數(shù)學(xué)三個(gè)世界理論視角下教學(xué)改革探索

周士民 范興奎 劉敏 周麗美 范敏 王正杰

摘? 要：為解決高等數(shù)學(xué)內(nèi)容抽象、教學(xué)難和學(xué)習(xí)難的問題，該文提出以數(shù)學(xué)三個(gè)世界理論為指導(dǎo)，教學(xué)中貫徹以學(xué)生為中心，遵從認(rèn)知規(guī)律，堅(jiān)持聯(lián)通主義學(xué)習(xí)模式、以核心知識學(xué)習(xí)為中心，對高等數(shù)學(xué)教學(xué)模式各要素全面改革。以此幫助學(xué)生學(xué)習(xí)，培養(yǎng)抽象思維能力，實(shí)現(xiàn)讓學(xué)生動起來、教師強(qiáng)起來、效果實(shí)起來的本科教學(xué)改革目標(biāo)。

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)三個(gè)世界;教學(xué)改革;學(xué)習(xí);高等數(shù)學(xué);教學(xué)模式

中圖分類號：G642? ? ? ? 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A? ? ? ? ? 文章編號：2096-000X（2024）01-0135-04

Abstract： In the process of advanced mathematics teaching， there remains the question that the teaching content is too abstract for the teachers to explain and thus too difficult for the students to understand， which often results in the students' deficiency in? learning. In order to solve that problem， this? paper proposes comprehensive reform of arious elements of teaching mode， which aims to implement students-centred teaching method by following cognitive laws， adhering to connective learning， and focusing more on? core knowledge. In this way， the students can be helped to learn much better， and thus cultivate their abstract thinking ability. Based on that， it is easier to achieve the undergraduate reform objectives that students will devote themselves to their studying， teachers can further improve their teaching skill and the teaching effect will be better.

Keywords： three worlds of Mathematics; teaching reform; learning; Advanced Mathematics; teaching mode

2019年教育部《關(guān)于深化本科教育教學(xué)改革 全面提高人才培養(yǎng)質(zhì)量的意見》中指出，“圍繞學(xué)生忙起來、教師強(qiáng)起來”“效果實(shí)起來”等要求，深化本科教育教學(xué)改革?！耙詫W(xué)生為中心”正成為各方共識，而目前“以教師為中心”的教學(xué)模式仍然是我國大學(xué)課堂教學(xué)的主流，“以學(xué)生為中心”的教學(xué)模式仍處于啟動時(shí)期，需要不斷探索。

高等數(shù)學(xué)是高校理工類專業(yè)一門必修基礎(chǔ)課，在幫助學(xué)生形成抽象思維能力和邏輯推理能力[1]，培養(yǎng)創(chuàng)新型人才方面有著不可替代的作用。然而這門課符號多、公式多，概念、定理抽象給學(xué)生帶來學(xué)習(xí)困難。本門課教學(xué)和學(xué)習(xí)中存在的問題集中于以下方面：第一，知識多、進(jìn)度快，學(xué)生跟不上教學(xué)節(jié)奏;第二，知識高度抽象;第三，聽課后不會做題等。抽象能力是大學(xué)生必備素質(zhì)，如何有效地進(jìn)行抽象知識教學(xué)和學(xué)習(xí)是各高校教師極力探索的問題。2010年后形成的數(shù)學(xué)三個(gè)世界理論提出，抽象知識是可以相互轉(zhuǎn)化的，并提出轉(zhuǎn)化的方式，奠定了教學(xué)改革基礎(chǔ)。而該理論下的教學(xué)研究，國內(nèi)目前還集中于中學(xué)內(nèi)容，相應(yīng)的大學(xué)教學(xué)研究尚顯不足。如何以學(xué)生為中心，激發(fā)學(xué)生求知欲，主動進(jìn)行學(xué)習(xí)和探索，有效地進(jìn)行抽象知識學(xué)習(xí)，對教學(xué)改革提出新課題。

