小學(xué)生舉例表現(xiàn)與概念理解的相關(guān)性研究

【作者簡(jiǎn)介】李子豪，二級(jí)教師，主要研究方向?yàn)閿?shù)學(xué)教育。

【摘 要】為了拓寬概念理解的評(píng)價(jià)方式，研究小學(xué)生的舉例表現(xiàn)是否與其對(duì)相應(yīng)概念的理解存在相關(guān)性，本文采用問卷測(cè)試法對(duì)南京市L小學(xué)六年級(jí)6個(gè)班共180名學(xué)生進(jìn)行了正例、反例和概念理解的測(cè)試，分析了學(xué)生的作答數(shù)據(jù)，得出學(xué)生在舉正例方面的表現(xiàn)比舉反例要好，學(xué)生的舉例表現(xiàn)與其對(duì)相應(yīng)概念的理解存在顯著的相關(guān)性，并且反例對(duì)于概念理解具有獨(dú)特的價(jià)值。基于研究結(jié)論，建議一線教師在概念教學(xué)中鼓勵(lì)學(xué)生自主舉例，關(guān)注學(xué)生的舉例表現(xiàn)，把學(xué)生的舉例表現(xiàn)作為新的概念理解評(píng)價(jià)方式。

【關(guān)鍵詞】正例；反例；概念理解；概念評(píng)價(jià)

一、問題提出

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年）》（以下簡(jiǎn)稱“新課標(biāo)”）明確指出，數(shù)學(xué)課程要培養(yǎng)學(xué)生的核心素養(yǎng)，主要包括會(huì)用數(shù)學(xué)的眼光觀察現(xiàn)實(shí)世界，會(huì)用數(shù)學(xué)的思維思考現(xiàn)實(shí)世界，會(huì)用數(shù)學(xué)的語(yǔ)言表達(dá)現(xiàn)實(shí)世界［1］。無論是數(shù)學(xué)的眼光、數(shù)學(xué)的思維還是數(shù)學(xué)的語(yǔ)言，數(shù)學(xué)概念都在其中發(fā)揮了至關(guān)重要的作用，這決定了概念理解是學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)里值得重點(diǎn)關(guān)注的一環(huán)，并將持續(xù)成為數(shù)學(xué)教育的研究熱點(diǎn)。

那么，如何評(píng)價(jià)學(xué)生的概念理解？背誦概念的定義、大量的練習(xí)反饋等傳統(tǒng)的評(píng)價(jià)方式過于機(jī)械，近些年來興起的概念圖成為一種比較新穎的評(píng)價(jià)方式。但從教學(xué)現(xiàn)狀來看，概念理解的評(píng)價(jià)途徑還是相對(duì)單一和匱乏的。

舉例，廣泛存在于人們的交流活動(dòng)中，數(shù)學(xué)課堂也不例外。曹才翰、章建躍指出，數(shù)學(xué)概念除了具備抽象性以外，又是非常具體的，即一個(gè)數(shù)學(xué)概念的背后有許多具體內(nèi)容為支撐，學(xué)生只有掌握了數(shù)學(xué)概念的定義，同時(shí)又能舉出概念的具體例證，才算真正掌握了數(shù)學(xué)概念。［2］這說明舉例已經(jīng)被部分學(xué)者意識(shí)到可以作為一種概念理解的評(píng)價(jià)手段。然而，舉例雖然普遍存在于中小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，但是已有研究大多是從教師教學(xué)的角度分析舉例的作用，較少有研究從學(xué)生舉例的表現(xiàn)來評(píng)價(jià)學(xué)生的概念理解。

為了拓寬概念理解的評(píng)價(jià)方式，本文將舉例分為舉正例與舉反例，并研究小學(xué)生的舉例表現(xiàn)是否與其對(duì)相應(yīng)概念的理解存在相關(guān)性。其中正例是指具有概念的所有本質(zhì)屬性的例子，反例是指符合某個(gè)命題的條件卻不符合它的結(jié)論的例子。本文以六年級(jí)“因數(shù)和倍數(shù)”內(nèi)容為例，確定研究問題：

