基于ARIMA 模型軍工板塊波動(dòng)性研究

李 銀，伍曉晴

（韶關(guān)學(xué)院 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，廣東 韶關(guān) 512005）

隨著人們的收入水平提高，越來越多的人將剩余資金用來投資某些金融產(chǎn)品，比如股票、基金等. 在金融市場背景下，有投資就避免不了風(fēng)險(xiǎn)，股票收盤價(jià)會(huì)受到各種各樣因素的影響，比如，國家的政策、國家的經(jīng)濟(jì)情況以及股市的規(guī)章制度等. 股票的波動(dòng)對于廣大股票持有者來說非常重要，研究股票的走勢非常重要，這會(huì)使投資者做出不同的舉措來研究與預(yù)測［1-2］. 在實(shí)現(xiàn)建軍100年奮斗目標(biāo)的背景下，我國需要強(qiáng)大的現(xiàn)代化國防力量，軍工投入會(huì)不斷增加. 與此同時(shí)，一些國企有關(guān)改革政策的設(shè)立和實(shí)施，推動(dòng)了我國軍工板塊股票熱度不斷提升. 因此未來幾年內(nèi)，軍工板塊將會(huì)迎來高速、持續(xù)、穩(wěn)定的發(fā)展機(jī)遇，研究軍工板塊股票的波動(dòng)性具有重要的研究意義.

岳朝龍對上海股市收益率進(jìn)行分析，發(fā)現(xiàn)上海股票收益率不僅具有條件異方差，而且具有杠桿效應(yīng)，因此適合建立GARCH（廣義自回歸條件異方差）類模型［3］. 蕭楠研究發(fā)現(xiàn)上海銅期貨市場的收益率服從ARMA-GARCH（自回歸滑動(dòng)平均-廣義自回歸條件）模型，進(jìn)一步建立TARCH（門限自回歸條件異方差）模型和EGARCH（指數(shù)條件異方差）模型對收益率的杠桿效應(yīng)進(jìn)行檢驗(yàn)，發(fā)現(xiàn)其并不存在顯著的杠桿效應(yīng)［4］. 張東旭研究上證綜合指數(shù)收盤價(jià)格在不同分布下的ARMA-GARCH 族模型，找到了參數(shù)最優(yōu)、擬合效果最好的模型［5］. 丁文絹對上證A 股50 建立ARIMA 模型和LSTM 模型進(jìn)行對比，發(fā)現(xiàn)通過使用多種深度學(xué)習(xí)的方法對時(shí)間序列同樣具有較好的預(yù)測精度［6］. 時(shí)間序列不僅可以應(yīng)用于對股票的預(yù)測，還可以應(yīng)用于對其他一些時(shí)間序列的變化，例如蘭華等比較ARMA 模型和馬爾可夫鏈模型兩個(gè)模型對光伏電站出力進(jìn)行預(yù)測，進(jìn)行分析，最后得出時(shí)間序列模型ARMA 模型對于預(yù)測光伏電站出力預(yù)測的精度比傳統(tǒng)的馬爾可夫鏈模型的要高［7］. 譚滿春等先利用時(shí)間序列模型預(yù)測交通流的線性部分，再利用人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)預(yù)測交通流的非線性部分，兩種模型的結(jié)合有很好的預(yù)測效果［8］.

投資者進(jìn)行投資時(shí)會(huì)根據(jù)目標(biāo)產(chǎn)品的投資金額進(jìn)行調(diào)整，以便以最低風(fēng)險(xiǎn)獲得最大收益，減少虧損.同時(shí)，收益率的預(yù)測在單只股票以及資產(chǎn)投資組合中風(fēng)險(xiǎn)的計(jì)算起到重要的作用. 因此研究股票時(shí)間序列的走勢并挖掘其中的特征以及對股票收益率進(jìn)行預(yù)測是不可或缺的. 本文擬對我國股票中證軍工板塊指數(shù)的日收盤價(jià)，通過分析主要統(tǒng)計(jì)特征，并通過多種檢驗(yàn)，建立能預(yù)測該板塊收盤價(jià)波動(dòng)性的ARIMA 模型，以期對投資者進(jìn)行下一步?jīng)Q策提供幫助.

