圓錐曲線中定點(diǎn)和定值問題的求解策略探究

李 波

(四川省南充高級(jí)中學(xué),四川 南充 637901)

學(xué)習(xí)《圓錐曲線與方程》章節(jié)的內(nèi)容,定點(diǎn)和定值問題是圓錐曲線的高頻考點(diǎn),該問題涉及圓錐曲線的定義、幾何性質(zhì)、直線與圓錐曲線的位置關(guān)系、極坐標(biāo)系和參數(shù)方程等知識(shí),與平面向量、函數(shù)與方程、不等式等代數(shù)知識(shí)緊密聯(lián)系.

1 利用結(jié)論,快速秒殺

2 特值引路,先找后證

(1)求橢圓E的方程;

(2)直線MF1,NF1分別交橢圓E于C,D兩點(diǎn),設(shè)直線CD與x軸交于點(diǎn)P,證明:|PB|為定值.

由根與系數(shù)的關(guān)系知

又F1(-1,0),所以直線MF1的方程為

由根與系數(shù)的關(guān)系知

直線PC的斜率為

當(dāng)直線MN的斜率為0時(shí),不滿足M,N均在y軸的右側(cè).

3 回歸定義,以退為進(jìn)

圖1 例3示意圖

(1) 求橢圓M的標(biāo)準(zhǔn)方程;

(2) 已知直線l與橢圓M相切于點(diǎn)P(x0,y0),且l與直線x=a和x=-a分別相交于C,D兩點(diǎn),記四邊形ABCD的對(duì)角線AC,BD相交于點(diǎn)N.問:是否存在兩個(gè)定點(diǎn)F1,F2,使得|NF1|+|NF2|為定值?若存在,求出F1,F2的坐標(biāo);若不存在,說明理由.

(2)當(dāng)y0=0時(shí),由圖1知,顯然不成立.

當(dāng)y0≠0時(shí),設(shè)直線CD的方程為

y=k(x-x0)+y0,

(1+4k2)x2+8k(y0-kx0)x+4(y0-kx0)2-4=0.

由直線CD與橢圓相切知△=64k2(y0-kx0)2-4(1+4k2)[4(y0-kx0)2-4]=0.

即過點(diǎn)P的切線方程為x0x+4yy0-4=0.

4 幾何特征,同一性轉(zhuǎn)化

(1)求C的方程;

(2)點(diǎn)M,N在C上,且AM⊥AN,AD⊥MN,D為垂足,證明:存在定點(diǎn)Q,使得|DQ|為定值.

滿足△=24+48k2-8m2>0,

由根與系數(shù)的關(guān)系知

當(dāng)2k+2m=m+1時(shí),m=-2k+1,直線MN的方程為y-1=k(x-2),即直線MN過點(diǎn)A,不成立;

5 觀察結(jié)構(gòu),列式消元

(1)求C的方程;

顯然△>0,由根與系數(shù)的關(guān)系知

6 對(duì)偶運(yùn)算,同構(gòu)思想

(1)求曲線C的方程;

圖2 例6解析圖

7 參數(shù)方程,有效轉(zhuǎn)化

(1)求橢圓C的方程;

(2)設(shè)E(m,0),m>0,直線l的參數(shù)方程為

(1+2sin2θ)t2+2mtcosθ+m2-6=0,

滿足△=4m2cos2θ-4(1+2sin2θ)(m2-6)>0.

設(shè)|QA|=|t1|,|QB|=|t2|,

由根與系數(shù)的關(guān)系知

代入兩根之和、積得

解析幾何中的定點(diǎn)和定值問題是圓錐曲線的高頻考點(diǎn),突出了數(shù)學(xué)的學(xué)科特色,著重考查學(xué)生的理性思維和綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)思想方法發(fā)現(xiàn)問題、分析問題、解決問題的能力,讓學(xué)生思維的廣度與深度得到充分的展示.