（1）小學(xué)生在“因數(shù)與倍數(shù)”上的舉例表現(xiàn)如何？

（2）小學(xué)生在“因數(shù)與倍數(shù)”上的舉例表現(xiàn)與其概念理解的水平是否存在相關(guān)性？

二、研究設(shè)計(jì)

1.研究對(duì)象

本研究選取了南京市L小學(xué)六年級(jí)6個(gè)班共180名學(xué)生進(jìn)行測(cè)試，鑒于數(shù)據(jù)的有效性，實(shí)際參與率為95.6%，即有效測(cè)試人數(shù)為172人。

2.研究方法

問卷測(cè)試法和訪談法。

3.研究工具

為考查學(xué)生的舉例表現(xiàn)與其概念理解水平的相關(guān)性，本研究圍繞因數(shù)和倍數(shù)內(nèi)容，根據(jù)新課標(biāo)的要求，以蘇教版小學(xué)數(shù)學(xué)教科書為基礎(chǔ)，編制了3份測(cè)試卷，分別為正例測(cè)試卷、反例測(cè)試卷和概念理解測(cè)試卷。其中正例測(cè)試卷主要是讓學(xué)生根據(jù)題目要求舉出合適的正例；反例測(cè)試卷主要讓學(xué)生判斷給定的數(shù)學(xué)陳述（即數(shù)學(xué)命題）的正確性，若學(xué)生判斷該命題是錯(cuò)誤的，則要求其至少舉出一個(gè)反例；概念理解測(cè)試卷的內(nèi)容根據(jù)萊什和蘭多的概念理解評(píng)價(jià)模型分為了4個(gè)維度，即感知、表征、聯(lián)結(jié)和應(yīng)用［3］。試題的來源以教輔習(xí)題和自編題為主。在編制試題時(shí)，筆者首先與資深小學(xué)數(shù)學(xué)教師及高校數(shù)學(xué)教育專家進(jìn)行深入交流和探討，再根據(jù)預(yù)測(cè)試情況對(duì)試題進(jìn)行修正（如試題表述、難度），以確保測(cè)試卷具有良好的信效度。最終，三份測(cè)試卷的克隆巴赫系數(shù)均大于0.7。

4.數(shù)據(jù)處理

本研究用Excel和SPSS軟件進(jìn)行數(shù)據(jù)處理和分析。

三、測(cè)試結(jié)果與分析

1.學(xué)生的舉例表現(xiàn)

本部分先從兩個(gè)角度分析學(xué)生的正例與反例表現(xiàn)：一方面是學(xué)生的總體表現(xiàn)，包括計(jì)算各題得分的平均值、得分率及標(biāo)準(zhǔn)差；另一方面則是根據(jù)數(shù)學(xué)知識(shí)內(nèi)容把試卷內(nèi)部具有相關(guān)性的試題合成題組，分析學(xué)生在這些題組里的表現(xiàn)情況。

接著，依據(jù)測(cè)試題在有關(guān)數(shù)學(xué)概念上的相關(guān)性，本研究將各試題結(jié)合成題組，再次分析學(xué)生在這些題組上的表現(xiàn)情況，以便能夠從較微觀的角度去分析學(xué)生舉反例的表現(xiàn)與其對(duì)于相關(guān)概念的理解的關(guān)系。

（1）正例表現(xiàn)

圖1給出的是學(xué)生正例測(cè)試總得分在各分段的人數(shù)分布情況。

測(cè)試發(fā)現(xiàn)，在滿分為21分的測(cè)試中，172名學(xué)生的平均得分為18.91分，標(biāo)準(zhǔn)差是3.02，得分率為90.0%，表現(xiàn)較好。事實(shí)上，得分在21分的學(xué)生共計(jì)74人，約占總數(shù)的43.0%，即將近一半的學(xué)生得到了滿分。圖1還顯示，得分在19分至21分的學(xué)生占比達(dá)到68.6%，而得分處在12分及以下的學(xué)生占比僅為5.2%。