1 模型介紹

1.1 ARIMA 模型理論基礎(chǔ)

ARIMA（p，d，q）模型是一種自回歸整合移動(dòng)平均模型，是在20 世紀(jì)70年代被提出，也被稱作Box-Jenkins 模型，專門用于非平穩(wěn)時(shí)間序列分析和預(yù)測的方法［9-11］.

參數(shù)d是差分階數(shù)，表示將非平穩(wěn)的時(shí)間序列轉(zhuǎn)換為平穩(wěn)的時(shí)間序列時(shí)所作差分的次數(shù).

p階自回歸模型（AR 模型）中，要使用時(shí)間序列中以前的值，來預(yù)測當(dāng)前值，如當(dāng)p為3 時(shí)，表示使用時(shí)間序列中過去3 個(gè)時(shí)段的值，來預(yù)測當(dāng)前值. 可以表示為，其中Yt表示第t時(shí)的觀測值，ε表示常數(shù)，φi表示自回歸參數(shù)，Yt-i表示Yt的滯后序列，εt表示隨機(jī)誤差項(xiàng).

q階滑動(dòng)平均模型（MA 模型）中，參數(shù)q表示移動(dòng)平均數(shù)的階數(shù)，如當(dāng)q為3 時(shí)，則在預(yù)測序列的當(dāng)前值時(shí)，要考慮上3 個(gè)時(shí)段的平均值的偏差. 表示為，其中bi表示公式的相關(guān)系數(shù).

ARIMA 模型是由自回歸模型（AR）與滑動(dòng)平均模型（MA 模型）結(jié)合而成，可以表示為Yt=ε+，其中Yt表示第t時(shí)的觀測值，ε表示常數(shù)，φi表示自回歸參數(shù)，Yt-i表示Yt的滯后序列，bi表示公式的相關(guān)系數(shù)，εt表示隨機(jī)誤差項(xiàng).

1.2 確定ARIMA（p，d，q）模型形式

如表1 及圖1，模型中的3 個(gè)參數(shù)確定可以使用的方法有自相關(guān)（ACF）和偏自相關(guān)（PACF）函數(shù)定階法和赤池信息（AIC）準(zhǔn)則，先做出平穩(wěn)的時(shí)間序列的自相關(guān)圖和偏自相關(guān)圖，如果自相關(guān)圖表現(xiàn)出拖尾，且偏自相關(guān)圖表現(xiàn)出p階截尾，那么就選擇AR（p）模型；如果自相關(guān)圖表現(xiàn)出q階截尾，而偏自相關(guān)系數(shù)表現(xiàn)出拖尾，則選擇MA（q）模型；如果自相關(guān)圖和偏自相關(guān)系數(shù)均表現(xiàn)出拖尾，則選擇ARIMA（p，d，q）模型. 通常情況下，當(dāng)只用自相關(guān)圖和偏自相關(guān)圖難以確定階數(shù)時(shí)，再結(jié)合AIC 準(zhǔn)則來確定模型的階數(shù). 選擇AIC（p，q）最小的時(shí)候，此時(shí)的p，q為最佳的模型階數(shù).

圖1 模型建立流程圖

表1 定階方法

2 實(shí)證分析

2.1 數(shù)據(jù)處理與平穩(wěn)性檢驗(yàn)

由于股票中證軍工板塊指數(shù)可以代表軍工板塊的整體情況，利用Python 爬取中證軍工板塊指數(shù)（399967）2014年4月4日至2022年12月31日的日收盤價(jià)數(shù)據(jù)作為樣本數(shù)據(jù)，一共為2 020 個(gè). 因?yàn)楣善钡臅r(shí)間序列的走勢波動(dòng)較大，對于大多數(shù)時(shí)間序列與經(jīng)濟(jì)與金融相關(guān)的數(shù)據(jù)都屬于非平穩(wěn)的，時(shí)間序列原始數(shù)據(jù)中可能會(huì)包含趨勢部分、循環(huán)或周期部分以及季節(jié)變動(dòng)部分，需要將不平穩(wěn)序列變?yōu)槠椒€(wěn)序列. 利用R 語言畫出中證軍工板塊收盤價(jià)的時(shí)間序列圖，如圖2. 可以看出中證軍工板塊指數(shù)的時(shí)序圖具有明顯的走勢，則可以初步判斷中證軍工板塊指數(shù)是非平穩(wěn)序列.

