黃慶?!∴嵙?/p>
摘要:數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的培養(yǎng)要求教師在傳授學(xué)生知識的過程中提升學(xué)生解決問題的能力以及推理的能力.深度教學(xué)作為培育核心素養(yǎng)的重要載體,需要引起我們的重視.教師的深度教學(xué)是學(xué)生深度學(xué)習(xí)的前提,學(xué)生的深度學(xué)習(xí)是深度教學(xué)要達(dá)成的目標(biāo),二者有機(jī)結(jié)合、相輔相成.
關(guān)鍵詞:核心素養(yǎng);問題引領(lǐng);深度教學(xué)
教育部印發(fā)的《關(guān)于全面深化課程改革落實(shí)立德樹人根本任務(wù)的意見》中明確提出全面深化課程改革以及核心素養(yǎng)在各學(xué)科間落地開花的要求.在數(shù)學(xué)學(xué)科中,核心素養(yǎng)更多的是指以數(shù)學(xué)為工具解決實(shí)際問題的能力.這種能力的提高可以通過深度教學(xué)來實(shí)現(xiàn).所謂深度教學(xué),就是對知識進(jìn)行深層剖析,了解知識間的縱橫交錯,提高思維的深度和廣度,同時帶動具體思維向邏輯思維的縱深發(fā)展.
深度教與學(xué)的落實(shí),需要教師帶領(lǐng)學(xué)生建構(gòu)完整的知識體系,激發(fā)學(xué)生的邏輯思維,將所學(xué)知識靈活運(yùn)用到解題過程中.本文中以直角三角形的性質(zhì)定理為例,闡述如何在課堂上基于核心素養(yǎng)視角重新審視知識,構(gòu)建深度的教與學(xué).
1 問題引領(lǐng),深度課堂
1.1 教學(xué)有疑,疑則有進(jìn)
人教版教材中關(guān)于直角三角形斜邊上中線的性質(zhì)定理安排在八年級下冊“18.2.1矩形”中.在講解完矩形的性質(zhì)之后,提出問題:如圖1,在矩形ABCD中,觀察Rt△ABC,BO是斜邊AC上的中線,BO與AC有什么關(guān)系[1]?
教材中這樣安排新定理的生成是基于矩形的四個角均為直角,因此自然想到借助矩形研究直角三角形中的問題.如此安排雖利于知識生成但不利于知識發(fā)展,且不利于學(xué)生思維能力的培養(yǎng),無法激發(fā)學(xué)生的求知欲.
1.2 知識的問題化
本文中在深入探究該定理教學(xué)的同時,結(jié)合可以關(guān)聯(lián)的知識,引導(dǎo)學(xué)生構(gòu)建數(shù)學(xué)知識的整個脈絡(luò)圖,學(xué)會用聯(lián)系的思維看知識,用發(fā)展的眼光看數(shù)學(xué).學(xué)生經(jīng)歷以上過程,進(jìn)而對所學(xué)知識做到真正理解,并逐步構(gòu)建數(shù)學(xué)知識框架和體系.
問題 求證:直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半.
已知:如圖2,在Rt△ABC中,∠ABC=90°,D是斜邊AC的中點(diǎn),連接BD.
求證:BD=?AC.
問題1 猜測BD與AC之間有什么數(shù)量關(guān)系?
問題2 能通過折線來驗(yàn)證你的猜想嗎?
學(xué)生經(jīng)過思考和交流,利用圖3的折疊方法,可驗(yàn)證猜想.
2 多向思維,助力推理
上述問題打開了深度教學(xué)的大門,而測量和折紙降低了進(jìn)入的門檻,讓學(xué)生“觸手可得”.另外,折紙還蘊(yùn)含著軸對稱的特性,教師引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注知識的內(nèi)涵,從而獲得多角度的論證方法.
證法一:論證角度——建構(gòu)矩形模型.
證明:如圖4,延長BD至點(diǎn)E,使ED=DB,連接CE,AE.
