非厄米Su-Schrieffer-Heeger鏈邊緣態(tài)和趨膚效應(yīng)依賴的電子輸運(yùn)特性*

楊艷麗 段志磊 薛海斌?

1) (晉中信息學(xué)院數(shù)理教學(xué)部,晉中 030800)

2) (太原理工大學(xué)物理學(xué)院,太原 030024)

1 引言

非厄米概念和拓?fù)渌枷胫g的協(xié)同效應(yīng),即非厄米系統(tǒng)的拓?fù)湫再|(zhì)是近年來一個(gè)非常活躍的研究領(lǐng)域[1-5].特別是,在非厄米系統(tǒng)中發(fā)現(xiàn)了許多厄米系統(tǒng)無(wú)對(duì)應(yīng)的特殊拓?fù)湫再|(zhì).例如,在非厄米拓?fù)湎嘀衅毡榇嬖诘奶厥恻c(diǎn)[2,4-8]、超越通常體邊對(duì)應(yīng)關(guān)系[9-16]的缺陷邊緣態(tài)[14,15],以及非厄米系統(tǒng)在開邊界情形下本征態(tài)以指數(shù)衰減形式定域在其邊界附近的非厄米趨膚效應(yīng)[3,17-31].其中,非厄米趨膚效應(yīng)定義了非布洛赫的體邊對(duì)應(yīng)關(guān)系,并建立了基于廣義布里淵區(qū)的非布洛赫能帶理論.因而,非厄米Su-Schrieffer-Heeger (SSH)鏈[32]的非厄米趨膚效應(yīng)引起人們極大的研究興趣,并且該特性已經(jīng)在拓?fù)潆娐穂9]、光子晶格[10,19,23]、力學(xué)超材料[11]、光波導(dǎo)[17]、光子晶體[18]、冷原子[21]、聲子晶體[22]中觀察到.雖然在經(jīng)典和量子模擬器中實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)非厄米模型取得了巨大進(jìn)展,但是在實(shí)驗(yàn)和理論上如何探測(cè)非厄米SSH鏈的缺陷邊緣態(tài)仍然是非厄米物理學(xué)的重要課題之一.例如,在一個(gè)耗散Aharonov-Bohm鏈中,態(tài)的邊界動(dòng)力學(xué)特性可以用來探測(cè)其非平庸拓?fù)溥吘墤B(tài)[33].最近,在厄米SSH鏈系統(tǒng)中,利用電子在零能附近透射率峰個(gè)數(shù)隨著其與源極、漏極之間隧穿耦合強(qiáng)度的變化可以用來判斷該系統(tǒng)是否具有非平庸拓?fù)鋺B(tài)[34-36].但是,如何基于電子輸運(yùn)特性探測(cè)非厄米SSH鏈的缺陷邊緣態(tài)仍然是一個(gè)開放的課題.特別是,非厄米SSH鏈的非平庸拓?fù)溥吘墤B(tài)對(duì)其非厄米趨膚效應(yīng)的影響尚未被揭示.

本文將研究非厄米SSH鏈非平庸拓?fù)溥吘墤B(tài)和趨膚效應(yīng)依賴的電子輸運(yùn)性質(zhì),并探尋如何基于電子輸運(yùn)特性探測(cè)其非平庸拓?fù)溥吘墤B(tài)和趨膚效應(yīng).研究發(fā)現(xiàn),電子在零能附近透射率峰的峰值是否遠(yuǎn)小于或者遠(yuǎn)大于1,可以用來判斷非厄米SSH鏈?zhǔn)亲筅吥w效應(yīng)還是右趨膚效應(yīng),并且非厄米趨膚效應(yīng)在非平庸拓?fù)溥吘墤B(tài)區(qū)域內(nèi)被進(jìn)一步增強(qiáng).另外,非厄米SSH鏈的非平庸拓?fù)溥吘墤B(tài)可以通過逐漸改變其與源極、漏極之間的電子隧穿耦合強(qiáng)度,觀察電子在零能附近反射率谷的數(shù)目變化來判斷.