一? 數(shù)學(xué)三個(gè)世界理論及其學(xué)習(xí)思想

（一）? 數(shù)學(xué)三個(gè)世界理論

認(rèn)知分為具體化、符號化、形式化三個(gè)世界，抽象知識是可以轉(zhuǎn)化的，結(jié)晶體概念（核心概念）簡約性、發(fā)散性聯(lián)結(jié)是抽象知識轉(zhuǎn)化的根源，認(rèn)知按累積性原則建構(gòu)，知識以聯(lián)結(jié)的方式存在，提倡聯(lián)結(jié)主義教學(xué)和學(xué)習(xí)[2]。

（二）? 數(shù)學(xué)三個(gè)世界理論學(xué)習(xí)思想

數(shù)學(xué)三個(gè)世界理論是在建構(gòu)主義、認(rèn)知主義基礎(chǔ)上形成的新理論，繼承和發(fā)展了原有理論的精華，又融入了新內(nèi)涵，揭示了數(shù)學(xué)知識和數(shù)學(xué)思維的形成過程，成為指導(dǎo)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的理論基礎(chǔ)。

1? 以學(xué)生為中心學(xué)習(xí)

數(shù)學(xué)三個(gè)世界理論提倡聯(lián)結(jié)學(xué)習(xí)，學(xué)生是學(xué)習(xí)主體，教師是學(xué)習(xí)的促進(jìn)者。教師的作用是在知識聯(lián)結(jié)點(diǎn)、思維聯(lián)結(jié)點(diǎn)組織教學(xué)活動，幫助學(xué)生創(chuàng)設(shè)聯(lián)結(jié)[3]。教師的經(jīng)驗(yàn)幫助學(xué)生建立聯(lián)結(jié)，對其獲得的知識和思維進(jìn)行篩選、評價(jià)、指引，具有引導(dǎo)和幫助學(xué)生修正知識體系的作用。

2? 按照認(rèn)知規(guī)律學(xué)習(xí)

數(shù)學(xué)三個(gè)世界理論認(rèn)為，人的認(rèn)知按照具體化、符號化、形式化順序?qū)哟沃饾u提升，并在新層次上按照螺旋法則向更高層次發(fā)展。具體化世界，在這個(gè)世界中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)對象是具體的、形象的、可見的。符號化世界，將操作用符號表示，數(shù)學(xué)對象得到進(jìn)一步概括、抽象。在認(rèn)識事物基礎(chǔ)上，對符號化世界進(jìn)行自反抽象形成形式化定義，或證明形成形式化定理。

3? 聯(lián)通主義學(xué)習(xí)

聯(lián)通主義理論認(rèn)為，學(xué)習(xí)是聯(lián)結(jié)的建立和網(wǎng)絡(luò)形成的過程，是借助工具把人腦和腦外聯(lián)通，以最大化和優(yōu)化學(xué)習(xí)，創(chuàng)新性是發(fā)現(xiàn)思想或概念之間的聯(lián)節(jié)，建立新聯(lián)結(jié)的能力[4]。數(shù)學(xué)三個(gè)世界提倡教師創(chuàng)設(shè)具體化、符號化、形式化聯(lián)結(jié)點(diǎn)，幫助學(xué)生建構(gòu)知識體系。

4? 核心知識學(xué)習(xí)

數(shù)學(xué)三個(gè)世界理論認(rèn)為，結(jié)晶體概念（核心概念）具有簡約性、發(fā)散性特點(diǎn)，是抽象知識轉(zhuǎn)化的根源[5]。在教學(xué)中幫助學(xué)生理解和形成核心概念，與其他相關(guān)概念建立聯(lián)結(jié)，進(jìn)而形成概念體系。在形式化推理基礎(chǔ)上，探討定理間的聯(lián)結(jié)點(diǎn)，建構(gòu)定理體系。核心習(xí)題掌握后，尋找與其他習(xí)題聯(lián)結(jié)點(diǎn)，形成習(xí)題體系，在對習(xí)題分析挖掘基礎(chǔ)上，形成概念、定理、性質(zhì)的深入理解。

