基于隨機(jī)平均法的框架-搖擺墻結(jié)構(gòu)隨機(jī)激勵(lì)響應(yīng)分析

王冠達(dá),張遠(yuǎn)進(jìn),許伊鍵

(1.武漢理工大學(xué) 中國(guó)應(yīng)急管理研究中心,湖北 武漢430070;2.武漢理工大學(xué) 安全科學(xué)與應(yīng)急管理學(xué)院,湖北 武漢 430070;3.合肥工業(yè)大學(xué) 土木與水利工程學(xué)院,安徽 合肥 230009)

地震會(huì)給人們帶來(lái)巨大的災(zāi)難,阻礙城市發(fā)展。人們通過(guò)不斷發(fā)展新理論、改善建筑結(jié)構(gòu),以將地震帶來(lái)的損失降到最低[1]。在當(dāng)今建筑結(jié)構(gòu)中,應(yīng)用較為廣泛的是鋼筋混凝土框架結(jié)構(gòu),但此類結(jié)構(gòu)在地震中容易產(chǎn)生不可修復(fù)的損傷[2]。結(jié)構(gòu)在地震作用下會(huì)產(chǎn)生一定的變形,同時(shí)經(jīng)歷能量耗散過(guò)程,產(chǎn)生不同程度的損傷,當(dāng)損傷發(fā)展到一定程度后,結(jié)構(gòu)將失效或倒塌[3]。框架結(jié)構(gòu)的損傷破壞往往發(fā)生于少數(shù)樓層變形而形成的層屈服機(jī)制[4]。

國(guó)內(nèi)外學(xué)者提出“可恢復(fù)功能”的抗震結(jié)構(gòu)體系,為了減少地震中不可修復(fù)的損傷、提高結(jié)構(gòu)的抗震性能,搖擺墻被引入到框架結(jié)構(gòu)中,形成了框架-搖擺墻結(jié)構(gòu)[5]。該結(jié)構(gòu)由框架與搖擺墻兩部分組成,兩者之間通過(guò)剛性鏈桿連接,以搖擺墻結(jié)構(gòu)緩解框架的受力情況,減輕或者避免產(chǎn)生層屈服機(jī)制。AJRAB等[6]對(duì)框架-搖擺墻結(jié)構(gòu)進(jìn)行非線性時(shí)程分析,發(fā)現(xiàn)在地震作用下,框架-搖擺墻結(jié)構(gòu)的層間位移分布比傳統(tǒng)框剪結(jié)構(gòu)更均勻。HU等[7]使用時(shí)程分析法,將純框架結(jié)構(gòu)與附加自復(fù)位墻的框架結(jié)構(gòu)進(jìn)行動(dòng)力響應(yīng)分析比較,發(fā)現(xiàn)附加自復(fù)位墻后,結(jié)構(gòu)的動(dòng)力響應(yīng)明顯減小,基本無(wú)殘余位移產(chǎn)生。楊樹標(biāo)等[8]設(shè)計(jì)了一種新型框架-搖擺填充墻結(jié)構(gòu),并進(jìn)行靜力非線性分析,結(jié)果表明搖擺填充墻能夠改善建筑結(jié)構(gòu)層間位移分布,使結(jié)構(gòu)層間位移趨于均勻,將結(jié)構(gòu)破壞機(jī)制改變?yōu)檎w破壞機(jī)制,明顯改善了框架結(jié)構(gòu)的延展性。田會(huì)文等[9]針對(duì)自復(fù)位墻在矩形脈沖作用下的動(dòng)力響應(yīng)進(jìn)行分析,發(fā)現(xiàn)自復(fù)位墻傾覆譜附加安全區(qū)域SN的位置和面積與墻體高寬比、預(yù)應(yīng)力筋初張力和剛度均有關(guān)。

隨機(jī)平均法是分析非線性隨機(jī)系統(tǒng)響應(yīng)的有效方法之一。20世紀(jì)60年代,STRATONOVICH[10]首次提出隨機(jī)平均法,迄今為止,許多學(xué)者在隨機(jī)激勵(lì)下的非線性系統(tǒng)響應(yīng)分析中運(yùn)用隨機(jī)平均法。SANTOS等[11]利用基于Hilbert變換的隨機(jī)平均法,給出了一種半解析方法,用于確定隨機(jī)激勵(lì)非線性振子的生存概率和首次穿越時(shí)間概率密度函數(shù)。SPANOS等[12]使用隨機(jī)平均法導(dǎo)出了振蕩器非平穩(wěn)邊緣、過(guò)渡和聯(lián)合響應(yīng)振幅PDF的近似封閉形式表達(dá)式,并最終導(dǎo)出了隨時(shí)間變化的振蕩器生存概率。KOUGIOUMTZOGLOU等[13]依靠統(tǒng)計(jì)線性化和隨機(jī)平均的組合產(chǎn)生具有時(shí)變剛度和阻尼元件的等效線性系統(tǒng)(ELS)。VANVINCKENROYE等[14]依靠響應(yīng)能量包絡(luò)的馬爾可夫近似和隨機(jī)平均處理,得到一個(gè)控制振蕩器可靠性函數(shù)隨時(shí)間演變的后向Kolmogorov方程。CHAI等[15]基于能量包絡(luò)隨機(jī)平均法和路徑積分法研究了隨機(jī)橫浪中非線性橫搖運(yùn)動(dòng)的隨機(jī)響應(yīng),使用隨機(jī)平均法對(duì)原系統(tǒng)進(jìn)行降維,降低了計(jì)算隨機(jī)響應(yīng)的難度。解娜娜等[16]研究了含有慣性非線性的梁振動(dòng)方程在高斯白噪聲激勵(lì)下的隨機(jī)平均法。