正例測(cè)試的典型題組樣例如下：

6.按要求寫出兩個(gè)數(shù)，使它們的最大公因數(shù)是1。

（1）兩個(gè)數(shù)都是合數(shù)：（? ）和（? ）。

（2）一個(gè)質(zhì)數(shù)、一個(gè)合數(shù)：（? ?）和（? ）。

（3）兩個(gè)數(shù)都是奇數(shù)：（? ）和（? ）。

（4）一個(gè)奇數(shù)、一個(gè)偶數(shù)：（? ）和（? ）。

（5）一個(gè)奇數(shù)、一個(gè)質(zhì)數(shù)：（? ）和（? ）。

（6）一個(gè)質(zhì)數(shù)、一個(gè)偶數(shù)：（? ）和（? ）。

題6的6個(gè)子問題作為一組，其上位內(nèi)容都是兩個(gè)數(shù)的互質(zhì)關(guān)系，但是6個(gè)子問題對(duì)這兩個(gè)數(shù)各有要求［如題6（1）要求兩個(gè)數(shù)都是合數(shù)，題6（6）要求兩個(gè)數(shù)一個(gè)是質(zhì)數(shù)一個(gè)是偶數(shù)］。舉出符合要求的正例需要學(xué)生掌握概念并且還要注意舉出的兩個(gè)數(shù)字互不互質(zhì)。由表1給出的學(xué)生在這6道題上的得分情況可見，題6（4）的得分率最高，為90.1%，平均得分為0.90（滿分為1分）。題6（1）和題6（2）的得分率稍低一些，為82.3%，平均得分為0.83（滿分為1分）。

題6（1）要求互質(zhì)的兩個(gè)數(shù)都是合數(shù)，這道題其實(shí)從側(cè)面要求學(xué)生會(huì)舉出既是奇數(shù)又是合數(shù)的例子，如果舉出的兩個(gè)合數(shù)都是偶數(shù)的話，那么偶數(shù)都是2的倍數(shù)則不互質(zhì)，所以這道題對(duì)于那些認(rèn)為“合數(shù)都是偶數(shù)”的學(xué)生來說存在一定的難度。分析學(xué)生的錯(cuò)誤答案可以發(fā)現(xiàn)，大多數(shù)錯(cuò)誤答案里的例子都是兩個(gè)既是合數(shù)又是偶數(shù)的數(shù)（見圖2）。

題6（2）要求互質(zhì)的兩個(gè)數(shù)是一個(gè)質(zhì)數(shù)和一個(gè)合數(shù)，這道題按理說難度不高，可以寫相鄰的一些數(shù)字（如3和4），但學(xué)生的得分率卻較低。分析學(xué)生的錯(cuò)誤答案可以發(fā)現(xiàn)，大多數(shù)的錯(cuò)誤答案里舉出的兩個(gè)數(shù)字是一個(gè)合數(shù)和一個(gè)既是奇數(shù)又是合數(shù)的數(shù)（見圖3）。筆者對(duì)這部分學(xué)生進(jìn)行訪談，學(xué)生普遍認(rèn)為自己寫出的奇數(shù)是質(zhì)數(shù)，把質(zhì)數(shù)和奇數(shù)這兩個(gè)概念形成了某種不恰當(dāng)?shù)穆?lián)結(jié)。仔細(xì)分析可以發(fā)現(xiàn)，題6（1）和題6（2）的兩種錯(cuò)誤類型具有共性，即學(xué)生把質(zhì)數(shù)和合數(shù)與奇數(shù)和偶數(shù)人為地分隔開了，簡(jiǎn)單地把合數(shù)歸為偶數(shù)，質(zhì)數(shù)歸為奇數(shù)，但不管是質(zhì)數(shù)還是合數(shù)都與奇數(shù)和偶數(shù)有交叉性。