2 理論模型與研究方法

2.1 耦合導(dǎo)線的非厄米SSH鏈

一般情形下,一維SSH鏈系統(tǒng)的非厄米性通過格點(diǎn)上的增益/損耗平衡和兩個(gè)格點(diǎn)之間的不對(duì)稱定向跳躍這兩種方式進(jìn)行設(shè)計(jì)[1-3].在本文中,考慮后一種設(shè)計(jì)方案,即兩個(gè)格點(diǎn)之間的非互易跳躍,如圖1所示,則在緊束縛近似下非厄米SSH鏈的哈密頓量可表示為[13-15,32,37]

圖1 非厄米SSH鏈與左、右導(dǎo)線耦合系統(tǒng)的示意圖,其中,小的實(shí)心圓(紅色)表示A子格,大的實(shí)心圓(綠色)表示B子格,空心圓(黑色)表示導(dǎo)線上的原子Fig.1.Schematic diagram of the non-Hermitian SSH chain coupled to the left and right leads.The small solid circles (red) represent the A sublattices,the large solid circles (green) represent the B sublattices,the hollow circles (black) represent atoms on the leads.

當(dāng)非厄米SSH鏈與左、右導(dǎo)線耦合時(shí),左、右電極的哈密頓量和其相應(yīng)的電子隧穿耦合哈密頓量可以表示為

2.2 電子的反射率和透射率

為計(jì)算電子通過非厄米SSH鏈的反射率和透射率,假設(shè)電子從左導(dǎo)線(源極)入射.利用每個(gè)子格(原子)的瓦尼爾態(tài),將與左、右導(dǎo)線耦合的非厄米SSH鏈的波函數(shù) |ψ〉寫為[34-36]

其中,|α,j〉表示α導(dǎo)線上第j個(gè)原子的瓦尼爾態(tài),aα,j,k則表示相應(yīng)的瓦尼爾態(tài) |α,j〉的概率幅;|n,β〉表示非厄米SSH鏈第n個(gè)原胞內(nèi)β子格(β=A,B)的瓦尼爾態(tài),dn,β,k則表示相應(yīng)的瓦尼爾態(tài)|n,β〉的概率幅,k為入射電子的波矢.將與左、右導(dǎo)線耦合的非厄米SSH鏈的哈密頓量(5)式和其波函數(shù)(6)式代入定態(tài)薛定諤方程H|ψ〉=E|ψ〉,這里E=2t0cos(ka) 表示入射電子的能量,a為相應(yīng)的晶格常數(shù),由方程兩邊同一瓦尼爾態(tài)的系數(shù)相等并利用傳輸矩陣方法可得

其中:

為方便計(jì)算電子的反射率和透射率,將晶格常數(shù)a和導(dǎo)線上相鄰原子之間的跳躍振幅t0取為 1,并將左、右導(dǎo)線上第j個(gè)原子的概率幅展成平面波的形式:

其中,r和t分別表示電子的反射和透射振幅.將(14)式代入(7)—(9)式中,并將r,d1,A,k,dN,B,k,t看成4個(gè)未知數(shù),相應(yīng)地,可以求解出r和t的數(shù)值.因而,電子的反射率和透射率可以分別表示為R=|r|2和T=|t|2.

3 結(jié)果與討論

3.1 非厄米SSH鏈的邊緣態(tài)和纏繞數(shù)

對(duì)于非厄米SSH鏈,在動(dòng)量空間中,其哈密頓量(1)式在周期性邊界條件下可以表示為

其 中,ψk=(dA,k,dB,k)T,HNH,SSH(k) 是一個(gè)非對(duì)角矩陣:

由圖2可知,在非厄米SSH鏈的非平庸拓?fù)湎嘧儏^(qū)域內(nèi),其能量本征值為實(shí)數(shù),如圖2(a1),(b1)以及圖2(a2),(b2)所示.因此,可以通過相似變換來求解其非平庸拓?fù)湎嘧凕c(diǎn)[14,15,37].首先,將非厄米SSH鏈的波函數(shù)寫為

圖2 (a1),(a2)非厄米SSH鏈的能譜圖實(shí)部;(b1),(b2)非厄米SSH鏈的能譜圖虛部;(c1),(c2)非厄米SSH鏈的不同纏繞數(shù)隨著 υ 的變化圖.其中,(a1),(b1),(c1) γ=0.4;(a2),(b2)和(c2) γ=1.4.非厄米SSH鏈的其他參數(shù)選取為 w=1.0,N=20Fig.2.(a1),(a2) Real part of the energy spectrum of the non-Hermitian SSH chain;(b1),(b2) imaginary part of the energy spectrum of the non-Hermitian SSH chain;(c1),(c2) the different winding number of the non-Hermitian SSH chain as a function of the value of υ.Here,(a1),(b1),(c1) γ=0.4;(a2),(b2),(c2) γ=1.4.The other parameters of the non-Hermitian SSH chain are chosen as w=1.0 and N=20.