二? 基于數(shù)學(xué)三個(gè)世界理論的教學(xué)改革

數(shù)學(xué)三個(gè)世界理論下的教學(xué)模式改革，包括教學(xué)目標(biāo)、教學(xué)內(nèi)容、教學(xué)過程、師生交往系統(tǒng)、反饋方式、支持條件和評價(jià)方式等各要素全面改革。

（一）? 教學(xué)目標(biāo)的改革

教學(xué)目標(biāo)不僅是傳授知識、提高數(shù)學(xué)素養(yǎng)，而是幫助學(xué)生形成自我建構(gòu)知識和解決問題的能力。一般認(rèn)為大學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)包括數(shù)學(xué)知識、數(shù)學(xué)能力、數(shù)學(xué)思想和數(shù)學(xué)品質(zhì)，這四部分相互補(bǔ)充，相互滲透。從學(xué)生發(fā)展來看，數(shù)學(xué)能力是大學(xué)生能力的中心內(nèi)容，而學(xué)生自我建構(gòu)能力，是學(xué)生長遠(yuǎn)發(fā)展的目標(biāo)。

（二）? 教學(xué)內(nèi)容改革

1? 劃分課程內(nèi)容模塊

根據(jù)微積分不同內(nèi)容，將課程教學(xué)分解為概念課、定理課、習(xí)題課等，針對不同內(nèi)容依據(jù)具體化、符號化、形式化認(rèn)知規(guī)律設(shè)計(jì)教學(xué)內(nèi)容。通過在線調(diào)查，了解學(xué)生在課程中抽象知識學(xué)習(xí)中存在的問題。以高等數(shù)學(xué)為例，學(xué)生對“極限、導(dǎo)數(shù)、積分形式化證明”“極限、微分、積分、曲線積分、曲面積分形式化定義”“曲線、曲面積分形式化推理與應(yīng)用”的學(xué)習(xí)有難度。教師在準(zhǔn)備教學(xué)內(nèi)容時(shí)，在具體化、符號化、形式化轉(zhuǎn)化過程中創(chuàng)設(shè)聯(lián)結(jié)點(diǎn)，對不同知識模塊，以及具體化、符號化、形式化認(rèn)知差異性，設(shè)計(jì)不同情境，幫助學(xué)生理解抽象知識，建構(gòu)知識體系。

2? 內(nèi)容設(shè)計(jì)與能力培養(yǎng)的統(tǒng)一

運(yùn)用翻轉(zhuǎn)課堂學(xué)習(xí)課前知識，學(xué)生學(xué)習(xí)具體化、符號化基礎(chǔ)性問題時(shí)，設(shè)計(jì)聯(lián)結(jié)點(diǎn)培養(yǎng)自我抽象、概括、發(fā)現(xiàn)、總結(jié)及合作能力。教師在課堂上針對學(xué)生存在的不足，設(shè)計(jì)聯(lián)結(jié)點(diǎn)，與學(xué)生共同解決問題，學(xué)生思維活躍、分析問題、解決問題能力得到提升，同時(shí)促進(jìn)其對抽象知識進(jìn)行反思。在具體化認(rèn)識、符號化表示，構(gòu)建形式化概念過程中，設(shè)計(jì)聯(lián)結(jié)點(diǎn)引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題，培養(yǎng)學(xué)生抽象思維能力，提升其思維品質(zhì)。學(xué)生在形式化核心概念學(xué)習(xí)時(shí)，設(shè)計(jì)聯(lián)結(jié)點(diǎn)，培養(yǎng)其發(fā)散思維能力。教師設(shè)計(jì)聯(lián)結(jié)，引導(dǎo)學(xué)生探究形式化理論之間關(guān)系，培養(yǎng)邏輯思維能力。