（2）反例表現(xiàn)

圖4給出的是學(xué)生反例測(cè)試總得分在各分段的人數(shù)分布情況。

測(cè)試發(fā)現(xiàn)，在滿分為36分的測(cè)試中，172名學(xué)生的平均得分為19.51分，標(biāo)準(zhǔn)差是8.09，得分率為54.2%，不足滿分的60%。事實(shí)上，得分在21分及以下的學(xué)生共計(jì)97人，占總數(shù)的56.4%，即半數(shù)以上的學(xué)生未達(dá)到滿分的60%。圖4還顯示，得分在18分至24分之間的學(xué)生占比最高（30.2%），而最高得分段（31—36分）的學(xué)生占比僅為7.0%。

反例測(cè)試的典型題組（判斷題）樣例如下：

1.兩個(gè)質(zhì)數(shù)的和一定是偶數(shù)。（? ）

2.質(zhì)數(shù)的倍數(shù)一定是合數(shù)。（? ）

5.一個(gè)奇數(shù)與一個(gè)偶數(shù)的乘積一定是合數(shù)。（? ）

7.任意多個(gè)奇數(shù)相加的和一定是偶數(shù)。（? ）

9.三個(gè)合數(shù)相乘的積一定是偶數(shù)。（? ）

10. 3個(gè)奇數(shù)相加的和一定是合數(shù)。（? ）

由于題1、題2、題5、題7、題9和題10都涵蓋多個(gè)概念（例如，題1為質(zhì)數(shù)和偶數(shù)，題5為奇數(shù)、偶數(shù)和合數(shù)等），且這些題皆與概念之間的運(yùn)算有關(guān)（如題9為合數(shù)之間的乘法與奇偶性的關(guān)系，題10為奇數(shù)相加的和與質(zhì)數(shù)、合數(shù)的關(guān)系），因此這6道題可歸為一個(gè)題組。由表2給出的學(xué)生在這6道題上的得分情況可見，除題1和題7外，學(xué)生的得分都較低，其中題2的得分率最低，僅有23.6%，平均得分為0.71分（滿分為3分），題5和題9也類似，這表明大部分學(xué)生在這幾道題上無法正確判斷命題或者無法構(gòu)造出符合題意的反例。

通過對(duì)比，發(fā)現(xiàn)在題2上，大部分學(xué)生都認(rèn)為題述命題是正確的，還有部分學(xué)生進(jìn)行了積極的嘗試（見圖5），可是在嘗試的過程中都使用了一個(gè)質(zhì)數(shù)去乘2或乘3等。事實(shí)上，這道題考查的是“一個(gè)數(shù)的最小倍數(shù)就是它自己”，最小倍數(shù)也就是1倍，即質(zhì)數(shù)的1倍還是質(zhì)數(shù)。所以，在這道題上，學(xué)生只要用任意一個(gè)質(zhì)數(shù)乘1即能成功構(gòu)造出反例。這說明大部分學(xué)生對(duì)于“倍數(shù)”概念的表征網(wǎng)絡(luò)并不完善，學(xué)生對(duì)“倍數(shù)”的理解似乎是從2倍開始的，對(duì)倍數(shù)這個(gè)上位概念和“1倍”這個(gè)下位概念沒有形成有效的聯(lián)結(jié)，從而不能完全理解倍數(shù)的概念。

