微積分在物理學中的應用

宋書宇

(淮南第四中學,安徽 淮南 232001)

數(shù)學和物理學是相通的,很多的數(shù)學問題具有物理背景,而很多的物理問題也需要數(shù)學工具來解決.文章利用微積分對物理學中一些經(jīng)典問題進行探究,不僅是從高觀點來理解物理,同時也是在探索物理中的數(shù)學方法.

1 做功問題

例1 把質(zhì)量為m的物體從地球(其半徑為R)表面抬升到高度為h的地方,需要對它做多少功? 若物體遠離至無窮遠處, 則功等于多少?

解法1如圖1所示,取地球中心為原點,取Ox軸垂直向上.設物體當前的位置為x,考慮將其從高度x提升到x+dx時需要做的功.

圖1 例1題圖

這個答案在h?R時也就與mgh差不多.

對于h為無窮遠的情況,只要令h→+∞取極限,就得到將物體拋至無窮遠處所需要做的功為mgR.

而當h→+∞時則可直接計算廣義積分如下:

稱為(常)微分方程.若后一式的右邊不出現(xiàn)y,則就是求不定積分.它是最簡單的微分方程, 本題就是如此.從不定積分知道,其中出現(xiàn)待定常數(shù). 如解法1所示,根據(jù)條件W(R)=0可以求出這個常數(shù),從而得到完全確定的解.這在微分方程理論中稱為初始條件[1].

2 壓力問題

例2求水對堅直放置的半圓形擋板的壓力, 該擋板的半徑為a,而水面位于擋板頂部直徑的位置.

解法1如圖2所示,將原點置于水面,Ox軸垂直于水面指向下方.

圖2 解法1示意圖 圖3 解法2示意圖

解法2 如圖3所示,考慮擋板在角φ到φ+dφ之間的扇形部分.可以將它近似地看成為一個三角形,它的質(zhì)心離開原點的距離為2a/3.水對這個扇形的壓力等于扇形面積乘以水在質(zhì)心處的壓強. 這就是

注這里需要解釋一下, 在解法2中,作用在一個小扇形上的水壓力為什么等于其面積乘以在其質(zhì)心處的壓強.為此只要注意水的壓強值(在忽略常數(shù)因子后)等于深度x,也就是到Oy軸的距離.因此解法2的做法是合理的[2].

3 動能問題

例3半徑為R而密度為δ的均質(zhì)球體以角速度ω繞其直徑旋轉,求此球的動能.

其中M(2)是質(zhì)點系的轉動慣量.對質(zhì)量為連續(xù)分布的系統(tǒng),只要將上述mi用微分代替,將求和改為求積分即可得到.

4 吸引力問題

例4線密度μ0為常數(shù)的無窮直線以怎樣的力吸引距此直線距離為a而質(zhì)量為m的質(zhì)點?

解如圖4所示,將該直線(棒)置于Ox軸上,考慮微元dx對點(0,a)處的質(zhì)點的引力.

圖4 例4題圖

這樣就列出積分公式如下:

作代換x=atant, 就得到

5 容器形狀的確定問題

例5 旋轉體容器應該具有什么形狀,才能使液體從容器底部流出時,液體上表面的下降是均勻的?

解如圖5所示為容器的一個截面.設想該容器是用xOz平面內(nèi)的曲線z=z(x)圍繞Oz軸旋轉得到,其中設z(0)=0,曲線在第一象限中.

圖5 例5題圖

如圖5所示,液體水平面的高度是時間的函數(shù),記為z(t),則在時間dt內(nèi)z(t)下降dz時容器內(nèi)減少的液體體積就等于流出的液體量.

也就是微分方程

對于物理問題的理解和解決,可以從微積分的視角來分析,這樣才能看清問題的本質(zhì).在日常教學中,也可以給學生滲透微積分的知識與方法,如在變力做功或者變速運動的問題中.這樣,可以幫助學生建立完整的知識框架和認知結構,對激發(fā)學生學習物理的興趣以及學生今后物理學習的潛能是非常有幫助的.