（三）?; 師生交往系統(tǒng)改革

采用高度集中型、溫和型、放任型等多種方式結(jié)合的交往模式。教師是教師的組織者和協(xié)調(diào)者，教學(xué)內(nèi)容，教學(xué)方法設(shè)計(jì)，教學(xué)條件的知識和思維聯(lián)結(jié)點(diǎn)的創(chuàng)設(shè)，都是由教師決定，當(dāng)然也要參考翻轉(zhuǎn)課堂學(xué)生的反饋信息。課堂教學(xué)中，教師設(shè)計(jì)聯(lián)結(jié)點(diǎn)讓學(xué)生進(jìn)行探索、討論，在知識聯(lián)結(jié)點(diǎn)、思維聯(lián)結(jié)點(diǎn)、情境聯(lián)結(jié)點(diǎn)給學(xué)生以啟發(fā)，發(fā)揚(yáng)教學(xué)民主，引導(dǎo)學(xué)生自我建構(gòu)。學(xué)生能夠獨(dú)立解決的問題，放手讓學(xué)生完成，教師起督促、檢查、幫助的作用。如學(xué)習(xí)第一類曲線積分時(shí)，先引導(dǎo)學(xué)生觀察均勻的鐵絲的質(zhì)量，等長度質(zhì)量相等，只要知道單位長度鐵絲質(zhì)量（線密度），量出鐵絲長度即可。非均勻鐵絲質(zhì)量，需要將無限細(xì)分時(shí)長度質(zhì)量累加、求和、取極限。引出曲線積分概念。再聯(lián)系求曲線長度方法，引出第一類曲線積分公式，不同情境下第一類曲線積分計(jì)算，由學(xué)生自主解決。

（四）? 反饋方式改革

微信群、QQ群是課前、課后學(xué)習(xí)情況反饋的主要形式，主要由課代表負(fù)責(zé)收集、整理，包括學(xué)生知識、思維、學(xué)習(xí)情境出現(xiàn)的困惑，需要得到哪些幫助等，教師根據(jù)反饋信息在群里進(jìn)行指導(dǎo)，或者由部分優(yōu)秀生在群里進(jìn)行指導(dǎo)，或者課下學(xué)習(xí)小組討論完成。課堂反饋由學(xué)生聽課表現(xiàn)、討論表現(xiàn)、練習(xí)時(shí)的表現(xiàn)確定，在課堂上師生共同解決。

（五）? 支持條件改革

1? 運(yùn)用翻轉(zhuǎn)課堂

首先，將核心概念、核心定理、核心題目的基礎(chǔ)知識翻轉(zhuǎn)給學(xué)生，幫助學(xué)生形成前期認(rèn)識，為課堂建構(gòu)打下基礎(chǔ)，充分運(yùn)用“問題導(dǎo)向法”，以問題為導(dǎo)向，層層設(shè)計(jì)聯(lián)結(jié)，讓學(xué)生通過查資料、運(yùn)用多媒體、互聯(lián)網(wǎng)等途徑嘗試自主解決。其次，引導(dǎo)學(xué)生合作學(xué)習(xí)，指定研討組組長，負(fù)責(zé)組織問題討論。最后，將不能解決的問題反饋給課代表，每位學(xué)生完成翻轉(zhuǎn)課堂質(zhì)量和討論情況由組長負(fù)責(zé)紀(jì)錄，課代表統(tǒng)計(jì)，記作平時(shí)成績，確保翻轉(zhuǎn)課堂效果。課堂講授時(shí)，主要在核心概念、核心定理、核心題目設(shè)計(jì)聯(lián)結(jié)點(diǎn)，創(chuàng)設(shè)情境，引導(dǎo)學(xué)生自主建構(gòu)知識體系。解決核心題目時(shí)，引導(dǎo)學(xué)生探究已有題目的聯(lián)結(jié)點(diǎn)，形成解決問題的一般方法，并進(jìn)一步變式，引導(dǎo)學(xué)生深化探究，拓展已有知識體系，課堂講解始終圍繞核心知識難點(diǎn)、疑點(diǎn)展開[6]。

2? 運(yùn)用虛擬仿真技術(shù)

