2023年全國(guó)乙卷(理科)第19題的多解探究

雷 譽(yù)

(湖北省咸寧市青龍山高級(jí)中學(xué),湖北 咸寧 437000)

立體幾何中的證明和計(jì)算問(wèn)題是高中數(shù)學(xué)的熱點(diǎn)和重點(diǎn)內(nèi)容,具有一定的難度.本文以2023年全國(guó)乙卷的立體幾何大題為例,從不同解題思路出發(fā),拓展求解策略和思維角度,幫助學(xué)生掌握常見(jiàn)的解決立體幾何問(wèn)題的三大方法:幾何法、坐標(biāo)向量法和基底向量法,使其加深認(rèn)識(shí)和提高效率.

1 真題再現(xiàn)

圖1 三棱錐P-ABC

(1)證明:EF∥平面ADO;

(2)證明:平面ADO⊥平面BEF;

(3)求二面角D-AO-C的正弦值.

2 試題解析

思路1 證明立體幾何中的平行和垂直關(guān)系的問(wèn)題時(shí),需要借助平面幾何圖形分析出線(xiàn)線(xiàn)平行或垂直關(guān)系.計(jì)算立體幾何空間角的問(wèn)題,需要運(yùn)用幾何性質(zhì)作圖找到所求的夾角,然后利用解三角形知識(shí)求解問(wèn)題.

解法1(幾何法) (1)如圖2,過(guò)點(diǎn)A作AB的垂線(xiàn)AQ,延長(zhǎng)BF交AQ于點(diǎn)Q,易得∠BOA=∠ABQ.

圖2 平面ABC的幾何法

所以AQBC.

所以F為AC的中點(diǎn).

由D,E,O,F分別為PB,PA,BC,AC的中點(diǎn),

又EF?平面ADO,DO?平面ADO,

所以EF∥平面ADO.

所以O(shè)D2+AO2=AD2.

則OD⊥AO.

即EF⊥AO.

又AO⊥BF,BF∩EF=F,BF,EF?平面BEF,

則有AO⊥平面BEF.

又AO?平面ADO,所以平面ADO⊥平面BEF.

(3)記AO,BF交點(diǎn)為G,AD,BE交點(diǎn)為H,易得G為△ABC的重心,H為△PAB的重心.

則GH∥OD.

又OD⊥AO,則GH⊥AO.

又GF⊥AO,所以∠HGF即為二面角D-AO-C的平面角或∠EFB為二面角D-AO-C的平面角的補(bǔ)角.

點(diǎn)評(píng)幾何法的難點(diǎn)是抓住已知條件找出幾何關(guān)系,前兩問(wèn)是為了第三問(wèn)作出二面角的平面角做準(zhǔn)備.在破解立體幾何問(wèn)題的過(guò)程中,需要關(guān)注空間模型的幾何特性,包括點(diǎn)線(xiàn)關(guān)系、線(xiàn)線(xiàn)關(guān)系、線(xiàn)面關(guān)系等.從平面視角可確定兩線(xiàn)的特殊關(guān)系,為空間關(guān)系的探索做好基礎(chǔ)[1].

思路2首先根據(jù)題目條件分析出三條兩兩互相垂直的直線(xiàn),建立合適的空間直角坐標(biāo)系,運(yùn)用坐標(biāo)法解決立體幾何的證明和計(jì)算問(wèn)題.

解法2 (1)同解法1.

(2)易得OF⊥BC,OP⊥BC,OF∩OP=O,則BC⊥面POF.

設(shè)面ADO的法向量n=(x1,y1,z1),則

設(shè)面BEF的法向量m=(x2,y2,z2),則

所以平面ADO⊥平面BEF.

圖3 以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)建系圖4 以B為坐標(biāo)原點(diǎn)建系

所以F為AC的中點(diǎn).

所以EF∥平面ADO.

(2)設(shè)D(x,y,z),則

所以平面ADO⊥平面BEF.

(3)同解法2.

思路3若三條兩兩互相垂直的直線(xiàn)不容易找到時(shí),可以選取長(zhǎng)度和夾角已知的三個(gè)基向量為一組基底,運(yùn)用向量運(yùn)算解決立體幾何的證明和計(jì)算問(wèn)題.

解法4(1)連接DE,OF,設(shè)AF=tAC,則

所以EF∥平面ADO.

所以O(shè)D2+AO2=AD2.

則OD⊥AO,即EF⊥AO.

又AO⊥BF,BF∩EF=F,BF,EF?平面BEF,

則有AO⊥平面BEF.

又AO?平面ADO,所以平面ADO⊥平面BEF.

解得x2=2,y2=-1,z2=0.

所以平面ADO⊥平面BEF.

解得x3=1,y3=-1,z3=2.

在平時(shí)立體幾何問(wèn)題的訓(xùn)練中,要多從圖形的幾何特性去分析線(xiàn)線(xiàn)關(guān)系和線(xiàn)面關(guān)系,還要能利用好空間向量這個(gè)法寶,既可以建立合適的空間直角坐標(biāo)系,還可以選取模長(zhǎng)和夾角已知的向量為一組基底,將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為向量運(yùn)算.在解題過(guò)程中需要不斷積累和總結(jié),以幫助學(xué)生掌握數(shù)學(xué)思想方法和提高數(shù)學(xué)素養(yǎng).