∵D為AC的中點(diǎn),
∴AD=CD.
∵BD=DE,
∴四邊形ABCE為平行四邊形.
∵∠ABC=90°,
∴四邊形ABCE為矩形.
∴AC=BE.
又BD=?BE,
∴BD=?AC.
證法二:論證角度——建構(gòu)等角對等邊.
證明:如圖5,在∠ABC的內(nèi)部作∠MBC=∠C,BM與AC交于點(diǎn)M.
∵∠MBC=∠C,
∴MB=MC.
∵∠ABC=90°,
∴∠A+∠C=90°,
∠ABM+∠MBC=90°.
∴∠A=∠ABM.
∴AM=BM.
∴AM=MC=BM.
即BM是斜邊AC上的中線,且BM=?AC.
又BD是斜邊AC上的中線,即BD與BM重合.
∴BD=?AC.
證法三:論證角度——建構(gòu)三角形中位線,引出中垂線.
證明:如圖6,在△ABC中,∠ABC=90°,BD為AC邊上的中線,分別取AB,BC的中點(diǎn)G,H,連結(jié)DG,DH.
∵AD=DC,AG=GB,
∴DG∥BC.
∵∠ABC=90°,
∴∠AGD=∠ABC=90°.
∴DG⊥AB.
又AG=BG,
∴BD=AD.
同理BD=CD.
∴AD=BD=CD.
∴BD=?AC.
證法四:論證角度——建構(gòu)三角形全等.
證明:如圖7,延長BD至點(diǎn)E,使BD=DE,連接EC.
易證△ADB≌△CDE(SAS).
∴∠A=∠1,AB=CE.
∴AB∥EC.
∴∠ABC+∠BCE=180°.
∵∠ABC=90°,
∴∠BCE=90°.
易證△ABC≌△ECB(SAS).
∴AC=BE.
∵BD=?BE,
∴BD=?AC.
證法五:論證角度——構(gòu)造中垂線以及聯(lián)想等角對等邊.
證明:如圖8,作AB的垂直平分線ME,垂足為E,交AC于點(diǎn)M.連接BM,則AM=BM.
∴∠1=∠A.
∵∠ABC=90°,
∴∠3+∠1=90°,
∠2+∠A=90°.
∴∠3=∠2.
∴CM=BM.
∵AM=BM,
∴CM=AM.
即M為AC的中點(diǎn).
又D為AC的中點(diǎn),
∴點(diǎn)M與點(diǎn)D重合.
∴BD=AD=CD.
即BD=?AC.
證法六:論證角度——由中點(diǎn)聯(lián)想中位線.
證明:如圖9,延長CB至點(diǎn)E,使BE=BC,連接AE.
則B為EC的中點(diǎn).
∵D為AC的中點(diǎn),
∴BD為△ACE的一條中位線.
∴BD=?AE.
∵∠ABC=90°,
∴AB⊥BC.
∵BE=BC,
∴AE=AC.
∴BD=?AC.
3 逆向思維,合作探究
在進(jìn)行命題的學(xué)習(xí)時,探究逆命題的過程能讓深度教學(xué)內(nèi)容更豐富,并能提升學(xué)生的推理能力[2].通過逆命題的證明,培養(yǎng)學(xué)生的逆向思維能力,同時又將知識遷移到“命題、定理、證明”這一課時中,增加了知識的層次.
問題3 “直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半”的逆命題的題設(shè)和結(jié)論分別是什么?
問題4 這個逆命題是否成立?說明理由.
4 應(yīng)用新知,固化認(rèn)識
例題 如圖10,已知等腰直角三角形ABC與等腰直角三角形BDF,∠BAC=∠BDF=90°,E是線段CF的中點(diǎn).
