圓中陰影圖形面積的特殊解法舉例

陳瑤瓊

【摘? 要】? 圓中陰影圖形的面積求解時，需要分析問題類型，對于不規(guī)則無法直接求面積的情形可以采用不同的解法.本文結(jié)合實(shí)例深入探究等積變換、割補(bǔ)拼接、圖形變化三種特殊方法的構(gòu)建思路，形成相應(yīng)的解題策略.

【關(guān)鍵詞】? 初中數(shù)學(xué)；圓；陰影面積

圓中陰影圖形面積問題十分常見，對于不規(guī)則圖形問題需要采用特殊的解法，常用的有等積變換法、割補(bǔ)拼接法、圖形變化法，下面結(jié)合實(shí)例具體探究.

1? 等積變換法

等積變換，顧名思義對所求圖形進(jìn)行等面積變化，將其轉(zhuǎn)化為規(guī)則圖形面積或易求圖形面積.利用等積變換求解不規(guī)則三角形面積時，可以充分利用同底等高模型，結(jié)合面積公式進(jìn)行面積變換.可分兩步進(jìn)行：第一步，確定三角形的底和高，結(jié)合模型進(jìn)行同底等高模型轉(zhuǎn)換；第二步，推導(dǎo)線段長，結(jié)合面積公式求面積.

例1? 如圖1所示，點(diǎn)A，B，C是⊙O上的點(diǎn)，連接AB，AC，BC，且∠ACB＝15°，過點(diǎn)O作OD∥AB交⊙O于點(diǎn)D，連接AD，BD，已知⊙O半徑為2，則圖中陰影面積為___________.

思路分析? 本題目求圓中陰影的面積，陰影圖形為三角形，無法直接利用面積公式求解，可以采用等積變換法，通過等面積轉(zhuǎn)化求解.

過程詳解? 已知∠ACB=15°，則可推得∠AOB=30°.

又知OD∥AB，結(jié)合同底等高模型可知S△ABD=S△ABO，

所以S陰影=S扇形AOB=，

即圖中陰影面積為.

總結(jié)提升? 上述求解圓中陰影部分的面積時采用了等積變換法，即借助同底等高模型進(jìn)行面積轉(zhuǎn)化.問題求解涉及了圓周角定理、扇形面積公式等知識，解題的關(guān)鍵是確定三角形的底和高、結(jié)合模型進(jìn)行等積轉(zhuǎn)化，另外還可以利用等底等高模型轉(zhuǎn)換.

2? 割補(bǔ)拼接法

割補(bǔ)拼接法也可求解圓中陰影的面積，適用于不規(guī)則圖形的面積問題中，基本思路是通過圖形分割、拼接，將不規(guī)則的多邊形或有圓弧的圖形轉(zhuǎn)化為規(guī)則圖形的面積組合.求解時可分為三步：第一步，探究陰影圖形的條件，確定分割思路；第二步，做輔助線或借助圖中線段，對陰影圖形進(jìn)行分割；第三步，結(jié)合圖形面積公式，逐一求解面積.

例2? 如圖2（a）所示，在扇形CBA中，∠ACB=90°，連接AB，以BC為直徑作半圓，交AB于點(diǎn)D.如果陰影部分的面積為（π﹣1），則陰影部分的周長為___________.

思路分析? 上述設(shè)定陰影面積，求其周長，可以歸為與面積周長相關(guān)的幾何問題.求解時可以采用面積割補(bǔ)拼接法，將陰影部分面積轉(zhuǎn)化為規(guī)則圖形的面積，結(jié)合面積公式分別構(gòu)建模型，列方程求解線段長，最后利用周長公式求解.

過程詳解? 設(shè)BC的中點(diǎn)為O，連接OD，連接CD，如圖2（b）所示.

因?yàn)橐訠C為直徑作半圓，交AB于點(diǎn)D，

所以CD⊥AB.

因?yàn)锳C=BC，∠ACB=90°，

則AD=BD，CD=AB，

可推得CD=BD，

所以弧CD=弧BD.

又知AD=BD，CO=BO，則OD∥AC，

所以∠BOD＝90°.

設(shè)AC=BC=m，

則AB=，CD=AD=BD=，

因?yàn)殛幱安糠值拿娣e為（π﹣1），

則S陰影部分=S扇形ACB﹣S△ADC=，

整理可得，

可解得m=2，

所以AC=BC=2，AB=，OC=OB=1，

則弧AB的長為，

弧BD的長為，

陰影部分的周長為：

總結(jié)提升? 上述為與圓中陰影面積相關(guān)的周長問題，面積條件解析時采用了割補(bǔ)拼接方法，將不規(guī)則圖形面積轉(zhuǎn)化為規(guī)則圖形的面積組合，進(jìn)而求解線段條件.利用割補(bǔ)拼接解題時需注意兩點(diǎn)：一是避免分割過于分散；二是割補(bǔ)過程確保等積.

3? 圖形變化法

利用圖形變化法求解圓中陰影面積，即通過旋轉(zhuǎn)、平移、翻折的方式進(jìn)行等積轉(zhuǎn)換.圖形變化時需要立足定義，關(guān)注變換過程，等積變換.可分兩步進(jìn)行：第一步，確定圖形變化方法；第二步，進(jìn)行等積變換，求解圖形面積.

例3? 如圖3所示，正方形ABCD的邊長為4，O為對角線的交點(diǎn)，點(diǎn)E，F(xiàn)分別為BC，AD的中點(diǎn)，以C為圓心，4為半徑作圓弧BD，再分別以E，F(xiàn)為圓心，2為半徑作圓弧BO，OD，則圖中陰影部分的面積為___________.（結(jié)果保留π）

思路分析? 本題目求圓中陰影部分的面積，該圖形涉及圓弧，無法直接求出，可以結(jié)合圖形變化法中的旋轉(zhuǎn)，進(jìn)行旋轉(zhuǎn)拼接，再求解.

過程詳解? 連接BD，EF，如圖3中的虛線所示，

因?yàn)檎叫蜛BCD的邊長為4，O為對角線的交點(diǎn)，根據(jù)題意可知EF，BD經(jīng)過點(diǎn)O，且EF⊥AD，EF⊥CB.

因?yàn)辄c(diǎn)E，F(xiàn)分別為BC，AD的中點(diǎn)，

則FD=FO=EO=EB=2，

可得弧OB=弧OD，OB=OD，

所以弓形OB=弓形OD，則陰影部分的面積等于弓形BD的面積，

從而可得S陰影＝S扇形CBD﹣S△CBD=，

即圖中陰影部分的面積為.

總結(jié)提升? 上述求解與圓弧相關(guān)的陰影面積時采用了圖形旋轉(zhuǎn)變化的方法，即分割圖形，通過旋轉(zhuǎn)變化將其拼接成弓形，后續(xù)再結(jié)合面積割補(bǔ)求圖形面積.圖形變化法求解圖形，其核心知識是旋轉(zhuǎn)、平移、翻折的幾何特性，即圖形的線段、面積、形狀不變，僅面積發(fā)生了變化.

4? 結(jié)語

總之，求解圓中陰影圖形的面積方法眾多，上述舉例探究的是其中較為特殊且常用的三種，三種解法的核心思想是等面積轉(zhuǎn)化、數(shù)形結(jié)合建模.探究解析時要關(guān)注三點(diǎn)：一是歸納問題類型，總結(jié)對應(yīng)方法；二是結(jié)合實(shí)例探索應(yīng)用，構(gòu)建解析思路；三是合理變式問題，拓展解題思路.