在實(shí)空間中,本征方程HNH-SSH|Ψ〉NH-SSH=ENH-SSH|Ψ〉NH-SSH等價(jià)于

為了研究非厄米SSH鏈的非平庸拓?fù)溥吘墤B(tài)性質(zhì),本文采用邊緣態(tài)依賴的纏繞數(shù)描述該性質(zhì),其中,左、右邊緣態(tài)的纏繞數(shù)分別定義為和.這里,WL和WR為布洛赫纏繞數(shù),其定義為[14,15]

式中,hfor=υ-γ+weik是(16)式中向前跳躍的項(xiàng),而hback=υ+γ+we-ik則是(16)式中向后跳躍的項(xiàng);為非布洛赫纏繞數(shù):

分γ＜w和γ＞w兩種情況,討論υ的取值對(duì)非厄米SSH鏈非平庸拓?fù)溥吘墤B(tài)性質(zhì)的影響.為方便討論,在本文中,將胞間電子的跳躍振幅選取為能量單位,即w=1.0,非厄米SSH鏈的元胞數(shù)選取為N=20.當(dāng)γ＜w時(shí),這里選取γ=0.4,在非平庸拓?fù)湎鄥^(qū)域,如圖2(c1)中的區(qū)域,存在3種不同類型的邊緣態(tài): 僅存在左邊緣態(tài)、僅存在右邊緣態(tài),以及左、右邊緣態(tài)均存在,即其波函數(shù)的概率幅從非厄米SSH鏈的左端(左邊緣態(tài))或右端(右邊緣態(tài))或兩端(左、右邊緣態(tài))向中間的子格位置快速衰減.為進(jìn)一步研究υ的取值對(duì)零能左、右邊緣態(tài)的影響,圖3給出了零能附近的本征值的本征態(tài)波函數(shù)概率幅的絕對(duì)值隨子格n和υ值變化的相圖.當(dāng)υ＞0 且其值趨于0時(shí),非厄米SSH鏈的左、右邊緣態(tài)均存在,即其概率幅從左、右兩端的子格向中間的子格以指數(shù)形式快速衰減,其中,左邊緣態(tài)概率幅的絕對(duì)值大于其右邊緣態(tài);反之,非厄米SSH鏈在υ＜0,且其值趨于0的情形下右邊緣態(tài)概率幅的絕對(duì)值大于其左邊緣態(tài),如圖3(a)所示.當(dāng)υ的絕對(duì)值 |υ| 較大時(shí),對(duì)于υ＞0的情形,左邊緣態(tài)概率幅的絕對(duì)值大于其右邊緣態(tài)約5個(gè)量級(jí),此時(shí),右邊緣態(tài)將非常不明顯;而當(dāng)υ＜0 時(shí),右邊緣態(tài)概率幅的絕對(duì)值則大于其左邊緣態(tài)約5個(gè)量級(jí),相應(yīng)地,左邊緣態(tài)將非常不明顯,如圖3(a)所示.此特性是由于非厄米SSH鏈的趨膚效應(yīng)引起,將在3.2節(jié)討論.另外,從圖3(a)還可以看出,當(dāng)υ的值接近拓?fù)湎嘧凕c(diǎn)時(shí),非厄米SSH鏈在υ＞0 情形下將僅存在左邊緣態(tài),而在υ＜0 情形下將僅存在右邊緣態(tài).對(duì)于γ＞w的情形,在非平庸拓?fù)溥吘墤B(tài)區(qū)域內(nèi),非厄米SSH鏈在υ＞0 情形下僅存在左邊緣態(tài);而在υ＜0情形下則僅存在右邊緣態(tài),如圖3(b)所示.此外,當(dāng)υ=γ時(shí),在非厄米SSH鏈的第1個(gè)元胞內(nèi),電子從A子格到B子格的跳躍振幅為0,因而邊緣態(tài)的波函數(shù)概率幅將局域在非厄米SSH鏈最左端的子格上,即第1個(gè)子格上;而當(dāng)υ=-γ時(shí),在非厄米SSH鏈的最后一個(gè)元胞內(nèi),即第N個(gè)元胞內(nèi),電子從B子格到A子格的跳躍振幅為0,相應(yīng)地,邊緣態(tài)的波函數(shù)概率幅則局域在非厄米SSH鏈最右端的子格上,第 2N個(gè)子格上.