(1)如圖10,當(dāng)點(diǎn)B,C,D在同一直線上時,猜想線段AE與DE的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系,并證明;
(2)如圖11、圖12,當(dāng)點(diǎn)B,C,D不在同一直線上,且等腰直角三角形ABC與等腰直角三角形BDF在BC的同側(cè)或異側(cè)時,探究線段AE與DE的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系;
本題第(1)問直接運(yùn)用本節(jié)所學(xué)的直角三角形的性質(zhì)定理.在Rt△AFC與Rt△DFC中你能得到什么結(jié)論?第(2)問顯然不存在Rt△AFC與Rt△DFC,但是以上三個圖形中都存在等腰直角三角形ABC與等腰直角三角形BDF.等腰三角形有一個“三線合一”的重要性質(zhì),教師結(jié)合本節(jié)所學(xué)的直角三角形的性質(zhì)定理,引導(dǎo)學(xué)生添加輔助線解決第(1)問.
如圖13,分別取BF與BC的中點(diǎn)N與M,連接DN,NE,ME,AM.進(jìn)一步引導(dǎo)學(xué)生觀察圖形,找出三角形的中位線,則可證△AME≌△END(SAS)且AM⊥NE,因此可證DE=AE且DE⊥AE.
接下來,引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注圖形的運(yùn)動變化過程中不變的量,將第(1)問添加輔助線的思路遷移到圖11與圖12中,鼓勵學(xué)生大膽嘗試,畫圖驗(yàn)證,得到圖14與圖15.
此題的變式訓(xùn)練,能讓學(xué)生的思維得到進(jìn)一步拓展,同時明確某些證明題的設(shè)計理念,即對題目的條件或基本圖形進(jìn)行變換.
5 深度教與學(xué)的走向:傳遞知識,更傳遞智慧
5.1 有一種教學(xué)叫:觸類旁通
作為課堂的組織者,我們要站在一定的高度來看待知識,領(lǐng)會教材編者的意圖,不斷改進(jìn)教材教法,遵循吃透教材—改編教材—拓展教材這一過程,學(xué)會用聯(lián)系的觀點(diǎn)來看待教材,挑選典型例題,分析通法通性.讓學(xué)生學(xué)會融會貫通.
5.2 有一種學(xué)習(xí)叫:深入淺出
教師在備課時要多花時間思考“如何實(shí)現(xiàn)知識的深入和教法的淺出”.課堂上我們不能“裝高深”,應(yīng)該“接地氣”,用學(xué)生熟悉的已知情境、事物和知識來牽引.教師每拋出一個問題,都要從最簡單的角度入手,步步深入,從特殊到一般.
5.3 有一種智慧叫:大道至簡
深度教與學(xué)中,教師要做的是基于教材本身,選取適當(dāng)素材,課堂上重視探究過程.常言道:經(jīng)歷過程比結(jié)論更重要,知識可以在探索過程中生根發(fā)芽;大道至簡,知易行難.
6 是結(jié)尾也是開端
數(shù)學(xué)深度教與學(xué)是一個雙向過程,也是一個雙贏的結(jié)局.深度教與學(xué)作為培養(yǎng)學(xué)生核心素養(yǎng)的重要途徑,還需要我們在實(shí)踐中繼續(xù)豐富和探索.深度教與學(xué)幫助學(xué)生成為可持續(xù)發(fā)展的人才,讓學(xué)生在今后的學(xué)習(xí)、生活和工作中能用數(shù)學(xué)的眼光來看待世界,用數(shù)學(xué)的思維來解決問題,從而達(dá)成目標(biāo),實(shí)現(xiàn)自我價值.
參考文獻(xiàn):
[1]人民教育出版社,課程教材研究所,中學(xué)數(shù)學(xué)課程教材研究開發(fā)中心.義務(wù)教育教科書教師教學(xué)用書\5數(shù)學(xué)\5八年級\5下冊[M].北京:人民教育出版社,2019:101.
[2]高旻.基于“深度教學(xué)”提升推理能力——“直角三角形的性質(zhì)定理”的教學(xué)與思考[J].中學(xué)數(shù)學(xué)月刊,2020(9):31-33.