圖2 中證軍工板塊指數(shù)的時(shí)序圖

利用R 語言繪制出中證軍工板塊指數(shù)的自相關(guān)圖和偏自相關(guān)圖，如圖3、圖4 所示.

圖3 中證軍工板塊指數(shù)的ACF 圖

圖4 中證軍工板塊指數(shù)的PACF 圖

因?yàn)橹凶C軍工板塊指數(shù)的自相關(guān)函數(shù)是慢慢遞減，而平穩(wěn)序列的自相關(guān)系數(shù)的特點(diǎn)是迅速趨于0，所以該指數(shù)具有非平穩(wěn)性，不能直接建立ARIMA 模型，要先對中證軍工板塊指數(shù)序列做處理，變?yōu)槠椒€(wěn)的序列，這樣才可以用ARIMA（p，d，q）去描述.

因?yàn)楣善笔毡P價(jià)偏大，為了消除原始時(shí)間序列的非平穩(wěn)性，需要對此取對數(shù)，取對數(shù)能減少共線性和異方差性出現(xiàn)的概率，然后再做1 階差分處理，處理后的時(shí)序圖如圖5，可以看出作1 階對數(shù)差分后的中證軍工板塊指數(shù)的收益序列在-0.10 和0.10之間，以0 為基準(zhǔn)線上下隨機(jī)波動(dòng)，無特別明顯的走勢和對數(shù)差分序列自相關(guān)圖中是迅速變?yōu)? 的，可初步判斷該序列為平穩(wěn)序列.

圖5 1 階對數(shù)差分后的中證軍工板塊指數(shù)時(shí)序圖

根據(jù)以上分析，中證軍工板塊收盤價(jià)的原始時(shí)間序列數(shù)據(jù)經(jīng)過1 階差分處理后得到平穩(wěn)的時(shí)間序列，因此識(shí)別選用ARIMA（p，d，q）模型. 因此可以確立模型中的參數(shù)d為1 . 接下來需要確立模型中另外2 個(gè)參數(shù). 作出AR（p）、MA（q）對數(shù)差分的時(shí)間序列的自相關(guān)圖與偏自相關(guān)圖，見圖6 及圖7，經(jīng)觀察可初步估計(jì)p、q的值. 可知，ACF 圖在Lag=2 時(shí)開始逐步趨近于0，而PACF 圖是截尾的，因此模型AR 的階數(shù)p可以判定為1，2，3，模型MA 的q則為0.

圖6 中證軍工板塊指數(shù)1 階對數(shù)差分ACF 圖

圖7 中證軍工板塊指數(shù)1 階對數(shù)差分PACF 圖

從理論上對中證軍工板塊指數(shù)和1 階對數(shù)差分序列進(jìn)行ADF（單位根檢驗(yàn)）的平穩(wěn)性檢驗(yàn)，單位根檢驗(yàn)是檢驗(yàn)序列是否平穩(wěn)的主要方法. 本文利用軟件EViews 8.0 對序列進(jìn)行平穩(wěn)性檢驗(yàn)，檢驗(yàn)結(jié)果如表2.

表2 ADF 檢驗(yàn)結(jié)果

如表2 所示，在1%的顯著性水平下，原序列P值為0.059 6＞0.05，為非平穩(wěn)序列. 進(jìn)一步檢驗(yàn)中證軍工板塊指數(shù)對數(shù)差分后的序列是否通過平穩(wěn)性檢驗(yàn)，對數(shù)差分后的序列P值＜0.05，日對數(shù)收益率序列通過了檢驗(yàn)，對原假設(shè)表示拒絕，即對數(shù)差分后的序列已經(jīng)是平穩(wěn)序列，至此，完成了原始數(shù)據(jù)的平穩(wěn)性處理. 因此可以確定序列是1 階單整序列，則ARIMA（p，d，q）模型中d=1.