圖3 非厄米SSH鏈在零能附近的本征值的本征態(tài)波函數(shù)概率幅的絕對(duì)值隨子格 n和υ 值變化的相圖 (a)γ=0.4;(b) γ=1.4;非厄米SSH鏈的其他參數(shù)選取為w=1.0,N=20Fig.3.Absolute value of probability amplitudes of the wave functions of the nearly zero-energy eigenstates of the non-Hermitian SSH chain as a function of the sublattice n and the value of υ : (a) γ=0.4;(b) γ=1.4.The other parameters of the non-Hermitian SSH chain are chosen as w=1.0 and N=20.

3.2 非厄米SSH鏈的趨膚效應(yīng)和異常透射率

在非厄米SSH鏈中,趨膚效應(yīng)和電子透射率異常是其區(qū)別于厄米SSH鏈的兩個(gè)重要物理現(xiàn)象.這里需要指出的是,與非厄米SSH鏈的非平庸拓?fù)溥吘墤B(tài)不同的是,趨膚效應(yīng)是非厄米SSH鏈的所有本征態(tài)(包含邊緣態(tài))波函數(shù)在每個(gè)子格上的概率分布均向其一端的子格上集中.首先研究υ的數(shù)值對(duì)非厄米SSH鏈趨膚效應(yīng)的影響.

當(dāng)γ＜w時(shí),例如γ=0.4,對(duì)于一個(gè)有限長(zhǎng)的非厄米SSH鏈,在υ值較小(υ=±0.01)的情形下,其未出現(xiàn)非厄米趨膚效應(yīng),如圖4(a1)和圖4(a2)所示;而僅當(dāng) |υ| 大于某一數(shù)值時(shí),才能觀察到非厄米趨膚效應(yīng),如圖4所示.另外,由圖4可知,非厄米SSH鏈在左、右邊緣態(tài)區(qū)域(υ=0.2)和左邊緣態(tài)區(qū)域(υ=0.7)內(nèi)均存在明顯的趨膚效應(yīng),如圖4(b1),(b2)以及圖4(d1),(d2)所示.尤其是,當(dāng)υ=±γ時(shí),非厄米SSH鏈的趨膚效應(yīng)達(dá)到最強(qiáng),對(duì)于υ=γ的情形,其本征態(tài)波函數(shù)的概率幅僅集中在最左端的3個(gè)子格上,如圖4(c1)所示;而對(duì)于υ=-γ的情形,其本征態(tài)波函數(shù)的概率幅則僅集中在最右端的3個(gè)子格上,如圖4(c2)所示.這里,特別需要說明的是,由于υ是厄米參數(shù),繼續(xù)增大其絕對(duì)值會(huì)減弱系統(tǒng)非互易跳躍的不對(duì)稱性,從而減弱其非厄米趨膚效應(yīng),如圖4(e1)和圖4(e2)所示.特別是,當(dāng)υ的絕對(duì)值足夠大時(shí),對(duì)于一個(gè)有限長(zhǎng)的非厄米SSH鏈,其趨膚效應(yīng)將消失.

圖4 非厄米SSH鏈的本征態(tài)波函數(shù)在每個(gè)子格上的概率分布圖 (a1) υ=0.01;(a2) υ=-0.01;(b1) υ=0.2;(b2) υ=-0.2;(c1) υ=0.4;(c2) υ=-0.4;(d1) υ=0.7;(d2) υ=-0.7;(e1) υ=1.5;(e2) υ=-1.5;非厄米SSH鏈的其他參數(shù)選取為γ=0.4,w=1.0,N=20Fig.4.Distribution of probabilities of the wave functions of the non-Hermitian SSH chain: (a1) υ=0.01;(a2) υ=-0.01;(b1) υ=0.2;(b2) υ=-0.2;(c1) υ=0.4;(c2) υ=-0.4;(d1) υ=0.7;(d2) υ=-0.7;(e1) υ=1.5;(e2) υ=-1.5.The other parameters of the non-Hermitian SSH chain are chosen as γ=0.4,w=1.0 and N=20.