學(xué)生在題9上的錯(cuò)誤可以分成兩類。第一類是學(xué)生嘗試構(gòu)造的反例中的三個(gè)合數(shù)全都是偶數(shù)（見圖6），根據(jù)乘積的奇偶性，只要乘數(shù)里有一個(gè)是偶數(shù)，那么積一定是偶數(shù)，所以這樣的構(gòu)造注定是錯(cuò)誤的。第二類是學(xué)生嘗試構(gòu)造的反例中的三個(gè)合數(shù)里有部分是奇數(shù)，且這里的奇數(shù)集中在“9”或“15”（見圖7），最后的結(jié)果還是偶數(shù)。從學(xué)生的表現(xiàn)來看，之所以沒有寫三個(gè)既是奇數(shù)又是合數(shù)的數(shù)，一方面可能是沒有意識(shí)到題目的本質(zhì)是考查能否寫出三個(gè)既是奇數(shù)又是合數(shù)的數(shù)，另一方面也有可能是教師上課時(shí)過于強(qiáng)調(diào)“9”和“15”，從而限制了學(xué)生的思維，較難想到其他既是奇數(shù)又是合數(shù)的數(shù)。這題涉及乘積的奇偶性、奇數(shù)和合數(shù)的交集等知識(shí)點(diǎn)的聯(lián)結(jié)，從錯(cuò)誤答案可以推測(cè)出學(xué)生關(guān)于這兩個(gè)知識(shí)點(diǎn)的內(nèi)部表征的聯(lián)結(jié)強(qiáng)度不大，甚至產(chǎn)生了“合數(shù)等價(jià)于偶數(shù)”這樣的錯(cuò)誤聯(lián)結(jié)。

為了比較學(xué)生在正例測(cè)試卷的表現(xiàn)和在反例測(cè)試卷的表現(xiàn)有沒有顯著差異，筆者分別算出每位學(xué)生在兩張測(cè)試卷的得分率，然后對(duì)學(xué)生在兩張測(cè)試卷的得分率進(jìn)行配對(duì)樣本t檢驗(yàn)。結(jié)果顯示，學(xué)生在正例測(cè)試卷的得分率（0.900±0.144）相比在反例測(cè)試卷的得分率（0.542±0.225）增加了0.359（95%CI：0.330—0.387），差異具有統(tǒng)計(jì)學(xué)意義，t（171）=25.103，p＜0.001。

2.學(xué)生的舉例表現(xiàn)與概念理解水平的相關(guān)性

（1）不同的正例表現(xiàn)

本研究首先對(duì)學(xué)生的正例總分與概念理解總分進(jìn)行了相關(guān)性分析，結(jié)果顯示，學(xué)生的正例總分與概念理解總分的皮爾遜相關(guān)系數(shù)為0.664，p＜0.001，表明學(xué)生的正例成績(jī)與概念理解成績(jī)之間存在顯著的高度正相關(guān)關(guān)系。

依據(jù)學(xué)生在正例測(cè)試卷上的測(cè)試表現(xiàn)以及與一線教師的深入交流，本研究把在正例測(cè)試卷上得分處于19至21分的學(xué)生定義為“正例表現(xiàn)好的學(xué)生”，把得分處于0至18分的學(xué)生定義為“正例表現(xiàn)不好的學(xué)生”。

經(jīng)過統(tǒng)計(jì)可知，正例表現(xiàn)好的學(xué)生組在概念理解測(cè)試卷的平均得分為58.61，標(biāo)準(zhǔn)差是8.845，正例表現(xiàn)不好的學(xué)生組在概念理解測(cè)試卷的平均得分為36.65，標(biāo)準(zhǔn)差是15.813。為了研究不同正例表現(xiàn)的學(xué)生是否在概念理解的水平上存在顯著性差異，對(duì)這兩組的學(xué)生在概念理解測(cè)試卷的總分進(jìn)行獨(dú)立樣本t檢驗(yàn)，結(jié)果顯示t（69）=9.546，p＜0.001，這說明不同正例表現(xiàn)的學(xué)生在概念理解的水平上具有顯著性差異。

（2）不同的反例表現(xiàn)

