深度解析以折紙為背景的中考題

馮志賢

(江蘇省常熟市白茆中學(xué),江蘇 常熟 215532)

例1 已知矩形紙片ABCD,AB=2,AD=1, 將紙片折疊, 使頂點(diǎn)A與邊CD上的點(diǎn)E重合.

(2) 如果折痕FG分別與CD、AB交于點(diǎn)F、G,AED的外接圓與直線(xiàn)BC相切, 求折痕FG的長(zhǎng), 如圖1[1].

圖1 例1題圖

折疊方法解析本題的折紙操作方法可以用以下 4 個(gè)步驟描述:

操作1 將AD與BC重合對(duì)折, 折痕為MN, 如圖2所示;

圖2 操作1圖

操作2 將AD與MN重合對(duì)折, 折痕為RS, 如圖3所示;

圖3 操作2圖

操作3 過(guò)S、M兩點(diǎn)折疊, 折痕為MS, 折疊以后BS與AD的交點(diǎn)為F, 如圖 4所示;

再生水是指廢污水經(jīng)適當(dāng)處理后，達(dá)到一定的水質(zhì)標(biāo)準(zhǔn)，滿(mǎn)足某種使用要求，可以進(jìn)行有益使用的水。本文主要梳理了美國(guó)、以色列、新加坡等國(guó)（以美國(guó)為主）及相關(guān)國(guó)際組織在再生水利用方面的諸多經(jīng)驗(yàn)，以期對(duì)我國(guó)再生水利用提供借鑒。

圖4 操作3圖

操作4 過(guò)點(diǎn)F將點(diǎn)A折到CD上, 折痕為FG, 點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為E, 如圖5所示.

圖5 操作4圖

(2)折疊的關(guān)鍵是要確定點(diǎn)E的位置,我們先假設(shè)已經(jīng)折出來(lái)了,如圖6所示,然后再計(jì)算CE的長(zhǎng)度,從而確定點(diǎn)E的位置.

圖6 確定E的位置

圖7 操作5圖

操作6將A、E兩點(diǎn)重合對(duì)折, 折痕為FG, 如圖8所示.

圖8 操作6圖

求折痕FG的長(zhǎng)度.

在圖8中, 由操作6知GF⊥AE, 所以∠AGP+∠GAP=90°, 而∠GAP+∠DAE=90°, 所以∠AGP=∠DAE.

圖9 計(jì)算FG的長(zhǎng)

例2 如圖10,在梯形ABCD中,AD∥BC,AB=DC=3,沿對(duì)角線(xiàn)BD翻折梯形ABCD,若點(diǎn)A恰好落在下底BC的中點(diǎn)E處,則梯形的周長(zhǎng)為_(kāi)___.

圖10 例2題圖

折疊方法解析“沿對(duì)角線(xiàn)BD翻折梯形ABCD”,實(shí)際上是過(guò)B、D兩點(diǎn)折疊;“若點(diǎn)A恰好落在BC的中點(diǎn)E處”這必須是非常特殊的梯形才能辦到.那么這是怎樣的一個(gè)梯形呢?

如圖11所示,因?yàn)辄c(diǎn)A關(guān)于折痕BD的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為E, 所以△ABD?△BDE, 即AB=BE,AD=DE,∠ADB=∠EDB.因?yàn)锳D∥BC,有∠ADB=∠DBE,所以∠DBE=∠EDB,即BE=DE,因此四邊形ABED是菱形.又因?yàn)镋是BC的中點(diǎn),而AB=CD,所以△CDE是等邊三角形.

圖11 折疊解析

問(wèn)題解答由上述討論可知, 梯形ABCD是底角為60°的等腰梯形,周長(zhǎng)等于5倍腰的長(zhǎng)度,即等于15.

例3 矩形紙片ABCD的邊長(zhǎng)AB=4,AD=2, 將矩形紙片沿EF折疊, 點(diǎn)A與點(diǎn)C重合, 折疊后在其一面著色 (如圖12), 則著色部分的面積為( )[2].

折疊方法解析“將矩形紙片沿EF折疊,點(diǎn)A與點(diǎn)C重合”,實(shí)際上,將兩點(diǎn)重合對(duì)折的折痕是唯一的, 所以先給出折痕,然后再將兩點(diǎn)重合對(duì)折這種描述方式不夠嚴(yán)謹(jǐn),本題的操作過(guò)程可以描述為:將矩形ABCD的兩頂點(diǎn)A與C重合對(duì)折,折痕為EF,點(diǎn)D的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為G,如圖13所示.

圖12 折疊解析

問(wèn)題解答求梯形CEFG的面積.

因?yàn)辄c(diǎn)A關(guān)于折痕EF的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為C,點(diǎn)D關(guān)于折痕EF的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為G,所以四邊形ADFE與四邊形CEFG全等,所以AD=CG,又因?yàn)檎酆鄞怪逼椒謨蓪?duì)應(yīng)點(diǎn)的連線(xiàn),即EF垂直平分AC,有CF=CE,所以梯形CEFG的上底FG加下底CE正好等于CD,于是梯形CEFG的面積等于4.

例4 如圖14,矩形ABCD沿AE折疊,使點(diǎn)D落在邊BC上的點(diǎn)F處,如果∠BAF=60°, 那么∠DAE=( )[3].

A.15° B.30° C.45° D.60°

圖13 例3題圖

折疊方法解析可以將“矩形ABCD沿AE折疊,使點(diǎn)D落在邊BC上的點(diǎn)F處”描述: 過(guò)點(diǎn)A將點(diǎn)D折到BC上,折痕為AE,D的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為F, 如圖14所示.

圖14 折疊解析

問(wèn)題解答從條件∠BAF=60°可知, 且∠DAE=∠FAE, 即∠DAE=15°.

縱觀以上的考題,我們發(fā)現(xiàn)很多的中考題都是以折紙為背景來(lái)考查的,這就要求一線(xiàn)教師在日常教學(xué)中要滲透折紙藝術(shù)、關(guān)注學(xué)生的動(dòng)手操作能力.同時(shí),也在教學(xué)中啟示了一線(xiàn)教師:折紙可以進(jìn)入中小學(xué)數(shù)學(xué)課堂,通過(guò)折紙操作活動(dòng),引導(dǎo)學(xué)生觀察折痕所形成的邊角關(guān)系,幫助學(xué)生建立折紙操作與數(shù)學(xué)內(nèi)容的聯(lián)系,培養(yǎng)其動(dòng)手能力、觀察能力、想象能力和創(chuàng)造性思維能力.還要注意科學(xué)性與操作性相結(jié)合、趣味性與嚴(yán)謹(jǐn)性相結(jié)合、啟發(fā)性與示范性相結(jié)合的原則.