對(duì)于γ＞w的情形,例如γ=1.4,非厄米SSH鏈的左趨膚效應(yīng)在其左邊緣態(tài)區(qū)域內(nèi)(例如υ=1.3和υ=1.5),比其在非邊緣態(tài)區(qū)域內(nèi)(例如υ=0.5和υ=2.0)更加明顯,如圖5(a1),(b1),(d1),(e1)所示.相應(yīng)地,非厄米SSH鏈的右趨膚效應(yīng)在其右邊緣態(tài)區(qū)域內(nèi)(例如υ=-1.3和υ=-1.5),比其在非邊緣態(tài)區(qū)域內(nèi)(例如υ=-0.5和υ=-2.0)更加明顯,如圖5(a2),(b2),(d2),(e2)所示.同樣,當(dāng)υ=±γ時(shí),非厄米SSH鏈的趨膚效應(yīng)達(dá)到最強(qiáng),如圖5(c1),(c2)所示.

圖5 非厄米SSH鏈的本征態(tài)波函數(shù)在每個(gè)子格上的概率分布圖 (a1) υ=0.5;(a2) υ=-0.5;(b1) υ=1.3;(b2) υ=-1.3;(c1) υ=1.4;(c2) υ=-1.4;(d1) υ=1.5;(d2) υ=-1.5;(e1) υ=2.0;(e2) υ=-2.0;非厄米SSH鏈的其他參數(shù)選取為γ=1.4,w=1.0,N=20Fig.5.Distribution of probabilities of the wave functions of the non-Hermitian SSH chain: (a1) υ=0.5;(a2) υ=-0.5;(b1) υ=1.3;(b2) υ=-1.3;(c1) υ=1.4;(c2) υ=-1.4;(d1) υ=1.5;(d2) υ=-1.5;(e1) υ=2.0;(e2) υ=-2.0.The other parameters of the non-Hermitian SSH chain are chosen as γ=1.4,w=1.0 and N=20.

其次,研究υ的數(shù)值對(duì)非厄米SSH鏈電子透射率的影響.在非厄米SSH鏈中,由于電子從左電極(源極)到右電極(漏極)的向前跳躍振幅不等于從右電極(漏極)到左電極(源極)的向后跳躍振幅,因而,其電子透射率的數(shù)值將不等于1.為了方便討論電子透射率異常的情況,這里將胞內(nèi)電子從A子格到B子格的跳躍振幅 (υ-γ) 和其從B子格到A子格的跳躍振幅 (υ+γ) 分別重新寫為[13].相應(yīng)地,電子通過非厄米SSH鏈的歸一化透射率可以表示為TN=T/|e?|2N,相應(yīng)地,歸一化透射率TN的最大值為1.

對(duì)于厄米SSH鏈的零能非平庸拓?fù)溥吘墤B(tài),可以通過其零能附近的電子透射率來探測(cè)[34-36],而非厄米SSH鏈的趨膚效應(yīng)又與其電子透射率的異常相關(guān),因而,非厄米SSH鏈的電子輸運(yùn)特性為探測(cè)其邊緣態(tài)和趨膚效應(yīng)提供了一個(gè)可選擇的思路,即從電子輸運(yùn)的角度,討論如何探測(cè)非厄米SSH鏈的邊緣態(tài)和趨膚效應(yīng).

3.3 非厄米SSH鏈邊緣態(tài)和趨膚效應(yīng)的探測(cè)

對(duì)于本文考慮的有限長(zhǎng)的非厄米SSH鏈,兩個(gè)非平庸拓?fù)溥吘墤B(tài)的能量本征值之差實(shí)際上并不為零.因此,當(dāng)非厄米SSH鏈與左、右導(dǎo)線之間的電子隧穿振幅處于弱耦合區(qū)域時(shí),非厄米SSH鏈與導(dǎo)線之間的弱電子隧穿過程對(duì)其能級(jí)結(jié)構(gòu)影響較小.因而,在零能附近電子透射率峰/反射率谷的能量位置可以反映相應(yīng)邊緣態(tài)的能級(jí)位置.但是,當(dāng)非厄米SSH鏈與左、右導(dǎo)線之間的隧穿振幅處于強(qiáng)耦合區(qū)域時(shí),導(dǎo)線與非厄米SSH鏈之間的強(qiáng)電子隧穿過程會(huì)強(qiáng)烈地影響非厄米SSH鏈的能級(jí)結(jié)構(gòu).此時(shí),非厄米SSH鏈在零能附近無(wú)能級(jí),相應(yīng)地,弱耦合情形觀察到的電子透射率峰/反射率谷將在強(qiáng)耦合情形下消失.另一方面,由3.2節(jié)可知,非厄米SSH鏈的趨膚效應(yīng)與其電子透射率的異常相關(guān).因此,這里選取非厄米SSH鏈與左、右導(dǎo)線之間的電子隧穿耦合振幅tL和tR為可調(diào)的物理變量,研究與非厄米SSH鏈邊緣態(tài)和趨膚效應(yīng)相關(guān)聯(lián)的電子透射率和反射率特性.