本研究對(duì)學(xué)生的反例總分與概念理解總分也進(jìn)行了相關(guān)性分析，結(jié)果顯示，學(xué)生的反例總分與概念理解總分的皮爾遜相關(guān)系數(shù)為0.721，p＜0.001，表明學(xué)生的反例成績(jī)與概念理解成績(jī)之間也存在顯著的高度正相關(guān)關(guān)系。

依據(jù)學(xué)生在反例測(cè)試卷上的表現(xiàn)以及與一線教師的深入交流，本研究把在反例測(cè)試卷上得分處于25至36分的學(xué)生定義為“反例表現(xiàn)好的學(xué)生”，把得分處于18至24分的學(xué)生定義為“反例表現(xiàn)中等的學(xué)生”，把得分處于0至17分的學(xué)生定義為“反例表現(xiàn)不好的學(xué)生”。

為了研究不同反例表現(xiàn)的學(xué)生是否在概念理解的水平上存在顯著性差異，筆者對(duì)這三組學(xué)生在概念理解測(cè)試卷的總分進(jìn)行Welch方差分析，結(jié)果如表3所示。

從Welch方差分析法的結(jié)果可知，p＜0.001，說明不同反例表現(xiàn)的學(xué)生在概念理解的水平上具有顯著性差異。為了明晰究竟是哪些組別之間存在顯著性差異，利用Games-Howell進(jìn)行檢驗(yàn)，結(jié)果表明：從反例表現(xiàn)不好的學(xué)生組到反例表現(xiàn)中等的學(xué)生組，概念理解的平均得分增加21.024，差異具有統(tǒng)計(jì)學(xué)意義（p＜0.001）；從反例表現(xiàn)不好的學(xué)生組到反例表現(xiàn)好的學(xué)生組，概念理解的平均得分增加23.398，差異具有統(tǒng)計(jì)學(xué)意義（p＜0.001）。

（3）不同的正反例表現(xiàn)組合

由上述分析可知，學(xué)生在正例測(cè)試卷中的表現(xiàn)可以分為兩種，在反例測(cè)試卷中的表現(xiàn)可以分為三種，因此，把學(xué)生在正反例測(cè)試中的表現(xiàn)進(jìn)行組合可以分為六組，分別為（正例表現(xiàn)好，反例表現(xiàn)好）、（正例表現(xiàn)好，反例表現(xiàn)中等）、（正例表現(xiàn)好，反例表現(xiàn)不好）、（正例表現(xiàn)不好，反例表現(xiàn)好）、（正例表現(xiàn)不好，反例表現(xiàn)中等）、（正例表現(xiàn)不好，反例表現(xiàn)不好）。

為了研究不同正反例表現(xiàn)組合的學(xué)生是否在概念理解的水平上存在顯著性差異，筆者對(duì)這六組學(xué)生在概念理解測(cè)試卷的總分進(jìn)行Welch方差分析，結(jié)果如表4所示。

從Welch方差分析法的結(jié)果可知，p＜0.001，這說明不同正反例表現(xiàn)組合的學(xué)生在概念理解的水平上存在顯著性差異。為了明晰究竟是哪些組別之間存在顯著性差異，利用Games-Howell進(jìn)行檢驗(yàn)，并用表5進(jìn)行整理（表中的運(yùn)算順序是用那一列的組別的均值減去那一行的組別的均值，*代表顯著性水平）。