筆者針對(duì)單自由度框架-搖擺墻結(jié)構(gòu)在隨機(jī)地震激勵(lì)下,搖擺墻體發(fā)生偏轉(zhuǎn)抬升,并進(jìn)行往復(fù)搖擺運(yùn)動(dòng)這一現(xiàn)象,建立動(dòng)力響應(yīng)方程并進(jìn)行分析,將系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)方程進(jìn)行一定的簡(jiǎn)化后,運(yùn)用隨機(jī)平均法求解系統(tǒng)的等價(jià)剛度與阻尼。

1 框架-搖擺墻動(dòng)力學(xué)方程

框架與搖擺墻之間采用剛性鏈桿L進(jìn)行連接,位于框架右頂點(diǎn)與搖擺墻左頂點(diǎn)之間。設(shè)結(jié)構(gòu)轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí),鏈桿L與水平線夾角為Φ,矩形搖擺墻高度為2h,寬度為2b,框架質(zhì)點(diǎn)與地面的相對(duì)位移為Us,搖擺墻左頂點(diǎn)與地面相對(duì)位移為Ut。假設(shè)忽略主體框架與搖擺墻體的豎向變形,搖擺墻為剛體,且質(zhì)量集中在墻形心。搖擺墻角O點(diǎn)與O′點(diǎn)各設(shè)置有一個(gè)金屬阻尼器。當(dāng)單自由度框架-搖擺墻向正方向運(yùn)動(dòng)時(shí),即墻體轉(zhuǎn)動(dòng)角θ>0,當(dāng)結(jié)構(gòu)向負(fù)方向運(yùn)動(dòng)時(shí),即θ<0,如圖1所示。

圖1 結(jié)構(gòu)轉(zhuǎn)動(dòng)示意圖

當(dāng)θ>0時(shí),根據(jù)達(dá)朗貝爾原理,對(duì)O點(diǎn)列力矩平衡方程:

(1)

Ug表示地面位移,Us表示框架質(zhì)點(diǎn)與地面的相對(duì)位移,U表示框架質(zhì)點(diǎn)的絕對(duì)位移,則U(t)=Ug(t)+Us(t)。當(dāng)單自由度框架-搖擺墻運(yùn)動(dòng)時(shí),框架質(zhì)點(diǎn)與地面的相對(duì)位移Us為:

Us=Ut=±2R[sinα-sin(α?θ)]

(2)

當(dāng)θ>0時(shí),±處取正號(hào),?處取負(fù)號(hào);當(dāng)θ<0時(shí),±處取負(fù)號(hào),?處取正號(hào)。

在隨機(jī)地震激勵(lì)作用下,框架的動(dòng)力學(xué)方程可表示為:

(3)

將式(2)代入式(1)可得:

(4)

當(dāng)θ<0時(shí),根據(jù)達(dá)朗貝爾原理,對(duì)O′點(diǎn)列力矩平衡方程:

(5)

式中:f2為右側(cè)金屬阻尼器的恢復(fù)力。將式(2)代入式(5)可得:

(6)

(7)

2 隨機(jī)平均法

根據(jù)參考文獻(xiàn)[17],由式(7)可知:

(8)

(9)

(10)

(11)

(12)

(13)

(14)

(15)

式中:A為響應(yīng)位移的時(shí)間相關(guān)幅度;φ為相位,是與時(shí)間t相關(guān)的函數(shù)。A和φ都具有隨時(shí)間緩慢變化的特性,因此可在一個(gè)周期內(nèi)認(rèn)為其近似恒定。

將式(7)代入式(12)～式(15)可知:

(16)

(17)

對(duì)式(12)、式(13)的右側(cè)求期望可以得到近似等效的時(shí)間相關(guān)阻尼因子和頻率:

(18)

(19)

式中:c(t)為非平穩(wěn)隨機(jī)響應(yīng)的方差。

此時(shí),在模擬地震隨機(jī)激勵(lì)下的單自由度框架-搖擺墻結(jié)構(gòu)的動(dòng)力響應(yīng)方程可以表示為:

(20)

式中:p(A,t)表示響應(yīng)過(guò)程x的幅值A(chǔ)的概率密度函數(shù),如式(21)所示;c(t)為隨機(jī)響應(yīng)過(guò)程x與時(shí)間相關(guān)的方差,可由微分方程描述,如式(22)所示。

(21)