將虛擬仿真技術(shù)應(yīng)用到數(shù)學(xué)教學(xué)，幫助學(xué)生理解核心概念、核心定理，例如極限、微分、積分、導(dǎo)數(shù)等概念產(chǎn)生的背景，運(yùn)用仿真情境，以具體化案例讓學(xué)生了解它們產(chǎn)生的過程，增強(qiáng)親身體驗(yàn)浸入感，更加深入理解形式化核心知識的內(nèi)涵。再如定積分概念的講解時(shí)，用仿真技術(shù)將曲線一段無限放大，感受曲線就是由無限細(xì)分的直線段構(gòu)成，從而理解“化曲為直”的含義。在仿真條件下，將火箭曲面無限細(xì)分、放大，讓學(xué)生觀察曲面實(shí)際就是平面構(gòu)成，分析曲面?zhèn)让嫦虻酌嫱队?，進(jìn)而得出曲面和平面的關(guān)系。課堂抽象知識教學(xué)始終貫徹虛擬仿真技術(shù)建立真實(shí)場景，以具體化方法加深對形式化定義和符號化產(chǎn)生過程的理解，弱化理解難度，提高學(xué)習(xí)興趣[7]。

（六）? 評價(jià)方式的改革

數(shù)學(xué)三個(gè)世界提倡聯(lián)結(jié)學(xué)習(xí)，信息化條件下聯(lián)通主義成為聯(lián)結(jié)學(xué)習(xí)的理論基礎(chǔ)。該理論認(rèn)為，教師成為課程促進(jìn)者，教學(xué)的影響者。因此，教師如何幫助學(xué)生在已有認(rèn)知體系、外部認(rèn)知體系、新概念體系之間建立聯(lián)結(jié)，如何根據(jù)學(xué)生的討論和反思，將學(xué)生從矛盾和迷茫中引導(dǎo)出來，如何把學(xué)生零碎知識點(diǎn)進(jìn)行聚合，如預(yù)判學(xué)生學(xué)習(xí)出現(xiàn)的困難，有效地加以預(yù)防，成為評價(jià)教師能力的主要內(nèi)容。學(xué)生參與學(xué)習(xí)的主動性、自主發(fā)現(xiàn)知識聯(lián)結(jié)點(diǎn)的能力、元認(rèn)知水平、主動創(chuàng)造知識能力、創(chuàng)新能力和水平成為評價(jià)學(xué)生的內(nèi)容。學(xué)習(xí)內(nèi)容的不斷深化、更新，教學(xué)和學(xué)習(xí)模式的不斷升級，也是評價(jià)教學(xué)和學(xué)習(xí)的重要內(nèi)容。

三? 數(shù)學(xué)三個(gè)世界理論下教學(xué)過程

教學(xué)過程按照運(yùn)用翻轉(zhuǎn)課堂預(yù)習(xí)、線上自主學(xué)習(xí)、收集疑難問題、課堂虛擬仿真條件下核心知識與核心題目學(xué)習(xí)、小組討論形成結(jié)論和課后鞏固提高等步驟展開。

（一）? 設(shè)計(jì)翻轉(zhuǎn)課堂

確定每節(jié)課的核心概念、核心定理、核心題目，從教材問題情境入手設(shè)計(jì)聯(lián)結(jié)點(diǎn)。根據(jù)核心概念，引導(dǎo)學(xué)生探討概念間聯(lián)系，形成概念的全面理解。圍繞核心定理，探究與其他定理、性質(zhì)的關(guān)系，全面理解定理。以包含知識內(nèi)容、解決問題方法為依據(jù)，確定核心題目，設(shè)計(jì)問題情境，探究與其他題目的聯(lián)系，形成解決問題的一般方法。將上述內(nèi)容反轉(zhuǎn)給學(xué)生，形成對核心知識的前期認(rèn)識。

（二）? 線上自主學(xué)習(xí)

建立學(xué)習(xí)微信群，以課代表和部分優(yōu)秀學(xué)生為中心，確定學(xué)習(xí)小組。基礎(chǔ)知識、基本方法、基礎(chǔ)題目由小組討論自主解決，各小組之間相互分享形成解決問題的一般方法。為保證全體學(xué)生參與，可以用雨課堂簽到的方式，作為平時(shí)成績的一部分。學(xué)生不懂的基礎(chǔ)問題也可以在微信群里反映，教師在知識聯(lián)結(jié)點(diǎn)、思維聯(lián)結(jié)點(diǎn)、已有解決問題方法聯(lián)結(jié)點(diǎn)處予以啟發(fā)指導(dǎo)。