四、研究結(jié)論與建議

1.研究結(jié)論

（1）學(xué)生在舉正例方面的表現(xiàn)比舉反例好

就本研究選定的內(nèi)容“因數(shù)與倍數(shù)”而言，從配對(duì)樣本t檢驗(yàn)的結(jié)果可以知道，學(xué)生在正例測(cè)試卷的得分率和在反例測(cè)試卷的得分率具有顯著差異。就具體內(nèi)容而言，學(xué)生在反例判斷及構(gòu)造的表現(xiàn)上總體不佳，較多時(shí)候在判斷正確性上都無法達(dá)成，更別說之后的反例構(gòu)造了，這說明學(xué)生較容易受到一些定式的干擾。再者，對(duì)于能夠做出假命題判斷的學(xué)生，在隨后的反例構(gòu)造中也出現(xiàn)了不少的問題（如題2、題9等），這在一定程度上源于對(duì)相關(guān)知識(shí)內(nèi)容的不熟悉，也源于缺乏對(duì)反例構(gòu)造方法的了解，這些都導(dǎo)致了學(xué)生在一些測(cè)試題上的得分率很低。事實(shí)上，無論是反例的判斷還是反例的構(gòu)造，學(xué)生都需要檢索自己已有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，再借助已有的表征網(wǎng)絡(luò)去思考。如果學(xué)生的知識(shí)內(nèi)部表征之間不能形成有效的、強(qiáng)度較大的聯(lián)結(jié)，學(xué)生就不太容易構(gòu)造出反例；如果學(xué)生過往在知識(shí)的內(nèi)部表征之間形成了錯(cuò)誤的聯(lián)結(jié)，那么相應(yīng)的錯(cuò)誤率也會(huì)更高。

值得注意的是，雖然正例的總體表現(xiàn)較好，但是一些學(xué)生的作答情況也反映出一些問題，比如列舉的正例過于單一，都是平時(shí)教學(xué)中經(jīng)常強(qiáng)調(diào)的一些數(shù)字，又比如當(dāng)題目中的要求含有對(duì)交叉概念的考查但又不是特別明顯時(shí)［如題6（1）其實(shí)要求學(xué)生舉出既是奇數(shù)又是合數(shù)的數(shù)］，學(xué)生不一定能及時(shí)調(diào)用概念，還有可能暴露出對(duì)概念的一些錯(cuò)誤理解。所以，當(dāng)舉例的條件由單一變?yōu)閺?fù)合時(shí)，正例的構(gòu)造難度也會(huì)相應(yīng)有所提升，更加能考查學(xué)生是否理解了相關(guān)概念。

（2）學(xué)生的舉例表現(xiàn)與其對(duì)相應(yīng)概念的理解具有很大的關(guān)聯(lián)性

首先，由皮爾遜相關(guān)分析的結(jié)果可知，學(xué)生在正例測(cè)試卷和反例測(cè)試卷中的成績(jī)都分別與其在概念理解測(cè)試卷中的成績(jī)存在顯著的高度正相關(guān)。其次，不同正例表現(xiàn)、不同反例表現(xiàn)和不同正反例表現(xiàn)組合的學(xué)生在概念理解的水平上均分別存在顯著差異。由這些結(jié)果可知，學(xué)生的舉例表現(xiàn)與其對(duì)相應(yīng)概念的理解具有很大的關(guān)聯(lián)性。事實(shí)上，樣例學(xué)習(xí)理論認(rèn)為概念是以樣例的形式來表征，而原型學(xué)習(xí)理論認(rèn)為概念是由大量樣例的綜合形式即原型來表征，這里的原型可以是單個(gè)樣例也可以是多種樣例的綜合形式。［4］兩種概念學(xué)習(xí)理論均強(qiáng)調(diào)了例子在學(xué)習(xí)者頭腦中表征概念的作用，正如鄭毓信介紹的現(xiàn)代數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)心理學(xué)的觀點(diǎn)——例子在數(shù)學(xué)概念的心理表征中發(fā)揮著重要作用［5］。此外，由赫伯特和卡朋特的數(shù)學(xué)理解模型可以知道，外部表征和內(nèi)部表征之間具有某種聯(lián)系，可以從學(xué)生形成的外部表征推測(cè)其內(nèi)部表征的情況［6］。所以，舉例作為一種外部表征，可以成為一種評(píng)價(jià)學(xué)生概念理解的方法，并且從形式上可以豐富學(xué)生對(duì)相應(yīng)概念的理解。