2.2 模型參數(shù)選擇（模型定階）（AIC 準(zhǔn)則）

利用EViews 分別建立3 個(gè)模型AR（3）、AR（2）和AR（1），同時(shí)比較3 個(gè)模型的赤池信息，如表3 所示. 由表3 可知，AR（2）模型的AIC 值是-4.826 700，是最小的，因此建立ARIMA（2，1，0）模型對應(yīng)的表達(dá)式為：lnat=1.078 206×lnat-1-0.083 336×lnat-2+9.262 814.

表3 3 個(gè)模型的信息

2.3 模型檢驗(yàn)

對建立的模型進(jìn)行擬合優(yōu)度和顯著性檢驗(yàn)，發(fā)現(xiàn)模型的預(yù)測收益率與實(shí)際的收益率幾乎重合，ARIMA（2，1，0）的判定系數(shù)R2為0.992 254，擬合優(yōu)度很好.

2.4 殘差序列相關(guān)性檢驗(yàn)

還需要對1 階滯后進(jìn)行殘差序列相關(guān)性檢驗(yàn)，由于1 階對應(yīng)的LM 檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量Obs*R-squared 的P值為0.910 2，表示在5%的顯著性水平下，接受原假設(shè)，說明建立的ARIMA（2，1，0）的殘差無自相關(guān)性，即沒有遺落變量，所以滯后階數(shù)選取是合理的.

2.5 異方差檢驗(yàn)

模型的參數(shù)已經(jīng)估計(jì)后，對已經(jīng)建立的ARIMA（2，1，0）模型的隨機(jī)殘差序列進(jìn)行白噪聲檢驗(yàn). 結(jié)果表明P值都大于0.05，表明全部的Q值小于檢驗(yàn)水平為0.05 的卡方臨界值，拒絕原假設(shè)，隨機(jī)誤差項(xiàng)是一個(gè)白噪聲序列，異方差效應(yīng)不顯著，也就是說建立的模型的殘差序列中幾乎沒有包含有用信息，則不需要繼續(xù)對殘差建立GARCH 模型，該模型的建立是合理的.

2.6 預(yù)測分析

由于建立的時(shí)間序列模型擬合精度很高，則本文利用上述已經(jīng)建立的ARIMA（2，1，0）模型對股票序列對未來3 天中證軍工板塊指數(shù)收盤價(jià)進(jìn)行預(yù)測，在R 中調(diào)用forecast 函數(shù)，預(yù)測2023年1月3日至2023年1月5日3 天的收盤價(jià). 預(yù)測的結(jié)果如表4，結(jié)果表明，建立的ARIMA（2，1，0）模型較為準(zhǔn)確，對該只股票日收盤價(jià)的預(yù)測有很好的現(xiàn)實(shí)意義. 代碼如下：

表4 預(yù)測的收盤價(jià)以及相對誤差

3 結(jié)束語

筆者對我國股票中證軍工板塊指數(shù)的日收盤價(jià)格中所獲取的數(shù)據(jù)進(jìn)行處理，依次經(jīng)過平穩(wěn)性檢驗(yàn)、參數(shù)確定、模型建立、異方差檢驗(yàn)，再利用ARIMA 模型對中證軍工板塊指數(shù)的日收盤價(jià)建立模型，并預(yù)測未來3 天的收盤價(jià)，對金融市場中的股票的基本特征有了更進(jìn)一步的了解. 研究發(fā)現(xiàn)，時(shí)間序列模型能很好地解決了一些非平穩(wěn)股票時(shí)間序列的模型建立的問題，且模型非常簡單，容易操作，所涉及的只有內(nèi)生變量股票的收盤價(jià)，結(jié)合Eviews 和R 語言可以將時(shí)間序列模型應(yīng)用到其他金融時(shí)間序列，尤其在金融和股票領(lǐng)域有重要的理論意義，預(yù)測值的準(zhǔn)確性對投資者和決策者起著非常重要的作用.

但是由于股票的時(shí)間序列價(jià)格變動(dòng)較大，因此該類模型適合短期預(yù)測，對于長期預(yù)測的結(jié)果會(huì)與真實(shí)值有較大的誤差［9-11］. 因此還有待進(jìn)一步的研究.