（三）? 收集疑難問題

學(xué)生自主學(xué)習(xí)中遇到問題，由課代表反饋給教師。例如定積分概念、第二類曲線積分概念、三重積分概念的理解，分部積分法、定積分換元法、二重積分極坐標(biāo)換元法，第二類曲線積分計(jì)算方法，中值定理相關(guān)證明、級數(shù)應(yīng)用等。遵循認(rèn)知累積性建構(gòu)原則，在新舊知識聯(lián)結(jié)處創(chuàng)設(shè)聯(lián)結(jié)，便于引導(dǎo)學(xué)生共同解決。對于新知識學(xué)習(xí)可能出現(xiàn)的問題，教師要有準(zhǔn)確預(yù)判，設(shè)計(jì)問題情境，幫助學(xué)生解決。

（四）? 核心知識學(xué)習(xí)

核心知識學(xué)習(xí)包括核心概念、核心定理學(xué)習(xí)。核心概念按照具體化、符號化、形式化認(rèn)知順序，為了幫助學(xué)生實(shí)現(xiàn)由具體化到符號化的轉(zhuǎn)化，充分運(yùn)用虛擬仿真技術(shù)，引導(dǎo)學(xué)生自主形成認(rèn)知。如曲面積分中，以虛擬仿真動態(tài)還原“平面代替曲面”思想產(chǎn)生過程，讓學(xué)生很自然地接受。積分、中值定理等“形式化”概念和理論學(xué)習(xí)，以虛擬仿真形式化概念和定理產(chǎn)生過程，在問題中，探究形式化概念與其他形式化概念的聯(lián)結(jié)點(diǎn)、形式化定理之間的聯(lián)結(jié)，通過反思抽象，深化對形式化概念和定理的理解。

（五）? 核心題目學(xué)習(xí)

核心題目的確定，首先來自章節(jié)所學(xué)核心概念、核心定理，這類題目緊扣概念定理，幫助學(xué)生深入理解。其次來自典型方法、典型技能的運(yùn)用，這類題目對應(yīng)多種題型，具有觸類旁通的效果。再次來自綜合型題目，這類題目滲透著核心知識和技能方法的應(yīng)用，利于提升學(xué)生創(chuàng)新能力、發(fā)展層次、競爭實(shí)力。教師在知識、思維、方法聯(lián)結(jié)點(diǎn)處引導(dǎo)學(xué)生自主解決核心題目，并探究與其他題目的聯(lián)結(jié)點(diǎn)，進(jìn)而加深對核心概念、核心定理、核心方法的理解。

（六）? 討論形成結(jié)論

在課前自主學(xué)習(xí)、交流、分享經(jīng)驗(yàn)，課上運(yùn)用虛擬仿真分析問題的基礎(chǔ)上，師生共同探究、討論、形成問題解決的結(jié)論。對于具體化問題，在師生共同概括、壓縮、抽象，形成概念，并用符號表示基礎(chǔ)上，以核心題目探究概念間聯(lián)系，形成概念體系。對于形式化問題，在分析已有知識和思維聯(lián)結(jié)點(diǎn)基礎(chǔ)上，師生共同解決核心題目，形成解決問題的一般方法。變換核心題目，加深對形式化概念、形式化定理的理解，將相關(guān)知識、方法加以歸納，形成問題解決的一般模式。對于應(yīng)用問題，引導(dǎo)學(xué)生探求形式化知識與現(xiàn)實(shí)的聯(lián)結(jié)點(diǎn)，理解形式化問題產(chǎn)生情境，形成解決應(yīng)用問題的一般方法。

（七）? 反思鞏固提高

圍繞課堂學(xué)習(xí)的核心概念、核心定理、核心題目設(shè)計(jì)課后習(xí)題，分為基礎(chǔ)題和提高題兩種類型，采用線上線下相結(jié)合的方式?；A(chǔ)題目由學(xué)生完成。提高題目先由學(xué)生自主解決，教師檢查發(fā)現(xiàn)問題，或者學(xué)生在線反應(yīng)疑難點(diǎn)。部分疑難問題教師在線提示或講解，共同問題課堂講評，形成解決問題的思路，規(guī)律、方法。每章節(jié)的設(shè)計(jì)在線單元練習(xí)由學(xué)生自主完成。