首先,討論在γ＜w情形下非厄米SSH鏈與左、右導(dǎo)線耦合的情況,例如,γ=0.4.當(dāng)非厄米SSH鏈與左、右導(dǎo)線弱耦合時(shí),即tL=tR的數(shù)值較小時(shí),對(duì)于υ＞0 的情形,非厄米SSH鏈的左趨膚效應(yīng)體現(xiàn)在其本征態(tài)波函數(shù)在每個(gè)子格上的概率幅更加集中在其左端的幾個(gè)子格上.相應(yīng)地,電子從左電極隧穿到非厄米SSH鏈,再?gòu)姆嵌蛎譙SH鏈隧穿出到達(dá)右電極的概率將指數(shù)衰減.因此,在零能附近可以觀察到兩個(gè)峰值遠(yuǎn)小于1的電子透射率峰,如圖6(a1)所示.反之,當(dāng)υ＜0 時(shí),非厄米SSH鏈的右趨膚效應(yīng)則體現(xiàn)在其本征態(tài)波函數(shù)在每個(gè)子格上的概率幅更加集中在其右端的幾個(gè)子格上,相應(yīng)地,電子從左電極隧穿到非厄米SSH鏈,再隧穿出非厄米SSH鏈到達(dá)右電極的概率將指數(shù)增大.因而,可以在零能附近觀察到兩個(gè)峰值遠(yuǎn)大于1的電子透射率峰,如圖6(a2)所示.事實(shí)上,對(duì)于γ=0.4和υ=0.5的情形,其歸一化透射率因子為||e?||=1/3＜1,相應(yīng)的透射率T?1;而對(duì)于γ=0.4和υ=-0.5的情形,相應(yīng)的歸一化透射率因子為||e?||=3＞1,因而,其透射率T?1.因此,對(duì)于非厄米SSH鏈的趨膚效應(yīng)類型,可以通過其電子透射率是否遠(yuǎn)大于或者遠(yuǎn)小于1來判斷.例如,當(dāng)電子透射率遠(yuǎn)小于1時(shí),對(duì)應(yīng)于左趨膚效應(yīng);而電子透射率遠(yuǎn)大于1,則對(duì)應(yīng)于右趨膚效應(yīng).

圖6 非厄米SSH鏈的電子透射率和反射率隨不同隧穿耦合振幅和入射電子能量變化的相圖 (a1),(b1) υ=0.5;(a2),(b2) υ=-0.5;非厄米SSH鏈的其他 參數(shù)選取為 γ=0.4,w=1.0,N=20Fig.6.Transmission probabilities and reflection probabilities of the non-Hermitian SSH chain as a function of the amplitude of tunneling coupling and the energy of incident electron: (a1),(b1) υ=0.5;(a2),(b2) υ=-0.5.The other parameters of the non-Hermitian SSH chain are chosen as γ=0.4,w=1.0 and N=20.

從圖6(a1)和圖6(a2)可以看出: 隨著非厄米SSH鏈與左、右導(dǎo)線的電子隧穿耦合振幅tL和tR的逐漸增大,在弱耦合情形下,零能附近兩個(gè)尖銳的透射率峰首先被逐漸展寬但其峰值不變;然后,這兩個(gè)尖銳的峰將逐漸合并為一個(gè)半寬較寬的峰值不變的透射率峰;當(dāng)電子隧穿耦合振幅tL和tR繼續(xù)增大時(shí),這個(gè)透射率峰的半寬將被繼續(xù)展寬,并且其峰值也將減小;最后,這個(gè)半寬很寬的電子透射率峰將完全消失.另外,對(duì)于非厄米SSH鏈,電子從左電極隧穿到非厄米SSH鏈后,其在胞內(nèi)從A子格到B子格的跳躍振幅將被增強(qiáng)或衰減,相應(yīng)的其在零能附近透射率峰的峰值也不再等于1.但是,對(duì)于在左電極(源極)和非厄米SSH鏈界面反射的電子,其在相鄰格點(diǎn)的隧穿振幅不會(huì)被增強(qiáng)或者衰減,因而,其在零能附近相應(yīng)反射率谷的谷值可以等于0,如圖6(b1)和圖6(b2)所示.特別是,隨著電子隧穿耦合振幅tL和tR的逐漸增大,在零能附近反射率谷的數(shù)目變化與透射率峰的數(shù)目變化規(guī)律相同,如圖6(a1),(b1)以及圖6(a2),(b2)所示.因此,對(duì)于非厄米SSH鏈的非平庸拓?fù)溥吘墤B(tài),可以通過調(diào)節(jié)非厄米SSH鏈與左、右導(dǎo)線之間的電子隧穿耦合振幅tL和tR,觀察電子在零能附近反射率谷的數(shù)目變化來確定其是否存在非平庸拓?fù)溥吘墤B(tài).