從上述分析我們還可以看到，僅在正例表現(xiàn)好的學(xué)生在概念理解的水平上沒有正反例表現(xiàn)都好的學(xué)生的水平高。這說明在數(shù)學(xué)教學(xué)中應(yīng)該關(guān)注反例對(duì)于概念理解的獨(dú)特價(jià)值，關(guān)注學(xué)生對(duì)反例的理解與掌握。

2.教學(xué)建議

（1）教師可以在課中和課后通過讓學(xué)生舉例來評(píng)價(jià)學(xué)生的概念理解。從本研究分析結(jié)果可以看出，學(xué)生的舉例行為與其對(duì)數(shù)學(xué)概念的理解具有很大的關(guān)聯(lián)性，無論是舉正例還是舉反例，都可作為常規(guī)測(cè)試題的一種評(píng)價(jià)補(bǔ)充。學(xué)生所舉的例子一定程度上可以反映他是如何思考的，是如何看待一個(gè)數(shù)學(xué)知識(shí)的。這些例子可以是一線教師了解學(xué)情的一個(gè)重要參考，可以作為評(píng)價(jià)學(xué)生概念理解的一個(gè)重要手段，以改進(jìn)傳統(tǒng)的機(jī)械評(píng)價(jià)方式。不僅如此，教師在教學(xué)中可以多展示學(xué)生的例子，讓學(xué)生之間互相評(píng)價(jià)、交流，一方面可以了解學(xué)生對(duì)概念的理解情況，另一方面可以把展示的例子作為課堂的探究素材，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，形成數(shù)學(xué)課堂中的“爭(zhēng)鳴”，傳遞給學(xué)生更多的有用信息，在師生交流和生生交流中促進(jìn)學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，提升教師的教學(xué)能力，真正實(shí)現(xiàn)教學(xué)相長(zhǎng)。

（2）教師可以異化概念的本質(zhì)特征進(jìn)行變式訓(xùn)練。從本研究的分析結(jié)果可以發(fā)現(xiàn)，學(xué)生對(duì)概念本身的理解有時(shí)不足以支撐學(xué)生舉出合適的例子，對(duì)概念的理解僅僅能滿足舉例的基本要求，而逆向思維的強(qiáng)弱和能否多角度地運(yùn)用、組合知識(shí)才是舉例的關(guān)鍵，這一點(diǎn)也正是日常數(shù)學(xué)教學(xué)的重點(diǎn)和難點(diǎn)。數(shù)學(xué)教師可以有針對(duì)性地異化概念的某個(gè)本質(zhì)特征進(jìn)行變式訓(xùn)練，如梯形的本質(zhì)特征有四邊形和只有一組對(duì)邊平行，教師可以設(shè)置問題“至少有一組對(duì)邊平行的四邊形是梯形”讓學(xué)生判斷，通過學(xué)生所舉的反例從反面加深學(xué)生對(duì)梯形本質(zhì)特征的理解。長(zhǎng)此以往，學(xué)生能習(xí)慣性地從反面思考問題，從反面運(yùn)用知識(shí)，從而提升逆向思維。

參考文獻(xiàn)：

［1］中華人民共和國(guó)教育部. 義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022版）［M］. 北京：北京師范大學(xué)出版社，2022：5-6.

［2］曹才翰，章建躍. 數(shù)學(xué)教育心理學(xué)［M］. 3版.北京：北京師范大學(xué)出版社，2020：110-111.

［3］鮑建生，周超. 數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的心理基礎(chǔ)與過程［M］. 上海：上海教育出版社，2009：133.

［4］邵志芳. 認(rèn)知心理學(xué)：理論、實(shí)驗(yàn)和應(yīng)用［M］. 3版.上海：上海教育出版社，2019：261.

［5］鄭毓信. 善于舉例［J］. 人民教育，2008（18）：42-44.

［6］格勞斯. 數(shù)學(xué)教與學(xué)研究手冊(cè)［M］.陳昌平，王繼延，陳美廉，等譯. 上海：上海教育出版社，1999：133.

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