(22)

根據(jù)式(22)求得隨機(jī)激勵(lì)下單自由度框架-搖擺墻位移響應(yīng)的方差,將其與MCS的結(jié)果進(jìn)行對(duì)比,可以驗(yàn)證隨機(jī)平均法模擬結(jié)果的可靠性。

3 數(shù)值算例

3.1 模型參數(shù)

采用單自由度框架-搖擺墻結(jié)構(gòu)模型,搖擺墻尺寸為4 m×1 m×0.1 m,γ=2 000,Ks=7.2×107N/g,Ms=2×106N/g,ξs=0.05,Mw=1 000 N/g,fd=7×104N。

3.2 隨機(jī)激勵(lì)模型

在模擬地震隨機(jī)激勵(lì)時(shí)采取非平穩(wěn)地震動(dòng)模型,地震動(dòng)加速度可以表示為:

(23)

式中:a0(t)為平穩(wěn)白噪聲過(guò)程,其功率譜密度函數(shù)為S0;ψ(t)為Amin 和Ang型調(diào)制函數(shù)[18],其表達(dá)式如式(24)所示。

(24)

調(diào)制函數(shù)各參數(shù)按照文獻(xiàn)[19]中取值,即A0=0.412 3,a=0.85,t1=1.47 s,t2=6.47 s。將式(23)代入式(10)可得:

(25)

隨機(jī)激勵(lì)的功率譜密度函數(shù)為:

(26)

3.3 數(shù)值分析

采用MCS法(樣本數(shù)為4 000條)驗(yàn)證隨機(jī)平均法計(jì)算結(jié)果的HJ可靠性,對(duì)比分析不同激勵(lì)強(qiáng)度S0(0.8 m2/s3、0.9 m2/s3、1.7 m2/s3)時(shí)的結(jié)構(gòu)響應(yīng),可以得到所提模型在非平穩(wěn)隨機(jī)激勵(lì)下位移響應(yīng)的方差,結(jié)果如圖2所示。由圖2可知,單自由度框架-搖擺墻模型在調(diào)制白噪聲激勵(lì)下,不同激勵(lì)強(qiáng)度僅對(duì)結(jié)構(gòu)位移響應(yīng)的方差大小產(chǎn)生影響,隨機(jī)平均法與MCS法的結(jié)果較為接近。

圖2 隨機(jī)平均法與MCS的位移方差

為驗(yàn)證隨機(jī)平均法求得位移響應(yīng)方差分布的準(zhǔn)確性,繪制其概率密度函數(shù)圖像,根據(jù)Amin 和 Ang 型分段調(diào)制函數(shù),在其上升、平穩(wěn)、衰減階段分別任意取一個(gè)時(shí)間點(diǎn),t=1 s,t=2 s,t=7.5 s。為研究在非平穩(wěn)隨機(jī)激勵(lì)的作用下激勵(lì)強(qiáng)度對(duì)結(jié)構(gòu)響應(yīng)的影響,對(duì)比分析不同激勵(lì)強(qiáng)度S0(0.8 m2/s3、0.9 m2/s3、1.7 m2/s3)時(shí)結(jié)構(gòu)響應(yīng)位移方差的概率密度函數(shù),如圖3所示。由圖3可知,單自由度框架-搖擺墻模型在不同強(qiáng)度的調(diào)制白噪聲激勵(lì)下,隨機(jī)平均法求解得的位移響應(yīng)方差的概率密度函數(shù)與MCS模擬結(jié)果的峰值與分布均比較相似,擬合準(zhǔn)確性較高。

圖3 不同激勵(lì)強(qiáng)度結(jié)構(gòu)相應(yīng)位移方差的概率密度函數(shù)

4 結(jié)論

(1)為探討單自由度框架-搖擺墻結(jié)構(gòu)模型在模擬地震的隨機(jī)激勵(lì)下的動(dòng)力響應(yīng),建立該結(jié)構(gòu)向正、負(fù)兩個(gè)方向轉(zhuǎn)動(dòng)的運(yùn)動(dòng)方程,將與角度相關(guān)的運(yùn)動(dòng)方程轉(zhuǎn)化為與位移相關(guān)的運(yùn)動(dòng)方程,具有較高的分析精度和合理性。

(2)采用隨機(jī)平均法求出單自由度框架-搖擺墻結(jié)構(gòu)的等效線性運(yùn)動(dòng)方程,其位移響應(yīng)的方差與MCS法的結(jié)果接近,驗(yàn)證了隨機(jī)平均法在應(yīng)用于該結(jié)構(gòu)地震響應(yīng)分析的適用性。

(3)以所求得的等效線性運(yùn)動(dòng)方程進(jìn)行結(jié)構(gòu)響應(yīng)的數(shù)值模擬,在不同激勵(lì)強(qiáng)度下方差的概率密度函數(shù)與MCS求得方差的概率密度函數(shù)擬合度較高,由此可知本文方法準(zhǔn)確性較高,可靠性較強(qiáng),進(jìn)一步驗(yàn)證了方法的合理性和可靠性。