對(duì)于γ＞w的情形,電子在零能附近的透射率和反射率隨著非厄米SSH鏈與左、右導(dǎo)線之間電子隧穿耦合振幅tL和tR變化的規(guī)律與γ＜w情形相同,但其tL和tR的取值不同,如圖7所示.下面,討論非厄米SSH鏈在零能附近電子輸運(yùn)特性的物理機(jī)制.

圖7 非厄米SSH鏈的電子透射率和反射率隨不同隧穿耦合振幅和入射電子能量變化的相圖 (a1),(b1) υ=1.3;(a2),(b2) υ=-1.3;非厄米SSH鏈的其他 參數(shù)選取為 γ=1.4,w=1.0,N=20Fig.7.Transmission probabilities and reflection probabilities of the non-Hermitian SSH chain as a function of the amplitude of tunneling coupling and the energy of incident electron: (a1),(b1) υ=1.3;(a2),(b2) υ=-1.3.The other parameters of the non-Hermitian SSH chain are chosen as γ=1.4,w=1.0 and N=20.

當(dāng)非厄米SSH鏈與左、右導(dǎo)線耦合時(shí),其能級(jí)結(jié)構(gòu)將受到非厄米SSH鏈與左、右導(dǎo)線之間電子隧穿耦合振幅tL和tR數(shù)值大小的影響.當(dāng)tL和tR數(shù)值很小時(shí),電子在非厄米SSH鏈與導(dǎo)線之間的隧穿過程被強(qiáng)烈壓制.此時(shí),電子隧穿過程對(duì)非厄米SSH鏈的能級(jí)結(jié)構(gòu)影響較小.相應(yīng)地,零能附近邊緣態(tài)反射率谷對(duì)應(yīng)的能量位置與非厄米SSH鏈的能級(jí)一一對(duì)應(yīng),如圖8(a1)和圖8(b1)所示.若繼續(xù)增大tL和tR的數(shù)值使其到達(dá)某一值時(shí),非厄米SSH鏈的能級(jí)結(jié)構(gòu)將受到其與左、右導(dǎo)線之間電子隧穿過程的強(qiáng)烈影響.這里將左、右導(dǎo)線分別用瓦尼爾態(tài) |L〉和|R〉表示,再通過研究非厄米SSH鏈與瓦尼爾態(tài) |L〉和|R〉耦合的系統(tǒng)能譜,定性模擬非厄米SSH鏈在其與左、右導(dǎo)線強(qiáng)耦合情形下的能級(jí)結(jié)構(gòu).在左電極的瓦尼爾態(tài) |L〉、非厄米SSH鏈子格的瓦尼爾態(tài){|1,A〉,|1,B〉,···,|n,A〉,|n,B〉}、右電極的瓦尼爾態(tài) |R〉組成的完備基下,由(5)式可知,上面系統(tǒng)哈密頓量的矩陣形式為將(25)式嚴(yán)格對(duì)角化可得上面的修正系統(tǒng)能譜.由圖8(a2)和圖8(b2)可知,當(dāng)γ=0.4 和γ=1.4時(shí),對(duì)于非厄米SSH鏈與左、右導(dǎo)線強(qiáng)耦合的情形,其在零能附近均沒有能級(jí)存在.因而,當(dāng)tL和tR的數(shù)值增大到某一臨界值(大小依賴于γ和υ)時(shí),在零能附近電子的反射率峰和透射率谷都將全部消失,如圖6和圖7所示.