四? 結(jié)束語

基于數(shù)學(xué)三個(gè)世界理論的教學(xué)改革是一種線上線下有效結(jié)合成功實(shí)踐，其以幫助學(xué)生學(xué)習(xí)抽象知識，形成抽象思維能力，以學(xué)生為中心，培養(yǎng)合作學(xué)習(xí)和自主探究能力為目標(biāo)，形成一種混合式教學(xué)基本框架。筆者在實(shí)踐中體會到，要保證效果最大化，需要對以下環(huán)節(jié)予以加強(qiáng)。

（一）? 學(xué)生忙起來

始終圍繞核心知識學(xué)習(xí)，學(xué)生課前、課中、課后三個(gè)階段都要忙起來。課前可采用小組點(diǎn)名和雨課堂點(diǎn)名的形式，保證所有學(xué)生都參與。課中學(xué)生能討論解決的問題，放給學(xué)生自主解決，讓學(xué)生充分練習(xí)中理解問題。課后讓學(xué)生有練習(xí)、有問題，在學(xué)生線上線下都要參與相互學(xué)習(xí)和討論，疑難問題先自主解決，而后集中反饋。教師引導(dǎo)學(xué)生找出所學(xué)知識，所解題目與核心概念、核心定理之間聯(lián)結(jié)點(diǎn)，所解題目與核心題目聯(lián)結(jié)點(diǎn)，系列題目之間的聯(lián)結(jié)點(diǎn)，形成知識網(wǎng)絡(luò)是學(xué)習(xí)的基本目標(biāo)。

（二）? 教師強(qiáng)起來

教師圍繞核心知識學(xué)習(xí)，駕馭知識、駕馭學(xué)生、駕馭課堂及駕馭問題的能力都要強(qiáng)起來。教師研究課本每章節(jié)知識、課外知識、歷年知識和題目新變化聯(lián)結(jié)點(diǎn)，做到心中有數(shù)。教師要參與到學(xué)生線上和線下討論中，充分了解學(xué)生建立知識和思維聯(lián)結(jié)點(diǎn)存在的不足，使教學(xué)有針對性。教師對學(xué)生課堂提出的問題和可能出現(xiàn)的問題要有準(zhǔn)確預(yù)判，才能更好駕馭課堂。在充分研究教學(xué)內(nèi)容基礎(chǔ)上，對疑難問題、課堂突發(fā)問題都能得心應(yīng)手。

（三）? 效果實(shí)起來

圍繞核心知識學(xué)習(xí)，強(qiáng)化課前、課中、課后教學(xué)和學(xué)習(xí)實(shí)效。翻轉(zhuǎn)課堂階段學(xué)生反饋問題一定要準(zhǔn)確，課代表收集問題一定要及時(shí)，為保證獲得問題的準(zhǔn)確性，教師適時(shí)參與到群中的步驟必不可少。解決課堂問題一定要落地，讓學(xué)生確實(shí)弄懂、學(xué)會，必要時(shí)圍繞核心概念、核心定理和新題目反復(fù)變式，幫助學(xué)生探究其中聯(lián)結(jié)點(diǎn)，形成對問題的基本認(rèn)識，總結(jié)出解決問題的基本方法，使學(xué)生真正理解知識，會解決這類問題。課后問題一定要有反饋，對課后布置的線上和線下問題和作業(yè)一定要有檢查和反饋，可采用學(xué)生相互檢查與教師檢查相結(jié)合的形式，典型問題采用教師在群里講評，或者課堂集中講評的形式，保證教學(xué)和學(xué)習(xí)效果。

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第一作者簡介：周士民（1969-），男，漢族，山東淄博人，碩士，副教授，碩士研究生導(dǎo)師。研究方向?yàn)閿?shù)學(xué)教育。