函數(shù)，本文提出了分段繞組函數(shù)法，用于分析VRR 的氣隙磁通密度和勵(lì)磁繞組自感，并將SWFM、傳統(tǒng)MWFA 方法的計(jì)算結(jié)果與FEA 結(jié)果進(jìn)行對(duì)比，得到如下結(jié)論。

(1) MWFA 未能較好考慮槽開(kāi)口對(duì)氣隙磁密的影響，導(dǎo)致解析計(jì)算的氣隙磁密在槽開(kāi)口處存在突變。

(2) 受槽內(nèi)導(dǎo)體分布和槽開(kāi)口影響，勵(lì)磁繞組自感存在周期性脈動(dòng)，MWFA 亦無(wú)法體現(xiàn)。

(3) 采用SWFM 計(jì)算得到的氣隙磁密和電感波形更為精確豐富，與FEA 計(jì)算得到的波形拓?fù)涓鼮槲呛稀?/p>