圖8 (a1),(b1)非厄米SSH鏈在零能級(jí)附近的能譜圖;(a2),(b2)非厄米SSH鏈與左導(dǎo)線原子 j=-1 和右導(dǎo)線原子 j=1 耦合的修正系統(tǒng)在零能級(jí)附近的能譜圖.其中,(a1) γ=0.4,(a2) γ=0.4,tL=tR=0.00002;(b1) γ=1.4,(b2) γ=1.4,tL=tR=0.004.非厄米SSH鏈 的其他參數(shù)選取為 w=1.0,N=20.Fig.8.(a1),(b1) Real part of the energy spectrum of the non-Hermitian SSH chain in thevicinity of the zero energy;(a2),(b2) real part of the energy spectrum of the non-Hermitian SSH chain coupled to the first sublattice of the left lead j=-1 and that of the right lead j=1 in the vicinity of the zero energy.Here,(a1) γ=0.4,(a2) γ=0.4,tL=tR=0.00002;(b1) γ=1.4,(b2)γ=1.4,tL=tR=0.004.The other parameters of the non-Hermitian SSH chain are chosen as w=1.0 and N=20.

對(duì)于非邊緣態(tài)區(qū)域,即非零能的情形,非厄米SSH鏈能量本征值(實(shí)部)最小的兩個(gè)本征態(tài)之間的能量本征值之差明顯大于0,如圖2(a1)和圖2(b1),因而,其在零能附近沒有能級(jí),即對(duì)入射電子來說是禁帶,此時(shí)電子的透射率為零,相應(yīng)的反射率為1.因此,當(dāng)調(diào)節(jié)非厄米SSH鏈與左、右導(dǎo)線之間的電子隧穿耦合振幅,使其從弱耦合區(qū)域變化到強(qiáng)耦合區(qū)域,在非邊緣態(tài)的區(qū)域內(nèi),觀察不到電子的反射率谷及其反射率谷的數(shù)目變化.因此,對(duì)于非厄米SSH鏈?zhǔn)欠翊嬖谶吘墤B(tài),可以通過調(diào)節(jié)非厄米SSH鏈與左、右導(dǎo)線之間的電子隧穿耦合振幅,使其從弱耦合區(qū)域變化到強(qiáng)耦合區(qū)域,然后觀察電子在零能附近電子反射率谷的數(shù)目在此過程中的變化來判斷邊緣態(tài)是否存在.例如,當(dāng)電子在弱耦合情形下的2個(gè)零能附近反射率谷在強(qiáng)耦合情形下消失,則說明非厄米SSH鏈存在邊緣態(tài).另外,對(duì)于非厄米SSH鏈的趨膚效應(yīng),可以通過其電子透射率是否遠(yuǎn)小于1或遠(yuǎn)大于1來判斷其趨膚效應(yīng)的類型,即電子透射率遠(yuǎn)小于1對(duì)應(yīng)于左趨膚效應(yīng),而電子透射率遠(yuǎn)大于1則對(duì)應(yīng)于右趨膚效應(yīng).

4 結(jié)論

本文研究了非厄米SSH鏈的非平庸拓?fù)溥吘墤B(tài)性質(zhì)和其趨膚效應(yīng),并基于零能附近的電子輸運(yùn)特性給出了探測(cè)其邊緣態(tài)和趨膚效應(yīng)類型的理論方案.研究發(fā)現(xiàn),非厄米SSH鏈的趨膚效應(yīng)類型與其電子在零能附近透射率峰的峰值密切相關(guān),例如,當(dāng)電子在零能附近透射率峰的峰值遠(yuǎn)小于1時(shí),非厄米SSH鏈具有左趨膚效應(yīng);反之,當(dāng)電子在零能附近透射率峰的峰值遠(yuǎn)大于1時(shí),非厄米SSH鏈則具有右趨膚效應(yīng).特別是,在非平庸拓?fù)溥吘墤B(tài)區(qū)域內(nèi),非厄米SSH鏈的邊緣態(tài)將進(jìn)一步增強(qiáng)其趨膚效應(yīng).另外,當(dāng)非厄米SSH鏈與左、右導(dǎo)線之間的電子隧穿耦合振幅處于弱耦合區(qū)域時(shí),在零能附近可以觀察到2個(gè)電子反射率谷;而在其強(qiáng)耦合區(qū)域時(shí),電子在零能附近的反射率谷將消失.此特性可以用來探測(cè)非厄米SSH鏈的非平庸拓?fù)溥吘墤B(tài).上述結(jié)果為探測(cè)非厄米SSH鏈的非平庸拓?fù)溥吘墤B(tài)和非厄米趨膚效應(yīng)類型提供了一種可選擇的理論方案.